Шишкин. Линейная алгебра (лекции), страница 10

Теорема доказана.З а м е ч а н и е. Итак, доказано, что для каждого элемента x из En существуетединственная пара элементов: y из M и z из P , где M — заданное подпространствопространства En , а P — ортогональное дополнение к M , такая, что x = y + z. Приэтом часто x называют наклонной к подпространству M , y — проекцией элемента34x на подпространство M , z — перпендикуляром, опущенным из элемента x на M , адлина элемента |z| — расстоянием элемента x до M .В качестве приложения и иллюстрации введенных понятий рассмотрим альтернативу Фредгольма для линейной системы n уравнений с n неизвестными:AX = B,(9)где A = ||apk ||nn , X = ||xp ||n , B = ||bp ||n . Далее нам потребуются две однородныхсистемы, соответствующих системе (9):AX = θ(10)AT X = θ,(11)икоторую называют сопряженной однородной системой, соответствующей (9).Теорема 5 (Альтернатива Фредгольма) Или система (10) имеет только нулевоерешение, и тогда система (9) имеет единственное решение при любом B из Tn .Или система (10) имеет ненулевое решение, и тогда система (9) совместна тогда и только тогда, когда столбец свободных членов B ортогонален пространству решений системы (11).Д о к а з а т е л ь с т в о.

Как было показано в курсе аналитической геометрии, линейная квадратная система уравнений имеет единственное решение тогда и толькотогда, когда определитель ее матрицы не равен 0. Значит, в первом утверждениитеоремы определитель матрицы системы (10), а тем самым и определитель матрицысистемы (9), не равен нулю. Но тогда система (9) имеет единственное решение представимое формулами Крамера, для любого столбца B свободных членов.

Докажемвторую часть теоремы. Как следует из теоремы Кронекера-Капелли (теорема 1, гл.3) система (9) совместна тогда и только тогда, когда столбец B является линейнойкомбинацией столбцов A1 , A2 , . . . , An матрицы A этой системы. Иными словами Bпринадлежит линейной оболочке столбцов матрицы A L(A1 , A2 , . . . , An ) ≡ L(A) или,как следует из теоремы 4, столбец B ортогонален P — ортогональному дополнениюк L(A). Таким образом, любой столбец X из P ортогонален к каждому элементуиз L(A). Последнее имеет место, если (X, Ak ) = 0, k = 1, n. Расписав эту системуравенств в координатах, получим:nXapk xp = 0, k = 1, n,p=1или в матричной форме: AT X = θ, т. е. X является решением системы (11), а совокупность P всех таких X — пространством решений системы (11).

Итак, длясовместности системы (9) необходимо и достаточно, чтобы столбец B был ортогонален к пространству P решений системы (11).Если система (10) имеет только нулевое решение, то и система (11) имеет лишь нулевое решение, так как по свойству 1 определителя det A = det AT 6= 0, т.

е. P = θ.Так как по формуле (2) (B, θ) = 0, то любой столбец B ортогонален нулевому столбцу. Следовательно, в этом случае система (9) разрешима для любого B из Tn , чтои доказано в первой части теоремы. Если же система (10) нетривиально совместна,то и система (11) имеет ненулевые решения. Тогда P содержит и ненулевые элементы. Поэтому здесь система (9) совместна тогда и только тогда, когда столбец Bортогонален P . Теорема доказана.35§5.

Ортогональная матрица.О п р е д е л е н и е. Квадратная матрица Q = ||qkp ||nn называется ортогональной, еслиQQT = E.(12)Сформулируем и докажем некоторые свойства ортогональной матрицы.oСвойство 1 .QT = Q−1 .(13)Д о к а з а т е л ь с т в о. По теореме 5 гл.

4 курса аналитической геометрии det QT ·det Q = det QT Q = det E = 1. Следовательно, det Q 6= 0. Поэтому матрица Q имеетобратную матрицу Q−1 . Умножив формулу (12) на Q−1 слева, придем к формуле (13).З а м е ч а н и е. Так как по определению обратной матрицы QQ−1 = Q−1 Q = E,то в силу равенства (13) имеем:QT Q = E.(14)Каждое из равенств (13) и (14) может быть принято в качестве определения ортогональной матрицы.oСвойство 2 .det Q = ±1.(15)oД о к а з а т е л ь с т в о. Как было показано при доказательстве свойства 1 , det QT ·det Q = 1. Но в силу свойства 1 определителей det QT = det Q. Поэтому первое раoвенство можно записать так: (det Q)2 = 1, что и означает выполнение свойства 2 .oС в о й с т в о 3 . Матрица обратная к ортогональной — ортогональная матрица.Д о к а з а т е л ь с т в о.

Путь Q — ортогональная матрица, а Q−1 — ей обратная. Чтобы показать, что Q−1 — ортогональная матрица, воспользуемся определением ортогональной матрицы, т. е. покажем выполнение равенства (Q−1 )T = (Q−1 )−1 .oПреобразуем левую часть равенства: (Q−1 )T = (свойство 1 )= (QT )T = (определение транспонированной матрицы) = Q. Теперь рассмотрим правую часть равенства:(Q−1 )−1 = Q (по определению обратной матрицы). Так как в результате тождественных преобразований мы пришли к одному и тому же выражению, то исходноеравенство справедливо, и, следовательно, Q−1 — ортогональная матрица.oС в о й с т в о 4 .

Матрица транспонированная к ортогональной — ортогональная матрица.Д о к а з а т е л ь с т в о. По аналогии с предыдущим: надо проверить справедливость равенства(QT )T = (QT )−1 .Но по определению транспонированной матрицы выражение слева есть матрица Q, аoсправа, если заменить QT в силу свойства 1 на Q−1 и воспользоваться определениемобратной матрицы, так же стоит матрица Q. Значит равенство справедливо, и QT —ортогональная матрица.oС в о й с т в о 5 .

Если Q1 и Q2 — ортогональные матрицы, то Q1 Q2 — ортогональная матрица.Д о к а з а т е л ь с т в о. Покажем выполнимость равенства (13). (Q1 Q2 )T = (по т.o−14, гл. 4, курса аналитической геометрии) = QT2 QT1 = (по свойству 1 ) = Q−12 Q1 =(по т. 9, гл. 4 курса аналитической геометрии) = (Q1 Q2 )−1 .36oС в о й с т в о 6 . n×n-матрица Q тогда и только тогда будет ортогональной,когда сумма квадратов всех элементов любого ее столбца (строки) равна 1,а сумма произведений соответствующих элементов любых двух ее столбцов(строк) равна нулю.Н е о б х о д и м о с т ь. Пусть Q — ортогональная матрица, т.

е. имеют место (12)и (14). Тогда из (12) следует, чтоqkp (q T )ke =nXqkp qke = δpe .(150 )k=1т. е. для любых строк с индексами p, e имеет место утверждение свойства. А из (14)то же самое следует для любых двух столбцов:(q T )pk qek =nXqpk qek = δpe .(1500 )k=1Д о с т а т о ч н о с т ь. Пусть выполнены (150 ) или (1500 ). Но из (150 ) следует, чтоQQT = E, т.

е. согласно определению ортогональной матрицы Q — матрица ортогональная. А из (1500 ) следует, что QT Q = E, т. е. в силу (14) Q — ортогональнаяматрица.oС в о й с т в о 7 . Если (ek )n — ортонормированный базис в En , то базис (fk )n ,полученный преобразованием f = eQ, где Q — ортогональная матрица, такжебудет ортонормированным базисом.Д о к а з а т е л ь с т в о. В k-ом столбце матрицы Q стоят координаты элемента fkoв базисе (ep )n . Поэтому на основании свойства 6 , равенства (3) и ортонормированности базиса (ep )n имеем (fp , fk ) = δpk , т. е. (fk )n — ортонормированный базис.oС в о й с т в о 8 .Если (fp )n и (ep )n — ортонормированные базисы, то матрицаQ, осуществляющая переход от одного базиса к другому: f = eQ, являетсяортогональной.Д о к а з а т е л ь с т в о.

Так как f = eQ, то fk = ep qkp , fp = ej qpi . Тогда (fk , fp ) =nP(ei qki , ej qpj ) = (формула (30 )) =i=1qki qpi =(из ортонормированности (fk )n ) = δkp . Ноoпоследнее равенство есть соотношение (1500 ). Значит в силу свойства 6 матрица Qортогональная.П р и м е р. Поворот на угол α в пространстве V2 есть ортогональное преобразование старых переменных x, y в новые x00 , y 00 по известным из курса аналитическойгеометрии формулам:(x00 = x cos α + y sin α00y = −x sin α + y cos αЗапишем это преобразование в матричной форме: пустьX 00 =x00y 00!, X=xy!, Q=cos α sin α− sin α cos α!.Тогда X 00 = QX — ортогональное преобразование, а Q — ортогональная матрица.Проверим выполнение свойств. Свойство det Q = cos2 α + sin2 α = 1, т.

е. оно выполнено. Отсюда обратное преобразование задается матрицей:−1Q=cos α − sin αsin αcos α37!.Так какQT =cos α − sin αsin αcos α!,oто QT = Q−1 , т. е. выполнено свойство 1 . Очевидно выполнение равенств (15), т. е.oимеет место свойство 6 .§6. Общий вид линейного функционала.О п р е д е л е н и е. Функционалом в евклидовом пространстве En называетсялюбой наперед заданный закон Φ, по которому любому элементу x из En сопоставляется определенное действительное число, обозначаемое символом Φ(x).О п р е д е л е н и е. Функционал Φ, x ∈ En , называется линейным, если:а) для любых x, y из En Φ(x + y) = Φ(x) + Φ(y),б) для любого числа b из K0 и любого x из En Φ(bx) = bΦ(x).Из условий а), б) по индукции легко получить следующее соотношение для линейного функционала: для любых x1 , x2 , . .

. , xk из En и любых чисел b1 , b2 , . . . , bk изK0 имеем:Φ(xp bp ) = bp Φ(xp ).(16)Пример линейного функционала: Пусть x0 — фиксированный элемент En , x — любой элемент En . Тогда скалярное произведение (x, x0 ) — линейный функционал.Действительно, скалярное произведение при фиксированном x0 — определенный закон по которому любому элементу x из En ставится в соответствие определенноеooчисло. Значит, это функционал. Далее из а.1 – 3 определения скалярного произведения следует, что это линейный функционал. Оказывается, приведенный примерлинейного функционала играет фундаментальную роль во всей теории линейныхфункционалов. А именно, верна следующаяТеорема 6 Всякий линейный функционал Φ представим единственным образомпо формуле:Φ(x) = (x, x0 ),(17)где x0 — некоторый фиксированный элемент из En .Д о к а з а т е л ь с т в о.

Пусть (ep )n — ортонормированный базис в En . Так какфункционал определен на всем пространстве En , то, в частности, определены числа Φ(e1 ), Φ(e2 ), . . . , Φ(en ). Пусть x0 — элемент En с координатами Xe0 = ||Φ(ek )||n вбазисе (ep )n . Пусть x — любой элемент En с координатами Xe = ||ck ||n в том жебазисе (ep )n , т. е. x = ek ck . Тогда Φ(x) = Φ(ek ck ) =(формула (16))= ck Φ(ek ) =(таккак (ep )n — ортонормированный базис, то по формуле (3))=(x, x0 ).