лин пространства (956850), страница 7
Текст из файла (страница 7)
В пространстве R 3 заданы два линейных оператора:Ax = (7 x1 + 4x 3 , 4x2 - 9x 3 , 3 x1 + x2 ) TиBx = (x2 - 6 x 3 , 3 x1 + 7 x 3 , х1 + x2 - x 3 ) Т .43Найти матрицу С линейного оператора С = АВ – ВА и его явный3вид в каноническом базисе R .Р е ш е н и е . Найдем координаты образов базиса:Ae1 = (7, 0, 3) Т , Ae2 = (0, 4, 1) Т , Ae 3 = (4, -9, 0) Т ,Be1 = (0, 3, 1) Т , Be2 = (1, 0, 1) Т , Be 3 = (-6, 7, -1) Т .В результате получимæ7 0 4 ö÷çA = ç 0 4 -9 ÷ ,ç3 1 0 ÷øèæ 0 1 -6 ö÷çB = ç3 0 7 ÷ ,ç 1 1 -1÷øèæ 7 0 4 ö æ 0 1 -6 ö æ 4 11 -46 ö÷÷ ç÷ççAB = ç 0 4 -9 ÷ ç 3 0 7 ÷ = ç 3 -9 37 ÷ ,ç 3 1 0 ÷ ç 1 1 -1÷ ç 3 3 -11÷øø èøèèæ 0 1 -6 ö÷çBA = ç 3 0 7 ÷ç 1 1 -1÷øèæ 7 0 4 ö æ-18 -2ç÷ ç7ç 0 4 -9 ÷ = ç 42ç3 1 0 ÷ ç 43ø èè-9 ö÷12 ÷ ,-5 ÷øæ 22 13 -37 ö÷çC = AB - BA = ç -39 -16 25 ÷ .ç -10-6 ÷øèЗная матрицы оператора С, найдемCe1 = (22, -39, -1) Т , Ce2 = (13, -16, 0) Т , Ce 3 = (-37, 25, -6) Т ,Cx = C (xe1 + x2 e2 + x 3 e 3 ) Т = x1Ce1 + x2Ce2 + x 3Ce 3 == (22 x1 + 13 x2 - 37 x 3 , -39x1 - 16 x2 + 25 x 3 , - x1 - 6 x 3 ) Т .3П р и м е р 28.
В пространстве R заданы два базиса:B ¢ : e1¢ = 8e1 - 6e2 + 7e 3 , e2¢ = -16e1 + 7e2 - 13e 3 , e 3¢ = 9e1 - 3e2 + 7e 3 ,B ¢¢ : e1¢¢ = e1 - 2e2 + e 3 , e2¢¢ = 3e1 - e2 + 2e 3 , e 3¢¢ = 2e1 + e2 + 2e 3 .Найти матрицу оператора А в базисе B , если его матрица в бази)се B имеет видæ 1 -18 15 ö÷çA = ç -1 -22 20 ÷ .ç 1 -25 22 ÷øè44Р е ш е н и е .
ЗапишемA ¢¢ = T -1 AT , (e1¢¢, e2¢¢, e 3¢¢) = (e1¢, e2¢ , e 3¢ )T .Tогдаæ 1 3 2ö æ 8÷ ççç-2 -1 1÷ = ç-6ç 1 2 2÷ ç 7ø èè-169ö÷7 -3 ÷ T.-13 7 ÷øНайдем T, для этого вычислим обратную матрицу:æ 8 -16 9 1 0 0 ö÷ç7 -3 0 1 0 ÷ ~ç-6ç 7 -137 0 0 1÷øèæ 1 -2 9/8 1/8ç~ ç 0 1 -7 /8 -7 /8ç 0 -5 5 / 4 3 / 4èæ 1 -2 9/8 1/8çç 0 -5 15 / 4 3 / 4ç 0 1 -7 /8 -7 /8è0 0 ö æ 1 -2÷ ç0 1÷ ~ ç 0 11 0 ÷ø çè 0 00 0ö÷1 0÷ ~0 1÷ø9/8 1/80 0ö÷-7 /8 -7 /8 0 1÷ ~-5 /8 -29/8 1 5 ÷ø0 -32 /5 9/59ö æ1 0 0 2-1-3 ö÷ ç÷0 21/5 -7 /5 -6 ÷ ~ ç 0 1 0 21/5 -7 /5 -6 ÷ ,1 29/5 -8 /5 -8 ÷ø çè 0 0 1 29/5 -8 /5 -8 ÷øæ 1 -2ç~ ç0 1ç0 0è-1-3 ö æ 1 3æ 2÷ççT = ç 21/5 -7 /5 -6 ÷ ç-2 -1ç 29/5 -8 /5 -8 ÷ ç 1 2øèè2 ö æ 1 1 -3 ö÷÷ ç1÷ = ç 1 2 -5 ÷ .2 ÷ø çè 1 3 -6 ÷øНайдем T –1:æ 1 1 -3 1 0 0 ö æ 1 1 -3 1 0 0 ö æ 1 1 -3 1 0÷ çç÷ çç 1 2 -5 0 1 0 ÷ ~ ç 0 1 -2 -1 1 0 ÷ ~ ç 0 1 -2 -1 1ç 1 3 -6 0 0 1÷ ç 0 2 -3 -1 0 1÷ ç 0 01 1 -2ø èèø è0ö÷0÷ ~1÷øæ 1 1 0 4 -6 3 ö æ 1 0 0 3 -3 1ö÷ ç÷ç~ ç 0 1 0 1 -3 2 ÷ ~ ç 0 1 0 1 -3 2 ÷ .ç 0 0 1 1 -2 1÷ ç 0 0 1 1 -2 1÷ø èøè45Тогдаæ 3 -3 1ö æ 1÷ççA ¢¢ = ç 1 -3 2 ÷ ç-1ç 1 -2 1÷ ç 1øèèæ 7 -13 7 ö÷ç= ç 6 -2 -1÷ç41 -3 ÷øè-18 15 ö æ 1 1 -3 ö÷÷ç-22 20 ÷ ç 1 2 -5 ÷ =-25 22 ÷ø çè 1 3 -6 ÷ø2öæ 1 1 -3 ö æ 1 2÷÷ ççç 1 2 -5 ÷ = ç 3 -1 -2 ÷ .ç 1 3 -6 ÷ ç 2 -3 1 ÷øø èè3.3.
Собственные векторы и собственные значениялинейного оператораnПусть линейный оператор L отображает пространство X в себя,nnт. е. L : X ® X . Ненулевой вектор x Î X n называют собственнымвектором линейного оператора L, если Lx = lx , т. е. если оператор Lпереводит вектор x в коллинеарный ему вектор. Число λ называютсобственным значением оператора L, соответствующим собствен)ному вектору x. Если А – матрица L, то собственные векторы нахо)дят из уравнения Ax = l x , которое в координатной форме выгля)дит так:ì(a11 - l)x1 + a12 x2 + .
. . + a1n x n = 0,ïa x + (a - l)x + . . . + a x = 0,ï 21 12222n ní................................................ïïîa n 1 x1 + a n 2 x2 + . . . + (a nn - l)x n = 0 .(3.1)Линейный оператор L имеет собственный вектор x (ненулевой)тогда и только тогда, когда однородная система (3.1) имеет ненуле)вые решения, т.
е. ранг матрицы системы (3.1) r < n,...a11 - la12a2a22 - l . . ..........an146an2a1na2 n= 0..... . . a nn - l(3.2)Нетривиальное решение (3.2) существует лишь при условииdet(A - lE ) = 0 .(3.3)Здесь Е – единичная матрица. Уравнение (3.3) называют характеристическим уравнением матрицы А, собственные значения li матрицы A являются корнями характеристического уравнения (3.3).Нахождениe собственных векторов и собственных значений матрицы выполняют в такой последовательности.Выписывают системы линейных уравнений (3.1) относительнокоординат собственного вектора Х.Находят собственные значения матрицы А как корни характеристического уравнения (3.3).Для каждого найденного собственного значения li, подставляяего в (3.1), определяют соответствующий столбец координат собственного вектора Xi, являющегося решением (3.1).П р и м е р 29.
Найти собственные значения и собственные векторы матрицы А.æ 1 3ö1. А = ç÷.è 4 2øæ 11 -6 2 ö÷ç2. А = ç-610 -4÷ .ç 2 -4 6 ÷øèæ2ç3. А = ç-5ç5è-5 -5 ö÷2 -5 ÷ .-5 2 ÷øР е ш е н и е . 1. Запишем АХ = Х ⇔ (А – Е)Х = 0, тогдаì(1 - l)х1 + 3 х2 = 0,íî4х1 + (2 - l)х2 = 0.Найдем собственные значения матрицы А как корни характеристического уравнения: det(A – E) = 0, тогда1- l342-l= 0 Þ l1 = 5, l2 = -2.47Найдем собственные векторы матрицы как решение соответст)вующих уравнений (3.1).Определимì(1 - 5)х1 + 3 х2 = 0 ,l1 = 5 : íî4х1 + (2 - 5)х2 = 0 .Получим решениеæ 3 ö3x1 = x2 Þ X 1 = çk÷ .4è 4k øАналогично предыдущему определимì(1 + 2)х1 + 3 х2 = 0 ,l2 = -2 : íî4х1 + (2 + 2)х2 = 0 ,æ -köтогда x1 = -x2 Þ X 2 = ç ÷ .è kø2. Запишем АХ = Х, т.
е. (А – Е) Х = 0, тогдаì(11 - l)х1 - 6 х2 + 2 х 3 = 0,ïí-6 х1 + (10 - l)х2 - 4х 3 = 0,ï2 х - 4х + (6 - l)х = 0.32î 1Найдем собственные значения матрицы как корни характеристи)ческого уравнения det(A – E) = 0. Запишем11 - l-62-6210 - l-4 = 0.-46-l32Раскрывая определитель, получим – 27 + 180 – 234 = 0.Первое собственное значение 1 = 3 найдем подбором как дели)тель свободного члена. Тогда3– 272+ 180 – 234 = ( – 3)(2– 24 +108) = 0,откуда 2 = 6, 3 = 18.Найдем нетривиальные решения для следующих систем.48При1=3 для системыì(11 - 3)х1 - 6 х2 + 2 х 3 = 0,ïí-6 х1 + (10 - 3)х2 - 4х 3 = 0,ï2 х - 4х + (6 - 3)х = 023î 1æ k /2 öç÷получим X 1 = ç k ÷ .ç k ÷èøПри2=получим X 2При36 для системыì(11 - 6)х1 - 6 х2 + 2 х 3 = 0,ïí-6 х1 + (10 - 6)х2 - 4х 3 = 0,ï2 х - 4х + (6 - 6)х = 023î 1æ -k ö÷ç= ç -k /2 ÷ .ç k ÷øè= 18 для системыì(11 - 18)х1 - 6 х2 + 2 х 3 = 0,ïí-6 х1 + (10 - 18)х2 - 4х 3 = 0,ï2 х - 4х + (6 - 18)х = 032î 1æ 2k ö÷çполучим X 3 = ç -2 k ÷ .ç k ÷øèИтак, векторы Х1, Х2, Х3 являются собственными векторами мат)рицы А, отвечающими собственным значениям 1 = 3, 2 = 6, 3 = 18соответственно.32– 6 – 63 – 108 = 0, где 1 =3.
Запишем det(A – E) = 0. Тогда= 12, 2 = 3 = –3 – решение уравнения.Следовательно, для 1 = 12æ köç ÷X 1 = ç -k÷ ,ç k÷è ø49а для2=3=–3ì(2 + 3)х1 - 5 х2 + 5 х 3 = 0,ïí-5 х1 + (2 + 3)х2 - 5 х 3 = 0,ï5 х - 5 х + (2 + 3)х = 0.23î 1Решение этой системы имеет вид х1 = х2 – х3 .Получимæ k1 - k2 ö÷çX 2, 3 = ç k1 ÷ .÷ç køè2У п р а ж н е н и е . Найти собственные значения и собственныевекторы матриц А.æ 1 -2 0 öæ 2 -2 0 ö÷ç÷çæ 3 4ö1. A = ç÷ .
2. A = ç -2 1 -2 ÷ . 3. A = ç -2 2 -2 ÷ .è5 2øç 0 -2 3 ÷ç 0 -2 0 ÷øèøèОтветы.1.2.3.1=1=1=7,4,2,2=2=2=æ köæ 4k ö–2, X 1 = ç ÷ , X 2 = ç÷.è køè -5 k ø1,–1,3=–2,3=5,æ köæ 2 köæ 2k öç ÷ç ÷÷çX 1 = ç -2 k ÷ , X 2 = ç k ÷ , X 3 = ç 2 k ÷ .ç 2 k÷ç 2 k÷ç k ÷è øè øøèæ k öæ 2 köæ 2k ö÷çç ÷÷çX 1 = ç -k ÷ , X 2 = ç 2 k ÷ , X 3 = ç -2 k ÷ .ç 2k ÷ç k÷ç -2 k ÷øèè øøè22П р и м е р 30.
Линейный оператор L : X ® X имеет матрицуæ5 2öA=ç÷ . Найти собственные векторы L.è2 8øР е ш е н и е . Запишем систему (3.1) в видеì(5 - l)х1 + 2 х2 = 0 ,íî2 х1 + (8 - l)х2 = 0 ,50(3.4)а уравнение (3.2) – в виде5-l2= 0.28-l(3.5)2Раскроем определитель: λ – 13λ + 36 = 0, где λ1 = 9; λ2 = 4 – решения уравнения.Систему (3.4) при λ = 9 приведем к видуì-4х1 + 2 х2 = 0 ,íî2 х1 - х2 = 0 .Система содержит лишь одно независимое уравнение, из которого получим х2 = 2х1, илиæ х ö æ с ö æ 1öX 1 = ç 1 ÷ = ç 1 ÷ = ç ÷ с1è х2 ø è 2с1 ø è 2 ø– собственные векторы, соответствующие собственным значениям,λ 1 = 9.При λ = 4 система (3.4) принимает видìх 1 + 2 х 2 = 0 ,íî2 х1 + 4х2 = 0 ,где х1 + 2х2 = 0, тогдаæ х ö æ -2 öX 2 = ç 1 ÷ = ç ÷ с2 .è х2 ø è 1 øКак видим, каждому собственному числу λ соответствует неединственный собственный вектор, а целое одномерное подпространство собственных векторов.33П р и м е р 31.
Линейный оператор L : X ® X имеет матрицуæ 1çА = ç-2ç3è-2 3 ö÷2 -2 ÷ .-2 1 ÷øНайти собственные векторы L.51Р е ш е н и е . Запишем систему уравнений в видеì(1 - l)х1 - 2 х2 + 3 х 3 = 0 ,ïí-2 х1 + (2 - l)х2 - 2 х 3 = 0 ,ï3 х - 2 х + (1 - l)х = 0 .23î 1Характеристическое уравнение1 - l -2-2 2 - l3-23-2= 0,1- l2т. е. λ(λ – 4λ – 12) = 0, имеет решение λ 1 = 0; λ 2 = –2; λ 3 = 6.Каждое собственное значение λ последовательно подставим в ис)ходную систему.Для λ1 = 0ìх 1 - 2 х 2 + 3 х 3 = 0 ,ïí-2 х1 + 2 х2 - 2 х 3 = 0 ,ï3 х - 2 х + х = 0 .23î 1Следовательно,ìх 1 - 2 х 2 = 3 х 3 ,íî-2 х1 + 2 х2 = 2 х 3их1 = х3 ; х2 = 2х3; х3 = с1.Тогдаæ х1 ö æ 1öç ÷X 1 = ç х2 ÷ = ç 2 ÷ с1 .ç ÷è х 3 ø çè 1÷øДля λ2 = –2ì3 х1 - 2 х2 + 3 х 3 = 0 ,ïí-2 х1 + 4х2 - 2 х 3 = 0 ,ï3 х - 2 х + 3 х = 0 .23î 152Следовательно,ì3 х1 - 2 х2 = -3 х 3 ,íî-2 х1 + 4х2 = 2 х 3их1 = –х3 ; х2 = 0; х3 = с2.ТогдаX2Для λ3 = 6Следовательно,æ х1 ö æ -1öç ÷= ç х2 ÷ = ç 0 ÷ с2 .ç ÷è х 3 ø çè 1 ÷øì-5 х1 - 2 х2 + 3 х 3 = 0 ,ïí-2 х1 - 4х2 - 2 х 3 = 0 ,ï3 х - 2 х - 5 х = 0 .23î 1ì5 х1 + 2 х2 = 3 х 3 ,íî2 х1 + 4х2 = 2 х 3их1 = х3 ; х2 = –х3; х3 = с3 .ТогдаX3æ х 1 ö æ 1öç ÷= ç х2 ÷ = ç -1÷ с 3 .ç ÷è х 3 ø çè 1÷øСобственные векторы, соответствующие различным собствен)ным значениям, всегда линейно независимы.
Выберем из каждогоодномерного подпространства собственных векторов по одному век)тору, полагая, например, с1 = с2 = с3 = 1, получимæ 1öæ -1öæ 1öç ÷ç ÷ç ÷X 1 = ç 2 ÷ , X 2 = ç 0 ÷ , X 3 = ç -1÷ .ç 1÷ç 1÷ç3÷è øè øè øТак как1 -1 12 0 -1 = 6 ¹ 0 , то векторы Х1, Х2, Х3 линейно неза)1 11висимы.53П р и м е ч а н и е . На практике часто рассматривают операторы L,nnдействующие в евклидовом пространстве L : E ® E , которые в некотором ортонормированном базисе имеют симметричную матрицу, как былов примерах 30 и 31.
У таких линейных операторов собственные векторы,соответствующие различным собственным значениям, попарно ортогональны, что и подтверждают примеры, поэтому можно построить ортонормированный базис из собственных векторов. В ортонормированномбазисе ( f1 ,..., f n ) из собственных векторов матрица линейного операторастановится диагональной: A = diag(l1, l2, ..., ln).В примере 31 примем за базис векторыæ -1/ 2 öæ 1/ 6 öæ 1/ 3 ö÷ç÷÷ççf1 = ç 2 / 6 ÷ , f2 = ç 0 ÷ , f3 = ç-1/ 3 ÷ .ç 1/ 2 ÷ç 1/ 6 ÷ç 1/ 3 ÷øèøøèèМатрица в этом базисе будет выглядеть так:æ0 0çА = ç 0 -2ç0 0è0ö÷0÷ .6 ÷øП р и м е р 32. Привести к диагональному виду матрицуæ 4 -10 öА=ç÷è -10 -11øлинейного оператора L : X2 ® X2.Р е ш е н и е . Найдем собственные векторы и собственные значения оператора L , для чего решим систему уравненийì(4 - l)х1 - 10 х2 = 0 ,íî-10 х1 + (-11 - l)х2 = 0 .Характеристическое уравнение имеет вид4-l-10= 0,-10 -11 - lили542+ 7 – 144 = 0 , где1= 9,1= –16 – решение уравнения.Для l1 = 9ì5 х1 - 10 х2 = 0 ,или –5х1 –10х2 = 0, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
