Шишкин. Линейная алгебра (лекции), страница 8

. . , Yn−r .26§3. Общее решение неоднородной линейной системы уравнений.Снова рассмотрим систему (1). Будем считать ее совместной, т. е. rang A =rang A∗ = r. Определим все множество решений системы (1). Пусть X0 — некоторое решение системы (1), которое обычно называют частным решением системы(1). Пусть Y1 , Y2 , . . . , Yn−r — ФСР соответствующей системе (1) однородной системыуравнений, т. е.

системы (2). Тогда yk ck , k = 1, n − r, — общее решение системы (2),где c1 , c2 , . . . , cn−r — любые действительные числа.Теорема 2 Общее решение совместной неоднородной системы уравнений (1), рангматрицы которой равен r, имеет вид:X = X0 + Yk ck , k = 1, n − r.(5)Д о к а з а т е л ь с т в о. Надо доказать: 1) при любых c1 , c2 , . . . , cn−r формула (5)определяет решение системы (1) и 2) каждое решение X ∗ системы (1) при определенном выборе n − r постоянных задается формулой (5).1) Умножим формулу (5) на матрицу A слева: AX = AX0 + A(Yk ck ) = B + θ = B,т.

е. первое утверждение доказано.2) Рассмотрим X ∗ − X0 . Тогда A(X ∗ − X0 ) = AX ∗ − AX0 = B − B = θ, т. е. X ∗ − X0есть решение системы (2), а значит существуют такие числа c1 , c2 , . . . , cn−r , чтоX ∗ − X0 = Yk ck по формуле (4). Отсюда X ∗ = X0 + Yk ck . Теорема доказана.З а м е ч а н и е. Чтобы найти какое-нибудь частное решение X0 , нужно взять rбазисных уравнений системы (1) и в них положить xr+1 , . .

. , xn равными чему угодно,например, равными нулю. Затем по формулам Крамера найти x1 , x2 , . . . , xr .О п р е д е л е н и е. Пусть M - подпространство линейного пространства R,x — любой элемент из M , а x0 — любой фиксированный элемент из R. Тогдасовокупность H всех элементов y = x0 + x называется результатом сдвига подпространства M вдоль элемента x0 или гиперплоскостью.З а м е ч е н и е. Если x0 ∈ M , то гиперплоскость H является подпространствомлинейного пространства R той же размерности, что и M .

Если же x0 ∈/ M , тогиперплоскость H не является линейным пространством. Действительно, как былодоказано ранее в линейном пространстве R нулевой элемент один (теорема 1, гл. 2).Этот же элемент является нулевым во всех подпространствах этого пространства.А в гиперплоскость H не входит нулевой элемент θ. Предположим противное, т.

е.существует элемент x из M такой, что x0 + x = θ, т. е. x = −x0 = (−1)x0 . Ноx0 ∈/ M т. е. x0 ∈ R − M . Поэтому в силу корректности операции умножения начисло и элемент (−1)x0 = x ∈ R − M , т. е. x ∈/ M , что противоречит предположению.Значит гиперплоскость H не имеет нулевого элемента и, следовательно, не являетсялинейным пространством.Опираясь на только что введенное понятие, можно утверждать, что совокупностьрешений неоднородной системы уравнений не является линейным пространством, аобразует гиперплоскость.П р и м е р. Найти общее решение следующей системы уравнений:1 xx1−2x2 +x3 +3x4=2234x −x−x = −12−x+2x4=1(6)Определимранг матрицы Aсистемы (6).1 −2131 0001 −1 −1 A= 0 ∼  0 1 −1 −1 , т.

е. ранг матрицы A равен 2. Послед1 −1021 1 −1 −1∗ний столбец в матрице A отличается от второго столбца матрицы A множителем -1.27Значит его можно убрать из матрицы A∗ , не изменив при этом ранга. Следовательно,rang A∗ = rang A, т. е. система (6) совместна. Кроме того, n − r = 4 − 2 = 2. Такимобразом, исходная система (6) эквивалентна, например, такой системе:(x1x2 = c3 +c4 −1−x2= −2c4 +1(7)Полагая здесь c3 = c4 = 0, получим систему уравнений:(x1x2 = −1−x2 = 1.Решив ее, найдем частное решение системы (6):X0 = 0−100.Теперь рассмотрим соответствующую системе (7) однородную систему уравнений:(x1x2 = c3+c4−x2= −2c4 .Строим ФСР:1−1cc 1  1 ⇒ Y1 =  , Y2 = .10 x1 = 1, x2 = 110120 1x = −1, x = 101Общее решение исходной системы уравнений (6):−1a1 − a210 1  −1 + a1 + a2  1  −1  . Непо= + a2 X = X0 + Y1 a1 + Y2 a2 =  + a1  0  1  0 a12a001средственной проверкой убеждаемся, что это множество решений не содержит нулевого элемента θ = ||0||4 , т.

е. не является линейным пространством, но являетсягиперплоскостью.3428Гл. 4. Евклидово пространство.§1. Определение.В математическом анализе уже определено евклидово пространство как множество всевозможных упорядоченных совокупностей из n действительных чисел(x1 , x2 , . . . , xn ), называемых точками, в котором введено расстояние между двумяточками M1 (x1 , x2 , . . . , xn ) и M2 (y1 , y2 , . . . , yn ) по формуле ρ(M1 , M2 ) = ((x1 − y1 )2 +(x2 − y2 )2 + .

. . + (xn − yn )2 )1/2 . Это пример конкретного евклидова пространства ибоего элементами являются конкретные объекты — упорядоченные совокупности n действительных чисел. В нашем курсе изучаются абстрактные линейные пространства,элементами которых являются объекты любой природы (векторы, числа, столбцы,многочлены, функции, матрицы и т.

д.). До сих пор мы не вводили понятия расстояния, понятий угла и длины в абстрактном линейном пространстве. Сделаем это, т. е.введем абстрактное евклидово пространство. Таким образом, евклидово пространство — это линейное пространство, в котором введены метрические соотношения,или, как говорят, введена метрика. Однако вначале вспомним метрические соотношения в пространстве V3 , введенные нами в аналитической геометрии: длину вектора, угол между векторами и скалярное произведение двух векторов. Заметим, чтознание скалярногоq произведения любых двух векторов позволяет найти как длинувектора: |~a| = (~a, ~a), так и угол между векторами: cos φ = (~a, ~b)/(|~a||~b|). Следовательно, в понятии скалярного произведения заключена возможность измерениядлин и углов, т. е.

все, что связано с измерениями. В общем абстрактном линейном пространстве нам будет удобнее ввести сначала скалярное произведение двухэлементов пространства, а затем из скалярного произведения получить определениядлины вектора и угла между элементами.В этой главе будем рассматривать только числовое поле K0 — поле всех действительных чисел.О п р е д е л е н и е. Линейное пространство называется евклидовым, если внем указано правило, ставящее в соответствие каждым двум элементам x, yчисло, которое обозначим (x, y) и назовем скалярным произведением элементовx, y. Это правило удовлетворяет следующим аксиомам:oa.1 .

(x, y) = (y, x) (переместительное свойство),oa.2 . (x + y, e) = (x, e) + (y, e) (распределительное свойство),oa.3 . ∀a ∈ K0 (ax, y) = a(x, y),oa.4 . (x, x) > 0 при x 6= θ и (x, x) = 0 для x = θ.П р и м е р ы.oo1) V3 : (~a, ~b) = |~a||~b| cos(~a, ~b). Аксиомы 1 − 4 были установлены в векторной алгебре(в курсе аналитической геометрии).2) Tn : x = ||xk ||n , y = ||y k ||n . Введем скалярное произведение так: (x, y) = x1 y 1 +oox2 y 2 + . .

. + xn y n . Проверьте сами выполнение аксиом 1 − 4 в этом случае.3) C[a,b] : x(c), y(c) — элементы этого пространства. Пусть (x, y) =ooRbx(c)y(c)dc. Про-aверьте сами выполнение аксиом 1 − 4 .Евклидово пространство обозначается символом E или, если известна его размерность n, то — En . Если (ek )n — базис в евклидовом пространстве En и x, y —29элементы этого пространства, то x = ep xp = eXe , y = ek y k = eYe , где использованыooобозначения, введенные в §6, гл.

2. Но тогда, как следует из a.1 − 3 ,(x, y) = (ep xp , ek y k ) =nX(ep , ek )xp y k .p,k=1Если ввести обозначения apk = (ep , ek ), то окончательно получим:(x, y) = apk xp y k , p, k = 1, n.(1)Используя определение произведения матриц, равенство (1) можно записать в матричной форме, если обозначить A = ||apk ||n,n :(x, y) = XeT AYe .(10 )Формула (1) (или, что то же самое — формула (10 )) — выражение скалярного произведения в произвольном базисе. Из равенства (1) следует, что для каждого элементаx из En(x, θ) = (θ, x) = 0.(2)§2.

Основные метрические понятия в евклидовом пространстве.Неравенство Коши-Буняковского.qО п р е д е л е н и е. Длиной элемента x пространства E называется (x, x) иобозначается |x|.З а м е ч а н и е. В некоторых монографиях по алгебре, например, книге ИльинаВ.А. и Поздняка Э.Г., таким образом введенная длина элемента называется нормойэлемента из E.О п р е д е л е н и е. Если |x| = 1, то элемент x называется нормированнымэлементом пространства E.П р и м е р ы.1) V3 : |~a| =q(~a, ~a) — обычная длина вектора.2) Tn : x = ||xk ||n , |x| = (x1 x1 + x2 x2 + . . . + xn xn )1/2 .Rb3) C[a,b] : |x| = ( x2 (c)dc)1/2 .

Эту величину обозначают иногда ||x(c)|| и называaют нормой функции x(c), чтобы избежать ложных ассоциаций, связанных сословами "длина функции".О п р е д е л е н и е. Углом между ненулевыми элементами x, y из E называется угол φ, определяемый условиями: 1) cos φ = (x, y)/(|x| · |y|), 2) 0 ≤ φ ≤ π.В пространстве V3 это определение согласуется с обычным выражением углачерез скалярное произведение.

В общем случае надо доказать корректность этогоопределения, а именно показать, что для любых элементов x, y из E (x, y)/(|x| · |y|)по модулю не превосходит 1 или, что то же самое,|(x, y)| ≤ |x| · |y|.Последнее неравенство называется неравенством Коши-Буняковского.30Теорема 1 Для любых элементов x, y из E имеет место неравенство КошиБуняковского.Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим элемент ax − y, где a — любое число из K0 .oooПо a.4 для каждого a имеем: (ax − y, ax − y) ≥ 0. А в силу a.1 − 3 это неравенствоможно записать так: a2 (x, x)−2a(x, y)+(y, y) ≥ 0.

Отсюда следует, что дискриминант22квадратногоq трехчлена D = (x, y) − (x, x)(y, y) ≤ 0, т. е. (x, y) ≤ (x, x) · (y, y) или|(x, y)| ≤ (x, x)(y, y) = |x||y|. Что и требовалось доказать.Из теоремы 1 следует корректность определения угла между элементами из E.Приведем примеры неравенства Коши-Буняковского в конкретных пространствах:1) V3 : |(~a, ~b)| ≤ |~a| · |~b|. nP2) Tn : 3) C[a,b]k=1xk y k ≤ (nPk=1(xk )2 )1/2 · (nP(y k )2 )1/2 .k=1RbRbRb: x(c)y(c)dc ≤ ( x2 (c)dc)1/2 · ( y 2 (c)dc)1/2 .aaaН а д о м: Для каких элементов x, y имеет место равенство |(x, y)| = |x| · |y|?§3. Ортогональность элементов в евклидовом пространстве.Ортонормированный базис в евклидовом пространстве.О п р е д е л е н и е.

Элементы x, y из E называются ортогональными, если(x, y) = 0.По определению угла между элементами x, y это означает, что при x 6= θ, y 6=θ cos φ = 0, т. е. φ = π/2.Лемма 1 Взаимно ортогональные ненулевые элементы x1 , x2 , . . . , xk в E линейнонезависимы.Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим противное. Тогда xp cp = θ, p = 1, k, где невсе cp равны нулю. Пусть c1 6= 0. Умножим это равенство по правилу скалярногопроизведения на x1 . В силу предположения о взаимной ортогональности элементов x1 , x2 , .