лин пространства (Линейные пространства(метода)), страница 9

е. в виде суммы квадратичной формы j, линейной формы (одно)родного многочлена первой степени) и свободного члена с. Через Аобозначим матрицу квадратичной формы j , через X — столбец изпеременных x1 , х2 , . . . , x n .63Квадратичную форму приведем к каноническому виду, при)менив ортогональное преобразование:nхi =å t ij yj ,i = 1, 2, . . . , n .(4.13)j =1Многочлен (4.12) будет выглядеть так:rni =1i =1å l i y 2i + 2 å b i¢ y i+ c ; l i ¹ 0 , i = 1, 2, . .

. , r ; r = rang A .(4.14)2æb¢ öb ¢2Из равенства l i y 2i + 2b i¢ y i = l i ç y i + i ÷ - i ясно, что па)li ølièраллельный переносyi = z i -b i¢, i = 1, 2, . . . , r ; y i = z i , i = r + 1, . . . , nli(4.15)приведeт многочлен (4.14) к видуrå l i z 2i + 2i =1nå b i¢ z i+ c ¢.(4.16)i = r +1Если не все b r¢ + 1 , .

. . , b n¢ равны нулю, то (n – r))мерный вектор1n(b r¢ + 1 , . . . , b n¢ ) = (q r + 1, r + 1 , . . . , q r + 1, n )åb ¢i2i = r +1можно дополнить до ортонормированной системы (n – r))мерногопространства векторами(q r + 2, r + 1 , . . . , q r + 2, n ) ,.......................(q n , r +1 , . . .

, q n , n ) .Преобразованиеnu i = z i , i = 1, 2, . . . , r ; u i =å q ij z j ,j = r +164i = r + 1, . . . , n, (4.17)будет ортогональным. Обратное преобразованиеnå q ji u j ,i = r + 1, . . . , n, (4.18)å l i u2i + 2 l r +1u r +1 + c ¢ ,(4.19)u i = z i , i = 1, 2, . . . , r ; z i =j = r +1приведет многочлен (4.16) к видуrinгде l r + 1 =å b i¢2¹ 0.

Наконец, преобразованиеi = r +1u i = v i , i ¹ r + 1; u r + 1 = v r + 1 -c¢2 l r +1(4.20)приведет многочлен (4.19) к видуrå l i v2i + 2 l r +1 vr +1 .(4.21)i =1П р и м е р 39. Найти ортогональное преобразование, приводящеек каноническому виду многочлен 2 х1 х2 + 2 х1 х 3 - 2 х1 х 4 - 2 х2 х 3 ++ 2 х2 х 4 + 2 х 3 х 4 + 3 х1 + 3 х2 + х 3 + х 4 + х 5 + х 6 + 1.Р е ш е н и е . Преобразованиех1 = 0,5(y1 + y2 + y 3 + y 4 ), х1 = 0,5(y1 + y2 - y 3 - y 4 ),х 3 = 0,5(y1 - y2 + y 3 - y 4 ), х 4 = 0,5(y1 - y2 - y 3 + y 4 ),x5 = y5 ,x6 = y6приведет многочлен к видуy12 + y22 + y 23 - 3 y 24 + 4y1 + 2 y2 + y 5 + y 6 + 1.Полагаем z 1 = y1 + 2, z 2 = y2 + 1, z i = y i , i = 3, 4, 5, 6.

Найдемпреобразование y1 = z 1 - 2 , y2 = z 2 - 1, z i = y i , i = 3 , 4, 5, 6, приво)дящее многочлен к виду z 12 + z 22 + z 23 - 3 z 24 + z 5 + z 6 - 4.Далее надо вектор a = (1, 1) из коэффициентов при z 5, z6 нор)мировать и дополнить до ортонормированной системы. Полу)æ 1 1öчим 1 ç÷ , поэтому преобразование z i = u i , i = 1, 2, 3, 4; z 5 =2 è 1 -1ø6511(u 5 + u 6 ) , z 6 =(u 5 - u 6 ) приведет многочлен к выраже)22нию u12 + u22 + u 23 - 3u 24 + 2u 5 - 4. Наконец, преобразование ui = vi,=i ≠ 5; u 5 = v 5 + 2 2 приведет исходный многочлен к каноническомувиду v12 + v22 + v23 - 3 v24 + 2 v 5 .Запишем неоднородное ортогональное преобразование, приво)дящее исходный многочлен к каноническом виду:1313x1 = (v1 + v2 + v 3 + v 4 ) - , x2 = (v1 + v2 - v 3 - v 4 ) - ,2222x 3 = 1 (v1 - v2 + v 3 - v 4 ) - 1 , x 4 = 1 (v1 - v2 - v 3 + v 4 ) - 1 ,2222x 5 = 1 (v 5 + v 6 ) + 2 , x 6 = 1 (v 5 - v 6 ) + 2 .22ЗАДАЧИ ДЛЯ ТИПОВОГО РАСЧЕТАЗадача 1.

Методом ортогонализации построить ортонормиро)ванный базис евклидова пространства по его базису a1 , a2 , a 3 . Исход)ные данные приведены в таблице.Номерварианта66Базиса1Та2Та 3Т1(1, 1, 2 )(2, –1, 0)(–1, 1, 1 )2(1, 1, 3 )(1,5, –1, 0)(–1, 1, 1 )3(1, 1, 4 )(4/3, –1, 0)(–1, 1, 1 )4(1, 1, 1,5 )(3, –1, 0)(–1, 1, 1 )5(1, 1, 4/3 )(4, –1, 0)(–1, 1, 1 )6(1, 1, 5 )(5/4, –1, 0)(–1, 1, 1 )7(1, 1, 5/4 )(5, –1, 0)(–1, 1, 1 )8(1, 1, 6 )(6/5, –1, 0)(–1, 1, 1 )9(1, 1, 6/5 )(6, –1, 0)(–1, 1, 1 )10(1, 1, 7 )(7/6, –1, 0)(–1, 1, 1 )Задача 2. Записать квадратичную форму с матрицей А.

Привес)ти полученную квадратичную форму к каноническому виду методомЛагранжа. Задано:æ 1 2 2öç÷1) А = ç 2 0 2 ÷ ;ç 2 2 4÷èøæ4 2ç2) А = ç 2 -3ç2 0è2ö÷0÷ ;2 ÷øæ 4 4 2öç÷3) А = ç 4 0 0 ÷ ;ç 2 0 1÷èøæ4 4 2 ö÷ç4) А = ç 4 3 0 ÷ ;ç 2 0 -4 ÷øèæ1 2 2 ö÷ç5) А = ç 2 3 2 ÷ ;ç 2 2 -1 ÷øèæ1 2 2 öç÷6) А = ç 2 0 0 ÷ ;ç 2 0 -1 ÷èøæ1 1 1 ö÷ç7) А = ç 1 -3 3 ÷ ;ç 1 3 -4 ÷øèæ1 2 1 ö÷ç8) А = ç 2 3 1 ÷ ;ç 1 1 -1 ÷øèæ1 0 2 ö÷ç9) А = ç 0 -1 -1 ÷ ;ç 2 -1 2 ÷øèæ1 1 1 ö÷ç10) А = ç 1 0 0 ÷ .ç 1 0 -1 ÷øèЗадача 3. Привести квадратичную форму j(x, y, z) к канониче)скому виду ортогональным преобразованием.

Указать новый базис иортогональное преобразование. Задано:1) j(x, y, z ) = 10 x 2 + 14y 2 + 7 z 2 - 10 xy - 2 xz - 5 2 yz ;2) j(x, y, z ) = 15, x 2 - 5 y 2 + 15, z 2 + 4xy - xz - 4yz ;3) j(x, y, z ) = x 2 + y 2 + 2 z 2 - 4xy + 2 2 xz - 2 2 yz ;4) j(x, y, z ) = 2 y 2 - 3 z 2 - 2 3 xy - 4xz + 4 3 yz ;5) j(x, y, z ) = x 2 + y 2 + z 2 + (4/3)xy + (8 2 /3)yz ;6) j(x, y, z ) = x 2 + z 2 + 8 xy + 4 2 xz - 2 2 yz ;7) j(x, y, z ) = 5 x 2 + 13 y 2 + 5 z 2 + 4xy + 8 yz ;8) j(x, y, z ) = 2 x 2 + 2 y 2 + 2 z 2 + (2 /3)xy + (4 2 /3)yz ;9) j(x, y, z ) = 5 x 2 + 4y 2 + 2 z 2 - 4xy - 2 2 xz + 4 2 yz ;10) j(x, y, z ) = -2 x 2 + 5 y 2 - 2 z 2 + 4xy + 4xz ;11) j(x, y, z ) = 4x 2 + 4y 2 + 4 z 2 + 4xy + 4xz - 4yz ;12) j(x, y, z ) = x 2 + y 2 - z 2 + 6 xy + 2 xz - 2 yz ;6713) j(x, y, z ) = x 2 + y 2 + 3 z 2 - 2 xy - 2 xz - 2 yz ;14) j(x, y, z ) = 2 x 2 + 2 y 2 - 2 z 2 - 4xy + 2 xz + 2 yz ;15) j(x, y, z ) = -2 x 2 + y 2 + 6 z 2 - 4xy + 6 xz - 12 yz ;16) j(x, y, z ) = -x 2 + 2 y 2 - z 2 + 4xy - 2 xz - 4yz ;17) j(x, y, z ) = xy + xz + yz ;18) j(x, y, z ) = 2 xy - 2 xz + 4yz ;19) j(x, y, z ) = -x 2 - 2 y 2 - 5 z 2 + 2 xy + 4yz ;20) j(x, y, z ) = -x 2 - 4y 2 - 3 z 2 + 2 xy + 2 xz + 2 yz .Задача 4.

Привести квадратичную форму j к каноническому ви)ду. Определить тип квадратичной формы. Задано:1) j(x, y) = 2 x 2 + 2 хy + 2 y 2 ;2) j(x, y, z ) = 2 z 2 + 4хy ;3) j(x, y, z ) = x 2 - 4xy + 2 z + 2 xy + 4y 2 + z 2 ;4) j(x, y) = 5 x 2 - 4 6 xy + 7 y 2 ;5) j(x, y, z ) = x 2 - 2 y 2 4xy + 4xz + 17 y 2 + 8 yz - 2 z 2 ;6) j(x, y) = 3 y 2 + 4xy ;7) j(x, y, z ) = 5 x 2 + 8 xz 2 + 5 z 2 ;8) j(x, y, z ) = 7 x 2 + 6 y 2 + 5 z 2 - 4xy - 4xz ;9) j(x, y) = 5 x 2 + 8 xy + 5 y 2 ;10) j(x, y, z ) = 2 x 2 + z - 4xy - 4yz ;11) j(x, y) = x 2 + 10 xy + y 2 ;12) j(x, y) = 5 x 2 - 2 xy + 5 y 2 ;13) j(x, y) = 3 x 2 + 8 xy + 9y 2 ;14) j(x, y) = 2 x 2 + 2 xy + 2 y 2 ;15) j(x, y) = 5 x 2 + 8 xy + 5 y 2 ;16) j(x, y, z ) = 7 x 2 + 6 y 2 + 5 z 2 - 4xy ;17) j(x, y) = 5 x 2 + 8 xy + 5 y 2 ;18) j(x, y) = 3 y 2 + 4xy ;19) j(x, y) = 3 x 2 + 2 xy + 3 y 2 ;20) j(x, y, z ) = xy + xz + yz .68СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ1.

Шилов Г. Е. Математический анализ. Конечномерные линей)ные пространства. М.: Наука, 1969. 432 с.2. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейнойалгебры. М.: Наука, 1984. 319 с.3. Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре. М.: Наука, 2007.272 с.4. Шевцов Г.С. Линейная алгебра. М.: Гардарики, 1999. 360 с.5.

Блох Э.Л., Лошинский Л.И., Турин В.Я. Основы линейной алгеб)ры и некоторые ее приложения: Учеб. пособие. М.: Высш. шк., 1971.256 с.6. Канатников А.Н., Крищенко А.П. Линейная алгебра. М.: Изд)воМГТУ им. Н.Э. Баумана, 1998. 336 с.7. Сборник задач по линейной алгебре: Учеб.

пособие / В.И. Ле)ванков, Е.Н. Мирославлев, С.К. Соболев, В.Ю.Чуев; Под ред. С.К. Со)болева. М.: Изд)во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1991. 156 с.ОГЛАВЛЕНИЕВведение · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·3Глава 1. Линейные преобразования · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·31.1. Определение и свойства линейного преобразования · · · · · · · ·31.2. Операции над линейными преобразованиями · · · · · · · · · · · ·5Глава 2. Линейные пространства · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·72.1.

Числовое поле. Аксиомы линейного пространства · · · · · · · · ·2.2. Линейная зависимость векторов · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·2.3. Размерность линейного пространства · · · · · · · · · · · · · · · · · ·2.4. Базис линейного пространства · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·7101416Глава 3. Евклидово пространство · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 343.1. Процесс ортогонализации системы векторов · · · · · · · · · · · · · 343.2. Линейные операторы · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 403.3. Собственные векторы и собственные значения линейногооператора · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 46Глава 4. Билинейные и квадратичные формы · · · · · · · · · · · · · · · · · · 554.1. Линейные и билинейные формы · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 554.2.

Квадратичные формы· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 574.3. Канонический вид неоднородного многочлена второй степени · · 63Задачи для типового расчета · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 66Список литературы · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 69Учебное изданиеФеоктистов Владимир ВасильевичСидняев Николай ИвановичЛинейные и евклидовы пространстваРедактор О.М.

КоролеваКорректор Л.И. МалютинаКомпьютерная верстка И.А. МарковойПодписано в печать 22.02.2008. Формат 60× 84/16. Бумага офсетная.Усл. печ. л. 4,19. Уч.изд. л. 4,05. Тираж 2500 экз. Изд. № 63.ЗаказИздательство МГТУ им. Н.Э. БауманаТипография МГТУ им. Н.Э. Баумана105005, Москва, 2я Бауманская ул., 5.