лин пространства (Линейные пространства(метода)), страница 5

В пространстве L3 векторыæ1öæ1öæ 1öæ6 öç ÷ç ÷ç ÷ç ÷e1¢ = ç 1÷ ; e2¢ = ç 1 ÷ ; e 3¢ = ç 2 ÷ ; x = ç 9 ÷ç3÷ç2÷ç 1÷ç 14÷è øè øè øè øзаданы своими координатами в некотором базисе В. Доказать, чтосистема B ¢ = (e1¢, e2¢ , e 3¢ ) – базис в L3, и найти столбец x ¢ координатвектора x в этом базисе.Р е ш е н и е . Запишемe1¢ = e1 + e2 + e 3 , e2¢ = e1 + e2 + 2 e 3 ,e 3¢ = e1 + 2 e2 + 3 e 3 , х = 6 e1 + 9e2 + 14e 3 .

Отсюда находимæ e1¢ ö æ 1 1 1ö æ e1 öç ÷ ç÷ç ÷ç e2¢ ÷ = ç 1 1 2 ÷ ç e2 ÷ .ç e ¢ ÷ ç1 2 3÷ ç e ÷ø è 3øè 3ø èОпределим обратную матрицу:æ1 1 1 1 0 0ö æ 1 1 1 1 0 0ö æ 1 1 1 1 0 0ö÷÷ ç÷ ççç 1 1 2 0 1 0 ÷ ~ ç 0 0 1 -1 1 0 ÷ ~ ç 0 1 2 -1 0 1÷ ~ç 1 2 3 0 0 1÷ ç 0 1 1 -1 0 1÷ ç 0 0 1 -1 1 0 ÷øø èø èèæ 1 1 0 2 -1 0 ö æ 1 0 0 1 1 -1 ö÷ ç÷ç~ ç 0 1 0 1 -2 1÷ ~ ç 0 1 0 1 -2 1 ÷ .ç 0 0 1 -1 1 0 ÷ ç 0 0 1 -1 1 0 ÷ø èøèПолучимæ e1 ö æ 1 1 -1 ö æ e1¢ öç ÷ ç÷ç ÷1 ÷ ç e2¢ ÷ .ç e2 ÷ = ç 1 -2ç e ÷ ç-1 1 0 ÷ ç e ¢ ÷ø è 3øè 3ø è28Окончательно запишемæ e1¢ öæ 1 1 -1 ö æ e1¢ öç ÷ç÷ç ÷1 ÷ ç e2¢ ÷ = (1, 2, 3) ç e2¢ ÷ .х = (6, 9, 14) ç 1 -2ç-1 1 0 ÷ ç e ÷çe ¢ ÷èø è 3¢ øè 3øДругой вариант решения.

Покажем, что (е ¢) является базисом:æ 1 1 1ö æ 1 1 1öç÷ ç÷А = ç 1 1 2 ÷ ~ ç 0 0 1÷ Þ r = 3 .ç1 2 3÷ ç0 1 2÷èø èø–1Найдем Т :T-1æ 1 1 -1 ö÷ç1÷;= ç 1 -2ç-1 1 0 ÷øèæ 1 1 -1 ö æ 6 ö æ 1ö÷ç ÷ ç ÷çx ¢ = ç 1 -2 1 ÷ ç 9 ÷ = ç 2 ÷ .ç-1 1 0 ÷ ç 14÷ ç 3 ÷øè ø è øèП р и м е р 15. В пространстве L4 векторыæ7öæ 1öæ2öæ 1öæ 1öç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷232314e1¢ = ç ÷ ; e2¢ = ç ÷ ; e 3¢ = ç ÷ ; e 4¢ = ç ÷ ; x = ç ÷ç-1 ÷ç-1 ÷ç0÷ç 1÷ç -1÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷è2øè0øè-1 øè 4øè -2 øзаданы своими координатами в некотором базисе В.

Доказать, чтосистема B ¢ = (e1¢, e2¢ , e 3¢ , e 4¢ ) – базис в L4 , и найти столбец x ¢ коорди)нат вектора x в этом базисе.Р е ш е н и е . Запишем e1¢ = e1 + 2 e2 - e 3 - 2 e 4 , e2¢ = 2 e1 + 3 e2 ++ 0 e 3 - e 4¢ , e 3¢ = e1 + 2 e2 + e 3 + 4e 4 , e 4¢ = e1 + 3 e2 - e 3 + 0 e 4 . Сле)довательно,æ e1¢ ö æ 1ç ÷ çç e2¢ ÷ = ç 2ç e 3¢ ÷ ç 1ç ÷ çè e 4¢ ø è 12 -1 -2 ö æ e1 ö÷ç ÷3 0 -1÷ ç e2 ÷.2 1 4 ÷ ç e3 ÷÷ç ÷3 -1 0 ø è e 4 ø29Найдем обратную матрицу (T -1 ) T :æ1çç2ç1çè12 -1 -23 0 -12 1 43 -1 0æ1 2ç0 -1~çç0 0çè0 01 0 0 0ö æ 1 2÷ ç0 1 0 0 ÷ ç 0 -1~0 0 1 0÷ ç0 0÷ ç0 0 0 1ø è 0 10 0 0ö æ 1÷ ç1 0 0÷ ç0~0 1 0÷ ç0÷ ç1 0 1ø è 0-1 -2 12 -3 -22 6 -12 5 -3æ1ç0~çç0çè0æ1ç0~çç0çè0æ1ç0~çç0çè0-1 -2 12 3 -22 6 -10 2 -12 -1 -21 -2 -30 261 0 -10 0 0ö÷1 0 0÷~0 1 0÷÷0 0 1ø10 02 -1 0-1 0 1-2 1 -12 -1 0 5-2 2 -2 ö÷1 -2 0 8-4 3 -3 ÷~0 2 0 -13 6 -5 6 ÷÷0 0 -1 -21 -1 1 ø21000010010000100 -3 /2 1 -1/2 1 ö÷0 -523÷-2~0 -13 /2 3 -5 /2 3 ÷÷1 21-1-1ø0 17 /2 -3 7 /2 -5 ö÷0 -523÷-2,0 -13 /2 3 -5 /2 3 ÷÷1 21-1-1øæ e1 öç ÷e(x ) e = (7, 14, -1, 2) ç 2 ÷ =ç e3 ÷ç ÷è e4 øæ 17 /2 -3 7/2 -5 ö æ e1¢ öç÷ç ÷2 -23 ÷ ç e2¢ ÷-5ç= (x ) e ¢ .= (7, 14, -1, 2)ç -13 /2 3 -5 /2 3 ÷ ç e 3¢ ÷÷ç ÷ç-1 1-1ø è e 4¢ øè 2300ö÷0÷~0÷÷1øВ результате получимх ¢ = (0, 2, 1, 2) Т .П р и м е р 16.

В пространстве L4 векторыæ 1öæ 1öæ 1öæ 1öç ÷ç ÷ç ÷ç ÷1213b1 = ç ÷ , b2 = ç ÷ , b 3 = ç ÷ , b 4 = ç ÷ ,ç2÷ç 1÷ç2÷ç 1÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷è 1øè3øè 1øè 1øæ -2 öæ -2 öæ2öæ 1öç ÷ç ÷ç ÷ç ÷-3-3 ÷0÷2÷ççç, b 4¢ = ç ÷b1¢ =,b¢ =,b¢ =ç -4÷ç 3 ÷ 2 ç -5 ÷ 3 ç 5 ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷è -4øè -4øè 4øè3øзаданы своими координатами в некотором базисе. Доказать, что сис)темы B = (b1 , b2 , b 3 , b 4 ) и B ¢ = (b1¢, b2¢, b 3¢ , b 4¢ ) – базисы в L4 и, исполь)1зуя соотношение TB ® B¢ = Te-®B × Te ® B ¢ , составить матрицу переходаTB ® B ¢ .Р е ш е н и е .

Запишем b1 = e1 + e2 + e 3 + e 4 , b2 = e1 + 2 e2 ++ e 3 + e 4 , b 3 = e1 + e2 + 2 e 3 + e 4 , b 4 = e1 + 3 e2 + 2 e 3 + 3 e 4 , b1¢ = e1 ++ 3 e 3 + 3 e 4¢ , b2¢ = -2 e1 - 3 e2 - 5 e 3 - 4e 4 , b 3¢ = 2 e1 + 2 e2 + 5 e 3 + 4e 4¢ ,b 4¢ = -2 e1 - 3 e2 - 4e 3 - 4e 4 .Системы векторов связаны:æ b1¢ öç ÷ç b2¢ ÷Tç ÷ = TB ® B ¢ç b 3¢ ÷ç ÷è b 4¢ øæ b1 öç ÷ç b2 ÷ç ÷,çb3 ÷ç ÷èb4 øæ b1¢ ö3 3 ö æ e1 öç ÷ æ 1 0ç b2¢ ÷ ç -2 -3 -5 -4÷ ç e2 ÷÷ç ÷ =ç ÷ =çç2254÷ ç e 3 ÷ç b 3¢ ÷çç ÷ è -2 -3 -4 -4÷ø çè e 4 ÷øè b 4¢ ø31-1/2 -1/2 ö÷00 ÷10 ÷÷-1/21/2 ø3 3ö æ 2 0æ 1 0÷çç-2 -3 -5 -4÷ ç -1 1ç=ç 2254 ÷ ç -1 0÷ççè -2 -3 -4 -4ø è 1 -1æ2ç0= çç1çè-1TBT® B¢æ b1 öç ÷ç b2 ÷ç ÷ =çb3 ÷ç ÷èb4 øæ ö-3 1 1 ö ç b1 ÷÷ç ÷1 -2 -1 ÷ b2ç ÷,1 ÷ çb ÷-2 2÷ 31 -1 -1 ø ç ÷èb4 øæ2ç0= çç1çè-1-3 1 1ö÷1 -2 -1÷,-2 21÷÷1 -1 -1øтак как из связи системы В с базисом (е)æ b1 öç ÷ æ1 1ç b2 ÷ ç 1 2ç ÷ =ççb3 ÷ ç1 1ç ÷ çè 1 3èb4 ø11221ö÷1÷1÷÷3øæ e1 öç ÷ç e2 ÷ç e3 ÷ç ÷è e4 øполучаем матрицу обратной связиæ1çç1ç1çè1æ1ç0~çç0çè0321 1 1 1 02 1 1 0 11 2 1 0 03 2 3 0 00 0ö æ 1 1÷ ç0 0÷ ç0 1~1 0÷ ç0 0÷ ç0 1ø è 0 21 1 1 1 01 0 0 -1 10 1 0 -1 00 1 2 1 -20 0ö æ 1÷ ç0 0÷ ç0~1 0÷ ç0÷ ç0 1ø è 01 1 10 0 -11 0 -11 2 -10 0 0ö÷1 0 0÷~0 1 0÷÷0 0 1ø1 1 1 1 0 01 0 0 -1 1 00 1 0 -1 010 0 2 2 -2 -10ö÷0÷~0÷÷1øæ1ç0~çç0çè0-1/2 -1/2 ö÷00 ÷.10 ÷÷-1/2 1/2 ø0 0 0 2 01 0 0 -1 10 1 0 -1 00 0 1 1 -1Другой вариант решения.

Покажем, что эти векторы образуютбазис.Для B определим ранг эквивалентными преобразованиями:æ1çç1ç1çè11 1 1ö÷2 1 3÷~1 2 2÷÷1 1 3øæ1çç0ç0çè01 1 1ö÷1 0 2÷.0 1 1÷÷0 0 2øТогда r = 4.Для B ¢æ1çç0ç3çè3-2-3-5-42254-2 ö æ 1 -2 2 -2 ö æ 1 -2 2 -2 ö÷ ç÷ ç÷-3 ÷ ç 0 -3 2 -3 ÷ ç 0 1 -1 2 ÷.~~-4÷ ç 0 1 -1 2 ÷ ç 0 0 -1 3 ÷÷ ç÷ ç÷-4ø è 0 2 -2 2 ø è 0 0 0 -2 øТогда r = 4 . Следовательно, векторы образуют базисы. При пере)ходе от B ® B ¢ получаем Te ® B ¢ = Te ® B × TB ® B ¢ .Тогдаæ 2 -1 -1ç01 0T B ® B¢ = çç -1/ 2 0 1çè -1/ 2 0 01 ö÷-1 ÷-1/ 2÷æ1çç0ç3÷ç1/ 2 ø è 3-2 2 -2ö÷-3 2 -3÷=-5 5 -4÷÷-4 4 -4øæ 2 0 1çç -3 1 -2ç 1 -2 2çè 1 -1 1-1ö÷1÷.-1÷÷-1øП р и м е р 17.

Найти размерность и какой)нибудь базис линей)ной оболочки заданной системы арифметических векторовx1 = (1, 0, 0, -1) T , x2 = (2, 1, 1, 0) T , x 3 = (1, 1, 1, 1) T , x 4 = (1, 2, 3, 4) T ,x 5 = (0, 1, 2, 3) T .33Р е ш е н и е. Выясним, сколько векторов образуют базис. Найдемранг системы векторов:æ1çç2ç1ççç 1è00 0 -1 ö æ 1 0÷ ç1 1 0 ÷ ç0 11 1 1 ÷ ~ ç0 1÷ ç2 3 4 ÷ ç0 2÷ ç1 2 3 ø è0 10 -1 ö æ 1 0÷ ç1 2 ÷ ç0 11 2 ÷ ~ ç0 0÷ ç3 5 ÷ ç0 0÷ ç2 3 ø è0 00 -1 ö æ 1 0÷ ç1 2 ÷ ç0 10 0 ÷ ~ ç0 0÷ ç1 1 ÷ ç0 0÷ ç1 1 ø è0 00 -1 ö÷1 2÷1 1÷.÷0 0÷÷0 0øСледовательно, r = 3, а за базис можно взять (x1 , x2 , x 4 ) .Глава 3. ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО3.1. Процесс ортогонализации системы векторовОпределение.

Линейное пространство Е называется евклидо)вым, если определена операция скалярного произведения, котораялюбым двум векторам пространства ставит в соответствие вещест)венное число ((x , y ) ® a) ; операция скалярного произведенияопределяется следующими аксиомами:1) (x , y ) = (y , x ) ;2) (x + y , z ) = (x , z ) + (y , z ) ;3) (a x , y ) = a (x , y ) ;4) (x , x ) ³ 0; (x , x ) = 0 Û x = Q.Величину x = (x , x ) называют нормой вектора x. Вектор x,длина которого равна единице, называют нормированным. Для лю)бых векторов x и y евклидова пространства справедливо неравенство2Коши–Буняковского: (x , y ) £ (x , x )(y , y ).

Величину , определяе)(x , y )мую из соотношения cos j =, называют углом между вектора)x yми x и y. Векторы x, y называют ортогональными, если (x , y ) == 0 Þ cos j = 0 Þ j = p /2.Базис (e1 , e2 , . . . , e n ) называют ортонормированным, еслиì0 при i ¹ j,(e i , e j ) = íî1 при i = j .34Если в пространстве Ln задан произвольный базис ( f1 , f2 , . . . , fn ),то векторы e1 = f1 , e k = fk -k -1å c (i k -1) e i ,i =1k = 2, 3, . . . , n , где c (i k - 1) =(f , e )= k i , образуют ортогональный базис в этом пространстве (про(e i , e i )цесс ортогонализации Шмидта).В ортогональном базисе (e1 , e2 , .

. . , e n ) скалярное произведениевекторов x, y находят по формуле(x , y ) = X T Y = x 1 y1 + x 2 y 2 + . . . + x n y n .Комплексное линейное пространство U называют унитарным, если каждой паре векторов x, y из U поставлено в соответствие комплексное число, обозначаемое символом (x, y) и называемое скалярным произведением векторов x и y, причем выполнены следующиеусловия:1) (x , y ) = (x , y ) ;2) (x1 + x2 , y ) = (x1 , y ) + (x2 , y ) ;3) (a x , y ) = a (x , y ), a Î C ;4) (x , x ) ³ 0 , причем (x , x ) = 0 Û x = Q .В унитарном пространстве не определяется угол между векторами.Все остальные определения, сформулированные для евклидова пространства, остаются справедливыми и для унитарного пространства.Следует отметить, что все евклидовы и унитарные пространства в дальнейшем называются пространствами со скалярным произведением.П р и м е р 18.

В ортонормированном базисе (e1 , e2 , . . . , e n ) заданы векторы x, y. Найти угол между векторами x и y:1) x = (1, 2, 3, 0) T , y = (-2, 1, 0, 4) T ; 2) x = (1, 1, 1, -1) T , y == (-1, 0, 1, 1 ) T .Р е ш е н и е . Найдем угол между векторами:1) (x , y ) = X TY = (1 , 2, 3, 0) (-2, 1, 0, 4) T = -2 + 2 + 0 + 0 = 0 ,следовательно, векторы x и y ортогональны,2) (x , y ) = -1 + 0 + 1 + 1 = 1, x = (x , x ) = 2,(x , y )== 1 .x y2 3y = 3 , cos j =35П р и м е р 19. Применить процесс ортогонализации к системамTTTвекторов f1 = (1, 1, 1, 1) , f2 = (3, 3, –1, –1) , f3 = (–2, 0, 6, 8) , евк)лидова пространства E.Р е ш е н и е .