лин пространства (Линейные пространства(метода)), страница 8

е. х1 = –2х2 .íî-10 х1 - 20 х2 = 0 ,æ -2 öПолучим X 1 = ç ÷ c1 .è 1øДля l2 = –16ì20 х1 - 10 х2 = 0 ,или 20х1 –10х2 = 0, т. е. х2 = 2х1 .íî-10 х1 - 5 х2 = 0 ,æ 1öПолучим X 2 = ç ÷ c2 .è2øПримем за базис единичные векторыæ -2 / 5 öf1 = ç÷è 1/ 5 øиæ 1/ 5 öf2 = ç÷.è2 / 5 øОчевидно, что векторы ортогональны. Матрица А примет видæ 9А=ç 0ç {è L( f1 )0 ö÷16 ÷ ,-{L( f2 ) øтогдаL( f1 ) = 9 f1 = 9 f1 + 0 × f2 , L( f2 ) = -16 f2 = 0 × f1 - 16 f2 .Глава 4.

БИЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕФОРМЫ4.1. Линейные и билинейные формыОпределение. В линейном пространстве задана линейная форма(линейная функция), если каждому вектору x поставлено в соответ)ствие число f (x ) так, что при этом выполнены условия:1) f (x + y ) = f (x ) + f (y ) ; 2) f (l x ) = lf (x ) .(4.1)55В силу свойств линейной формы для х = x1 e1 + x2 e2 + . . . ++ x n e n имеемf ( х ) = x 1 f ( e1 ) + x 2 f ( e2 ) + . . . + x n f ( e n ) == a1 x1 + a2 x2 + .

. . + a n x n =i =nå aixi,(4.2)i =1где a i = f (e i ), i = 1, 2, ..., n ; ai являются постоянными, зависящими отвыбора базиса (е ) .Определение. Функция j(х , y ) есть билинейная форма (били)нейная функция) от векторов х и y , если:1) при фиксированном векторе y j(х , y ) есть линейная функ)ция от х;2) при фиксированном векторе х j(х , y ) есть линейная функцияот y.В силу определения линейной функции условия 1), 2) означаютсоответственно:j(х1 + x2 , y ) = j(х1 , y ) + j(х2 , y ) ,(4.3)j(l х , y ) = lj(х , y ) ,(4.4)j(х , y1 + y2 ) = j(х , y1 ) + j(х , y2 ) ,(4.5)j(х , m y ) = mj(х , y ) ,(4.6)i =næ i =nöj( х , y ) = j çç å х i e i , å y j e j ÷÷ =è i =1øi =1(4.7)nnå j(e i , e j )x i y ji, j = 1=å a ij x i y j ,i, j = 1где a ij = j(e i , e j ) .Билинейную форму называют симметричной, если для любыхвекторов х и y справедливо равенство j(х , y ) = j(y , х ) .

Билиней)ная форма j(х , y ) симметричная тогда и только тогда, когда aij = ajiдля любых i и j. Скалярное произведение (х , y ) в евклидовом про)странстве является примером симметричной билинейной формы.564.2. Квадратичные формыОпределение. Пусть j(х , y ) симметричная билинейная форма.Функция j(х , х ) , которая получается из j(х , y ) , если положить y =х, называется квадратичной формой. То естьæ i =nj(х , x ) = j(x1 , x2 , . .

. , x n ) = j çç å х i e i ,è i =1n=å j(e i , e j )x i x j =i, j = 1j =nöj =1øå x j e j ÷÷=nå a ij x i x j .(4.8)i, j = 1Функция j(х , y ) называется билинейной формой, полярной кквадратичной форме j(х , х ).Определение. Квадратичная форма j(х , х ) называется положи)тельно)определенной, если для любого вектора х, не равного нулю,j(х , х ) > 0.Квадратичная форма в двухмерном евклидовом пространствеj(х1 , х2 ) = a11 x12 + a12 x1 x2 + a21 x2 x1 + a22 x1 x22(4.9)может быть записанa в виде произведения трех матрицæaj(х1 , х2 ) = (x1 x2 ) ç 11è a21a12 ö æ x1 ö÷ç ÷,a22 ø è x2 øгдеæaA = ç 11è a21a12 ö÷a22 ø– матрица коэффициентов квадратичной формы и а12 = а21.

Тогдаквадратичная форма j(х1 , х2 ) = a11 x12 + 2 a12 x1 x2 + a22 x22 запишетсяæx öв виде j(х1 , х2 ) = Х Т АХ , где X = ç 1 ÷ , или Х Т = (х1 , х2 ) .è x2 øПри обобщении на n)мерное евклидово пространствоæ a11 L a1n ö÷çj( х 1 , х 2 , K , x n ) = Х АХ ; A = ç M OM ÷ ; Х Т = (х 1 , х 2 , K , x n ).÷ça(4.10)è n 1 L a nn øТ57Задача состоит в том, чтобы выражение (4.10) представить в видесуммы квадратов, т. е.nj(х , x ) = j(x1 , x2 , .

. . , x n ) =å l i x 2i .(4.11)i =1В (4.11) не содержатся члены с произведением переменных xi и xj .Для всякой квадратичной формы существует новый базис, в ко)тором она имеет канонический вид. Симметричная матрица А рас)сматривается как матрица некоторого линейного оператора L, дейст)вующая в соответствующем евклидовом пространстве.Можно проверить, что j(х , x ) = (x , L(x )) – скалярное произведе)ние. Если в n)мерном евклидовом пространстве заменить базис, то увекторов х и L (x ) будут другие координаты, но скалярное произве)дение вводится независимо от базиса, поэтому значение квадратич)ной формы, соответствующее вектору х, остается прежним. Если зановый базис принять нормированные собственные векторы линей)ного оператора L, то его матрица станет диагональной:A = T T DT ,æ l1 L 0 ö÷çгде D = ç L L L ÷ ,ç0 L l ÷ènøи соответствующая квадратичная форма примет канонический видnj(х , x ) = j(y1 , y2 , .

. . , y n ) =å l i y 2i . Здесь li, i = 1, 2, ..., 4 – собствен)i =1ные числа матрицы A; T – ортогональная матрица, столбцы которойесть координаты ортонормированных собственных векторов симмет)ричной матрицы A, Y T = (y1 , y2 , . . . , y n ) – координаты вектора х вновом базисе.Запишем квадратичные формы в каноническом виде в следую)щих примерах.П р и м е р 33. Пусть (х1, x2) = 5х12 + 8х1х2 + 5х22 .Р е ш е н и е . Матрица квадратичной формы имеет видæ 5 4öА=ç÷.è 4 5ø58Найдем собственные значения оператора L, соответствующегоматрице А, из уравненияа11 - lа125-l4= 0 , т. е.= 0,а12а22 - l45-l1 = 1, 2 = 9 – решение.Даже не определяя соответствующие собственные векторы, отметим, что в ортонормированном базисе из собственных векторовматрица оператора принимает видгдеæ 1 0öD=ç÷,è 0 9øа квадратичная форма – вид (y1, y2) = у12 + 9у22 .П р и м е р 34.

Пусть (х1, x2) = 2х12 + 4х1х2 – х22 .æ2 2 öР е ш е н и е . Запишем А = ç÷.è 2 -1øХарактеристическое уравнение имеет вид2-l2= 0,2-1 - lгде l1 = 3, l2 = -2 – решение.В ортонормированном базисе из собственных векторовæ3 0 öD=ç÷,è 0 -2 øследовательно, j(y1 , y2 ) = 3 y12 - 2 y22 .П р и м е р 35. Пусть j(х1 , х2 , х 3 ) = 7 x12 + 6 x22 + 5 x 23 - 4x1 x2 - 4x1 x 3 .æ7çР е ш е н и е . Запишем А = ç-2ç0è-2 0 ö÷6 -2 ÷ .-2 5 ÷ø59Характеристическое уравнение имеет вид7 - l -2-26-l0или3– 182-2+ 99 – 162 = 0, где0-2= 0,5-l1= 3,2= 6,3= 9 – решение.В базисе из собственных векторов оператора Læ3 0 0ö÷çD = ç0 6 0÷ ,ç 0 0 9÷øèследовательно, j(y1 , y2 , y 3 ) = 3 y12 + 6 y22 + 9y 23 .При решении некоторых задач требуется не только найти кано)нический вид квадратичной формы, но построить также и базис, вкотором она принимает этот вид.П р и м е р 36. Задана линия, содержащая квадратичную форму.Найти ее канонический вид 2 x12 + 5 x22 - 4x1 x2 = 36 .æ 2 -2 öР е ш е н и е .

Запишем А = ç÷.è -2 5 øХарактеристическое уравнение имеет вид2-l-2= 0,-2 5 - lили2– 7 + 6 = 0, где 1 = 6, 2 = 1 – решение.Каноническое уравнение линии имеет вид6 y12 + y22 = 36 , илиу12 у22+=1636– эллипс. Чтобы изобразить этот эллипс, необходимо выяснить, какон расположен относительно исходного базиса. Для этого необходи)мо найти новые базисные векторы из системы уравненийì(2 - l) х1 - 2 х2 = 0 ,íî-2 х1 + (5 - l) х2 = 0 .60Из этой системы найдем собственные векторы оператора L, соот)ветствующего матрице А.Для λ1 = 6ì-4 х1 - 2 х2 = 0 ,æ 1öили х2 = –2х1, следовательно, е1 = ç ÷ с1 .íè -2 øî-2 х1 - х2 = 0 ,Для λ2 = 1ì х1 - 2 х2 = 0 ,æ2öили х1 = 2х2, следовательно, е2 = ç ÷ с2 .íè 1øî-2 х1 + 4х2 = 0 ,Ортонормированный базис образуют векторы:æ 1/ 5 öæ2 / 5 öf1 = ç÷ и f2 = ç÷.è -2 / 5 øè 1/ 5 øП р и м е р 37. Задана линия, содержащая квадратичную форму.Найти ее канонический вид 4x12 + 6 x1 x2 - 4x22 = 45 .4-l3æ 4 3öР е ш е н и е .

Запишем А = ç= 0,÷ Þ3-4 - lè 3 4øгде= 5, 2 = –5 – решение.Каноническое уравнение линии имеет вид 5 y12 - 5 y22 = 45, или1у12 у22= 1 – гипербола.99Система для отыскания собственных векторов выглядит так:ì(4 - l) х1 + 3 х2 = 0 ,íî3 х1 + (-4 - l) х2 = 0 .Для λ1 = 5ì- х 1 + 3 х 2 = 0 ,æ3öили х1 = 3х2 , следовательно, е1 = ç ÷ с2 .íè 1øî3 х1 - 9х2 = 0 ,Для λ2 = –5æ1 öì 9х1 + 3 х2 = 0 ,или х2 = –3х1 , следовательно, е2 = ç ÷ с1 .íè -3øî3 х1 + х2 = 0 ,61Ортонормированный базис образуют векторы:æ 3 / 10 öæ 1/ 10 öf1 = ç÷ и f2 = ç÷.è 1/ 10 øè -3 / 10 øП р и м е р 38.

Задана линия, содержащая квадратичную форму.Найти ее канонический вид.Рассмотрим случай, когда характеристическое уравнение квад)ратичнойформыимееткратныекорни:-2 x12 - x22 + x 23 + 2 3 х2 x 3 = -2 .Р е ш е н и е . Характеристическое уравнение имеет вид-2 - l000-1 - l3 = 0,031- lили (–2 – λ) (λ 2 – 4) = 0, где λ 1 = λ 2 = –2; λ 3 = 2 – решение.В базисе из собственных векторов уравнение принимает видy12 + y22 - y 23 = 1, т. е. определяет однополостный гиперболоид. Что)бы выяснить, как он расположен в пространстве, найдем собствен)ные векторы оператора L, соответствующие матрице А.

Запишемсистему уравнений для отыскания собственных векторовì(2 - l)х1 + 0 х2 + 0 х 3 = 0 ,ïí0 х1 + (1 - l)х2 + 3 х 3 = 0 ,ïî0 х1 + 3 х2 + (1 - l)х 3 = 0 .Для λ1, 2 = –2ìïх2 + 3 х 3 = 0 ,ìх = с 1 ,или х2 = - 3 х 3 . Тогда í 1íïî 3 х2 + 3 х 3 = 0 ,îх 3 = с 2 .Следовательно,æ 0 öæ с1 ö æ 1ö÷ç÷ ç ÷çх = ç - 3с2 ÷ = ç 0 ÷ с1 + ç - 3 ÷ с2 ,ç 1 ÷ç с ÷ ç0÷øèè 2 ø è ø62т. е. двукратному собственному значению соответствует двумерноеподпространство собственных векторов V2. За базисные можно при)нять любую пару ортогональных векторов в V2, напримерæ 0 öæ 1ö÷çç ÷f1 = ç 0 ÷ ^ f2 = ç - 3 /2 ÷ .ç 1/2 ÷ç0÷øèè øДля λ2 = 2ì-4х1 = 0 ,ïí-3 х2 + 3 х 3 = 0 ,ïî 3 х2 - х 3 = 0 ,или х1 = 0, х2 = 3 х 3 .3Следовательно,х3æ 0 ö÷ç= ç 3 /3 ÷ с 3 ;ç 1 ÷øèæ 0 ö÷çf3 = ç 1/2 ÷ ,ç 3 /2 ÷øèгде f3 указывает направление внутренней оси гиперболоида.

Все се)чения, перпендикулярные f3 , являются окружностями (случай рав)ных корней).4.3. Канонический вид неоднородного многочленавторой степениМногочлен второй степени F можно представить в виде суммыnF (x1 , . . . , x n ) = j(x1 , . . . , x n ) + 2 å b i x i + c ,(4.12)i =1т.