лин пространства (Линейные пространства(метода)), страница 3

Таким образом, в этом случае векторы a1 , a2 , a 3 коллинеарные.Пусть теперь rang A = 2. Тогда одна из матриц, состоящих из двухстолбцов матрицы А, имеет ранг 2. Пусть векторы a1 и a2 линейнонезависимые. Но система векторов a1 , a2 , a 3 линейно зависимая, т. е.для некоторой нетривиальной тройки чисел λ1, l2, l3 линейная комбинация имеет вид l1 a1 + l2 a2 + l 3 a 3 = Q. Здесь l3 ¹ 0, потому чтоиначе l1 a1 + l2 a2 = Q, и в силу независимости системы a1 , a2 должно выполняться l1 = l2 = 0. Тогда линейную комбинацию можно раз-l1-l2, m2 =.решить относительно a 3 , т.

е. a 3 = m 1 a1 + m 2 a2 , m 1 =l3l3Таким образом, если D = 0, а rang A = 2, то векторы a1 и a2 неколлинеарные, а вектор a 3 принадлежит плоскости этих векторов.2.3. Размерность линейного пространстваОпределение. Если в линейном пространстве L существует nлинейно независимых векторов, а любые n + 1 векторов этого пространства линейно зависимые, то линейное пространство называется nмерным. Число n называется размерностью пространства L(dim L).1423Например, пространства R и R соответственно двух и трехмерные. Если в линейном пространстве L существует линейно независимая система из любого числа векторов, то оно называется бесконечномерным.

Например, пространство С(а, b) – бесконечномерное.Определение. Подмножество L* линейного пространства L называется линейным подпространством, если выполнены следующиедва условия:a) x , y Î L * Þ x + y Î L * – сумма любых двух векторов из этогоподмножества принадлежит этому подмножеству;б) x Î L * Þ l x Î L * – для всякого числа сумма любых двухвекторов из этого подмножества принадлежит этому подмножеству.Если в пространстве L заданы линейные подпространства L1 и L2,то множество L0 векторов, принадлежащих как к L1 , так и к L2, является подпространством в L. Его называют пересечением подпространств L1 и L2 и обозначают L 0 = L1 Ç L2 .Линейным подпространством является также и объединениеподпространств L1 и L2. Это подпространство называют суммой подпространств L1 и L2 и обозначают L1 È L2 . Оно состоит из векторов,которые представляются в виде суммы двух слагаемых, одного – изL1 , другого – из L2 .Еcли пересечение L1 Ç L2 является нулевым подпространством,то сумму L1 È L2 называют прямой суммой и обозначают L1 Å L2 .Для размерностей подпространства выполняется следующее соотношение:dim (L1 È L2 ) = dim L1 + dim L2 – dim (L1 Ç L2 ) .Если пространство L является прямой суммой подпространствL1 и L2, то для любого вектора x из пространства L однозначновыполняется соотношение x = x1 + x2 , где x1 Î L1 , x2 Î L2 .

Приэтом вектор x1 называют проекцией вектора x на подпространство L1, параллельной подпространству L2. Аналогично x2 называютпроекцией вектора x на пространство L2 , параллельной подпространству L1.Если L* – некоторое подпространство в L, то множество векторов*L + x 0 = {x Î L : x = x * + x 0 , x * Î L* , x 0 Î L} называется линейным многообразием, полученным в результате сдвига подпространства L* на вектор x 0 .15Если Q – произвольная система векторов из линейного про)странства L, то линейной оболочкой системы Q называется мно)жество векторов span(x1 , x2 , ... , x s ) = L* (Q) = {x Î x = l1 x1 + ...

++ l s x s , x1 , ..., x s Î Q} .TП р и м е р 1. Линейную оболочку L*(a1, a2), где а1 = (1, 1, 2, 0)Tи а2 = (1, –1, 0, 2) , задать в видеìa11 t1 + a12 t2 + ... + a1 s t s = x1 ,ïa t + a t + ... + a t = x ,ï22 22s s2L* (Q) = t1 a1 + t2 a2 + ... + t s a s , í 21 1ï. . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .ïîa n 1 t1 + a n 2 t2 + ... + a ns t s = x nи общими уравнениями.Р е ш е н и е . Векторное уравнение L*(Q) в данном случае (s = 2,n = 4) принимает видL* (Q) = t1 a1 + t2 a2 .Отсюда, переходя к покоординатным равенствам, получаем дляL*(Q) параметрические уравнения в координатной форме:ìx 1ïxï 2íïx 3ïîx 4= t1 + t2 ,= t1 - t2 ,= 2 t1 ,= 2 t2 .Исключив здесь параметры t1 и t2, запишем для L*(Q) общиеуравненияì2 x1 - x 3 - x 4 = 0,íî2 x2 - x 3 + x 4 = 0.2.4. Базис линейного пространстваОпределение.

Система векторов (e1 , e2 , ..., e n ) = (e ) называетсябазисом пространства L, если:1) эта система линейно независимая;162) для любого вектора x Î L найдутся числачтоx = l1 e1 + l2 e2 + ... + l n e n ,1,2,…,nтакие,(2.3)где n – число векторов, образующих базис пространства; число n называется размерностью пространства Ln (n = dim L).Выражение (2.3) называется разложением вектора x по базису(e1 , e2 , ..., e n ) ; коэффициенты i в разложении – координатами элемента x в базисе (e1 , e2 , ..., e n ). Таким образом, если базис (e ) определен, то любой элемент x полностью определен своими координатами (принятые обозначения: (x) = (x1 , x2 , ..., x n ) T , или Х == (x1 , x2 , ..., x n ) T , x = (x1 , x2 , ..., x n ) T .3Например, в пространстве R базис образуют три любых некомпланарных вектора, заданных в определенном порядке, а в прост2ранстве R базис образуют два любых неколлинеарных вектора.Если подпространство L*(Q) задано общими уравнениями, т.

е.системой однородных уравнений, то для построения базиса подпространства L*(Q) следует получить какуюлибо фундаментальнуюсистему решений этой системы однородных уравнений [6, 7].П р и м е р 2. Найти какойлибо базис подпространства L*, заданного системой уравненийìx1 + x2 + x 3 + x 4 = 0,íîx1 - x2 + x 3 - x 4 = 0.Р е ш е н и е . Получим общее решение заданной системы в видеТХ = (–х3, –х4, х3, х4) . Здесь два свободных неизвестных: х3, х4.

Поэтому возьмем какойлибо отличный от нуля определитель второго1 0порядка, например определитель, и положим в общем решении0 1сначала х3 = 1, х4 = 0, затем х3 = 0, х4 = 1. Соответственно получимТТчастные решения Х1 = (–1, 0, 1, 0) , Х2 = (0, –1, 0, 1) , составляющиефундаментальную систему решений данной однородной системыуравнений. Эти решения являются одним из базисов подпространства L*.П р и м е р 3. В пространстве L построить для подпространстваTTL1 = L* (a1 , a2 ), где a1 = (1, 1, 1, 0) , a2 = (1, 0, 1, 0) , какоелибо прямое17Тдополнение L2 к L1 и найти проекцию вектора х = (2, 1, 5, 5) на подпространство L1, параллельную подпространству L2.Р е ш е н и е .

Векторы a1 и a2 и составляют базис в подпространстве L1. Дополним эту систему векторов до базиса в пространствеТТL, например векторами b1 = (0, 0, 1, 0) и b2 = (0, 0, 0, 1) , и положимL2 = L* (b1 , b2 ) . Очевидно, что L2 является искомым подпространством. Запишем векторное равенство x = a 1 a1 + a 2 a2 + b1b1 ++ b2 b2 , перейдем от него к покоординатным равенствам и из них найдем α12T1,1= 3,2= 5. Поэтому x = (a1 + a2 ) + (3b1 + 5b2 ) == (2, 1, 2, 0) + (0, 0, 3, 5) , где (2, 1, 2, 0) T Î L1 , (0, 0, 3, 5) T Î L2 . СлеTTдовательно, проекцией вектора x = (2, 1, 5, 5) на подпространствоTL1, параллельной подпространству L2 , является x1 = (2, 1, 2, 0) .Любой вектор x nмерного пространства можно, и притом единственным образом, разложить по базису этого пространства(e1 , e2 , ..., e n ) .Числа x1, x2, ..., xn называются координатами вектора x в базисе(e1 , e2 , ..., e n ).

В этом случае имеет место форма записи (x) = ( x1,Tx2, ..., xn ) , (e ) = (e1 , e2 , ..., e n ),Tx = (e1 , e2 , ..., e n ) ( x1, x2, ..., xn ) .(2.4)Из этого следует, что два вектора x = x1 e1 + x2 e2 + ... + x n e n иy = y1 e1 + y2 e2 + ... + y n e n nмерного линейного пространства, в котором задан некоторый базис, равны тогда и только тогда, когда ихкоординаты в этом базисе равны, т. е. когда x1 = y1, x2 = y2, …, xn = yn .Очевидно, что если в пространстве выбрать другой базис, то тотже вектор x будет иметь другие координаты.Следует отметить, что при переходе к новому базису (e ¢) == (e1¢, e2¢ , ..., e n¢ ) координаты вектора преобразуются по правилу:x = (e )(x) = (e ¢)(x ¢) = (e )T (x ¢) Þ x = T x ¢,(2.5)где x – координатный столбец в базисе; а x ¢ – координатный столбецв базисе (e1¢, e2¢ , ..., e n¢ ) ; T = Te ® e ¢ – матрица перехода от базиса(e1 , e2 , ..., e n ) к базису (e1¢, e2¢ , ..., e n¢ ) : (e ¢) = (e )T ,18æ a 11 a 12çaa 22T = ç 21ç ......çèa n1 a n1.

. . a 1n ö÷. . . a 2n ÷,... ... ÷÷. . . a nn øìe1¢ = a 11 e1 + a 21 e2 + ... + a n 1 e n ,ïe ¢ = a e + a e + ... + a e ,ï 212 122 2n2 níï. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .ïîe ¢ = a 1n e1 + a 2 n e2 + ... + a nn e n ;(e1¢, e2¢ , ..., e n¢ ) T = T T (e1 , e2 , ..., e n ) T .(2.6)Столбцы матрицы T = Te e′ – это координаты векторов (e ¢) в ба)зисе (e).3П р и м е р 4. В пространстве R даны векторы a , b , c , x ( в базисеi , j, k ):æ3öæ -1öæ0öæ 1öç ÷ç ÷ç ÷ç ÷a = ç 1÷ , b = ç 1 ÷ , c = ç 2 ÷ , x = ç 2 ÷ .ç5÷ç 0÷ç2÷ç 1÷è øè øè øè øДоказать, что a , b , c образуют базис. Разложить x по базисуa, b , c .æ 1 1 -1ö÷çР е ш е н и е . Для матрицы T = ç 1 1 2 ÷ rang (T) = 3, так какç1 2 0÷øèdet T = –5.Следовательно, столбцы матрицы T линейно независимы.

Три3линейно независимых вектора пространства R образуют базис.Пусть x = x1 a + x2 b + x 3 c , тогда x = (x1 - x 3 )i + (x1 + x2 ++ 2 x 3 ) j + (x 1 + 2 x 2 )k .Следовательно,ìx1 - x 3 = 3,ïíx1 + x2 + 2 x 3 = 2,ïx + 2 x = -5.2î 119Запишем систему в форме расширенной матрицы и сделаем эк)вивалентные преобразования:æ 1 0 -1 3 ö æ 1 0 -1 3 ö æ 1 0 -1 3 ö÷ ç÷÷ ççç 1 1 2 2 ÷ ~ ç 0 1 3 - 1÷ ~ ç 0 1 3 - 1÷ ,ç 1 2 0 -5 ÷ ç 0 2 1 -8 ÷ ç 0 0 -5 -6 ÷ø èøø èèìx1 - x 3 = 3,ïíx2 + 3 x 3 = -1,ï5 x = 6,î 3ìx1 = 21 / 5,ïíx2 = -23 / 5,ïx = 6 / 5.î 3Окончательно получимx = 21 a - 23 b + 6 c .555П р и м е р 5 . Найти матрицу перехода к базису e1¢ = (2, 3) T ,e2¢ = (1, 2) T , векторы которого заданы координатами в некотором ба)зисе (e1 , e2 ) .Р е ш е н и е . Здесь векторы нового базиса заданы координатами встаром базисе.