Шишкин. Линейная алгебра (лекции), страница 19

Пусть P = A−1 . Тогда P T AP =(A−1 )T AA−1 = (A−1 )T = (AT )−1 = A−1 — матрица, как уже отмечалось выше, положительно определенной квадратичной формы.2) Так как E — матрица положительно определенной формы, то при det C 6= 0C T EC = C T C — матрица положительно определенной квадратичной формы.3) Пусть, например, a22 = 0. Положим x1 = x3 = . . . = xn = 0, x2 = 1. Тогдаφ(x1 , . . .

, xn ) = a22 (x2 )2 = a22 = 0 при не всех xk равных 0, т. е. φ не положительноопределенная квадратичная форма.4) Пусть, например, a33 = 0, но a13 6= 0. Положим x2 = x4 = . . . = xn = 0, x1 =a 6= 0, x3 = b 6= 0. Тогда φ(x1 , . . . , xn ) = a11 a2 + 2a13 ab. В силу 3) a11 ≥ 0. Пусть69a11 = 1. Тогда φ = a(a + 2a13 b). Можно подобрать a, b так, что a(a + 2a13 b) < 0, чтопротиворечит условию, т. е. a13 = 0 и тогда φ = a2 ≥ 0.§9. Численные методы решения систем линейных уравнений.Рассмотрим систему уравнений:(1)AX = B,где A = ||apk ||nn , X = ||xp ||n , B = ||bp ||n . Пусть det A 6= 0, т. е. система (1) имеетединственное решение.п.

1. Итерационный метод Гаусса-Зейделя.Если app 6= 0, p = 1, n, то системе (1) можно придать вид:bp − apk xkx =, k = 1, n, k 6= p, p = 1, n.appp(2)Система (2) называется приведенной. Введя обозначенияbpm = papp(иcpk=−apk /app при p 6= k0при p = k.систему (2) запишем так:(3)X = M + CX,где C =||cpk ||nn ,M = ||mp ||n . Система(4)Xk = M + CXk−1 , k = 1, 2, 3, . . . ,называется итерационной системой уравнений для системы (3). Взяв в качестве нулевого приближения X0 — любой числовой столбец высоты n и подставив его вреккурентную формулу (4), получим X1 = M + CX0 и т. д. Метод итераций состоитв замене точного решения системы (1) k-ой итерацией (4) с достаточно большимномером k. Если при k → ∞ Xk → X̄, то X̄ — искомое решение системы (3),обращающее эту систему уравнений в верные числовые равенства:(5)X̄ = M + cX̄.Будет ли схема сходящейся при k → ∞? Ответ дают следующие достаточные условиясходимости метода:а) |app | >nX|apk |, p = 1, n,б) |akk | >илиk=1k 6= pnX|apk |, k = 1, n.p=1p 6= kп.

2. Метод Зейделя.Представим матрицу C системы (3) в виде C = B + D, гдеB=0 0c11 0... ...c1n c2n... 0... 0... ...... 0,D=700 . . . c1n−1 cn10 0 . . . cn−12... ... ... ...0 0 ...0Тогда (3) есть система:X = M + BX + DX,(6)для которой итерационная система есть система: Xk = M + BXk + DXk−1 или(E − B)Xk = M + DXk−1 .(7)Пусть X0 — любой числовой столбец высоты n. Тогда(E − B)X1 = T,где T = M + DX0 — известный нам столбец. Распишем последнюю систему: 1x = t12 1−c1 x + x2 = t2 ........................−cn1 x1 − cn2 x2 − .

. . − cnn−1 xn−1 + xn = tn— треугольная система, которую легко решать сверху:x1 = t1x2 = t2 + c21 t1x3 = t3 + c32 (t2 + c21 t1 ) + c31 t1.................................Метод сходится, если матрица A: 1) симметричная и 2) положительная, т. е. всерешения уравнения det(A − λE) = 0 неотрицательны.п. 3. Метод исключения (Гаусса).Рассмотрим один из наиболее известных и широко применяемых прямых методоврешения систем линейных уравнений. Применим его сначала к системе из трехуравнений с тремя неизвестными:apk xk = bp , p, k = 1, 2, 3.(8)В такой системе по крайней мере один из коэффициентов a13 , a23 , a33 должен бытьотличен от нуля, иначе мы имели бы дело в этих трех уравнениях с двумя неизвестными. Если a33 = 0, то можно переставить уравнения так, чтобы коэффициент приx3 в третьем уравнении был отличен от нуля.

Очевидно, что перестановка уравнений оставляет систему неизменной, и ее решение прежним. Теперь умножим третьеуравнение вначале на a13 /a33 и вычтем из первого уравнения, а затем — на a23 /a33 ивычтем из второго уравнения. В итоге будем иметь:13 13 113 13 213 13 (a1 − a1 a3 /a3 )x + (a2 − a2 a3 /a3 )x = b − b a3 /a3(a21 − a31 a23 /a33 )x1 + (a22 − a32 a23 /a33 )x2 = b2 − b3 a23 /a33a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 6= b3 ,(9)или, если переобозначить коэффициенты в первых двух уравнениях,1 11 21 ā1 x + ā2 x = b̄ā21 x1 + ā22 x2 = b̄2a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 = b3 .71(10)Если ā22 = 0, то переставим уравнения так, чтобы этот коэффициент стал отличнымот нуля.

После этого умножим второе уравнение на ā12 /ā22 и вычтем из первого. Тогда1¯11 x1 = ¯b̄ āā22 x2 = b̄2 − ā21 x1 a3 x 3 = b 3 − a3 x 1 − a3 x 2 ,312(11)1¯11 = ā11 − ā21 ā12 /ā22 , ¯b̄ = b̄1 − b̄2 ā12 /ā22 . Если ā¯11 = 0, то система вырождена. Будемгде ā1¯1 6= 0. Тогда из системы (11), начиная с первого уравнения, легкосчитать, что āопределяются x1 , x2 , x3 , т.

е. решение исходной системы (8).Теперь рассмотрим общий случай системы (1). Пусть ann 6= 0. Вычтем из каждого p-го уравнения (p = 1, n − 1) n-ое уравнение, умноженное на apn /ann . Введемобозначения:āpk = apk − ank apn /ann , b̄p = bp − bn apn /ann , p = 1, n − 1, k = 1, n.Тогда система (1) запишется так:āpk xk = b̄p , p, k = 1, n − 1ani xi = bn , i = 1, n.(12)Продолжая в том же духе, мы можем исключить xn−1 из первых n − 2 уравнений,затем xn−2 из первых n − 3 уравнений и т. д., пока не придем к треугольной системеуравнений:(n−1)(n−1)a11 x1 = b1 (n−2)(n−2)(n−2)a21 x1 + a22 x2 = b2(13)...........................an1 x1 + an2 x2 + .

. . + ann xn = bn ,где ради удобства записи верхние индексы элементов матриц заменены на первыенижние. Из этой системы, начиная с первого уравнения, легко определяются неизвестные.72Литература.Список литературы1.В.А. Ильин, Э.Г. Поздняк, "Линейная алгебра".2.Г.Е. Шилов, "Математический анализ. Конечномерные линейные пространства".3.А.И. Мальцев, "Основы линейной алгебры".73Заключение.Для получения положительной оценки на экзамене необходимо уметь решатьследующие задачи:Глава 2. Уметь находить1) базис и размерность пространства,2) координаты элемента x в заданном базисе,3) переход от одного базиса к другому, матрицу этого перехода,4) ранг матрицы.Является ли5) данное множество M подпространством линейного пространства?6) данное множество элементов линейно зависимым или нет?7) Образовать линейную оболочку из данной совокупности элементов.

Определить ее размерность.Глава 3. Уметь находить1) ФСР,2) общее решение неоднородной системы уравнений.3) Является ли данная система совместной?Глава 4. Уметь1) ортогонализировать базис,2) дополнять до ортогонального базиса,3) доказывать, что в каждом линейном конечномерном пространстве можно ввестискалярное произведение.4) Знать 4 свойства ортогональной матрицы и уметь ими пользоваться.Глава 5. Уметь1) выписывать матрицу линейного оператора. Например, для оператора проектирования в пространстве V3 на прямую x = y = z.2) Как изменится матрица оператора при изменении базиса?3) находить собственные значения и собственные векторы линейного оператора.Глава 6.

Уметь1) выписывать матрицу квадратичной формы и билинейной формы и наоборот,2) приводить квадратичную к каноническому виду методами а) Якоби, б) Лагранжа, в) ортогональных преобразований.3) Является ли данная квадратичная форма положительно определенной?74.