лин пространства (Линейные пространства(метода)), страница 2

В линейном пространстве существует единственный нулевойвектор.2. В линейном пространстве каждый вектор имеет единственныйпротивоположный вектор.3. Для любого элемента x ∈ L имеет место равенство 0 x = Q.4. Для любого вектора x ∈ L противоположный вектор равен–x = (–1)x.Существование противоположного вектора определяет возмож)ность введения для векторов линейного пространства операциивычитания как операции, обратной операции сложения: x – y = x ++ (–1)y = x + (–y).8Назовем разностью векторов x и y вектор z (который обозначимz = x - y ), удовлетворяющий равенству z + y = x . Прибавляя к обе)им частям этого равенства элемент –y и учитывая, что y + (-y ) = Q,получаем z = x + (-y ).Примеры линейных пространств.1. Множество всех вещественных чисел с обычными операция)ми сложения и умножения образует линейное пространство.

Рас)смотрим частные случаи при специальном выборе числовых полей:а) над полем рациональных чисел это множество будет линей)ным пространством;б) над полем вещественных чисел это множество также будет ли)нейным пространством;в) над полем комплексных чисел это множество линейное про)странство не образует (так как произведение действительного числана комплексное число есть комплексное число).2. Множество всех комплексных чисел образует линейное про)странство над любым из рассмотренных полей (см. п.

1).3. Множество всех рациональных чисел образует линейное про)странство над полем рациональных чисел. Над полем вещественныхили комплексных чисел это множество линейное пространство необразует.4. Рассмотрим множество элементов, каждый из которых являет)ся упорядоченной последовательностью из n чисел, принадлежащихTполю K. Элементы этого множества будем обозначать: x = (a1, ..., an) ,Ty = (b1, ..., bn) . Операции сложения векторов и умножения векторана число введем соответственно по правилам:x + y = (a 1 + b1 , .

. . , a n + b n ) T , lx = (la 1 , . . . , la n ) T .Введенные операции удовлетворяют всем аксиомам линейного про)странства. Значит, это множество является линейным пространст)вом, которое обозначим Rn. Очевидно, что нулевой вектор из Rn име)ет вид Q =(0, ..., 0)T.5. Множество всех многочленов степени, не превосходящей n, собычными для многочленов операциями сложения и умножения начисло также образует линейное пространство. В этом пространствевекторы x, y, ... имеют видx = A 0 t n + A1 t n - 1 + . .

. + A n ,где А0, А1, …, Аn – произвольные числа; t – переменная.96. Множество всех вещественных непрерывных на отрезке а ≤t £ bфункций с поточечными для функций операциями сложения и умножения на число образует линейное пространство С(а, b). Векторы x , yиз С(а, b), их сумма и произведение на α соответственно имеют вид:x = f (t), y = j(t), x + y = f (t) + j(t), a x = af (t).7.

Множество всех функций вида ae t + be t , -¥ < t < ¥, где аи b – произвольные вещественные числа, образуют линейное пространство.2.2. Линейная зависимость векторовЕсли x1 , x2 , ... , x n суть векторы линейного пространства L, аa1, a2, …, an – произвольные числа из поля K, то выражение a 1 x1 ++ a 2 x2 + ... + a n x n называется линейной комбинацией векторовx1 , x2 , ..., x n . Числа a1, a2, …, an называются коэффициентами этойлинейной комбинации.Определение. Если линейная комбинация векторов x1 , x2 , . . .

, x nобращается в нуль только тогда, когда все коэффициенты a1, a2, …, anравны нулю, то векторы x1 , x2 , ... , x n называются линейно независимыми. В противном случае, т. е . когда равенствоa 1 x1 + a 2 x2 + ... + a n x n = Q(2.1)возможно при условии, что хотя бы один из коэффициентов a1, a2, …,..., an отличен от нуля, векторы x1 , x2 , ... , x n называются линейно зависимыми.Заметим, что любая совокупность векторов, содержащая нулевой вектор, линейно зависимая.

В самом деле, пусть x1 = Q. Тогда, полагая1= 1;2=3=…=n= 0, получаем1 × x1 + 0 x2 + ... + 0 x n = Q,и так как 1 ≠ 0, то x1 , x2 , ... , x n линейно зависимые. Очевидно, чтосистема векторов x1 , x2 , ... , x n , содержащая совокупность линейно зависимых векторов, также линейно зависимая.10Векторы x1 , x2 , ... , x n линейно зависимые тогда и только тогда,когда хотя бы один из них можно представить как линейную комби)нацию оставшихся.3Например, в пространстве Ræ0öæ0öæ 1öç ÷ç ÷ç ÷e1 = ç 0 ÷ , e2 = ç 1÷ , e 3 = ç 0 ÷ç 1÷ç0÷ç0÷è øè øè ø– линейно независимые,æ3öæ 1öæ2öç ÷ç ÷ç ÷Y1 = ç 1÷ , Y2 = ç 1÷ , Y3 = ç 2 ÷ç 1÷ç 1÷ç0÷è øè øè ø– линейно зависимые.Действительно, a 1 e1 + a 2 e2 + a 3 e 3 = Q только при1=2=3= 0,в то время как Y1 + Y2 – Y3 = Q.nЗададим в R систему из k векторов:a s = (a1 s , a2 s , ..., a ns ) Т ; (s = 1, ..., k) .(2.2)По определению (2.1) система (2.2) – линейно зависимая, ес)ли из векторного равенства l1 a1 + l2 a2 + ...

+ l k a k = Q, гдеl1 , l2 , ... , l k – числа, следует, что если хотя бы одно число, например-l k -1-l1.lk ¹ 0, то a k = m 1 a1 + ... + m k - 1 a k - 1 , где m 1 = =, ... , m k - 1 =lklkТаким образом, если система из k векторов линейно зависимая,то один из них есть линейная комбинация остальных или зависит отостальных.Если система векторов a1 , ..., a k линейно независимая, то любаячасть этой системы a1 , ..., a m (m < k) тем более линейно независимая.Иначе нашлась бы нетривиальная система чисел l1 , ..., l m , для кото)рой выполнялось бы равенство l1 a1 + l2 a2 + ...

+ l m a m = Q, нотогда для системы чисел l1 , ..., l m , 0, ..., 0, которая тоже нетривиаль)ная, имело бы место равенство l1 a1 + l2 a2 + ... + l m a m + 0 a m + 1 ++ ... + 0a k = q.11Из сказанного следует, что если система векторов a1 , ..., a mлинейно зависимая, то любая пополненная система a1 , ..., a m ,a m +1 , ..., a k обладает тем же свойством. В частности, система векто)ров, содержащая в себе нулевой вектор, всегда линейно зависимая.Составим матрицу, определяемую векторами системы (2.2):æ a11 a12 ... a1k ö÷çA = ç ........... ÷ .ç a a ... a ÷è n1 n2nk øТеорема. Если rang A = k, (k £ n), т.

е. ранг матрицы А равен числувекторов, то система a s = (a1 s , a2 s , ..., a ns ) T ; (s = 1, ..., k) линейнонезависимая. Если же ранг матрицы А меньше k, то система a s == (a1 s , a2 s , ..., a ns ) T ; (s = 1, ..., k) линейно зависимая.Рассмотрим четыре примера.TT21. Два вектора a1 = (a11, a21) , a2 = (a12, a22) в R образуют ли)нейно независимую систему, если определитель D матрицыæa a öA = ç 11 12 ÷ не равен нулю, потому что векторное уравнение l1 a1 +è a21 a22 ø+ l2 a2 = Q эквивалентно двум скалярным уравнениям для соответст)вующих компонентìl1 a11 + l2 a12 = 0,íîl1 a21 + l2 a22 = 0,и система имеет единственное тривиальное решение l1 = l2 = 0.

Еслиже D = 0, то уравнениям удовлетворяет некоторая нетривиальная сис)тема a1 = l a2 , т. е. в R2 векторы a1 , a2 коллинеарные – линейнозависимые.В данном примере k = 2. Если же rang А = 2 = k, то векторы a1 , a2линейно независимые. Если rang A = 1 < 2 = k, то теорема утверждает,что векторы a1 , a2 линейно зависимые.22. Система векторов a1 , a2 , ..., a k (k ³ 3) в R всегда линейно зави)симая.33. В трехмерном пространстве R векторы a1 = (a11 , a21 , a 31 ) T иa2 = (a12 , a22 , a 32 ) T линейно зависимые тогда и только тогда, когдаони коллинеарные.12В самом деле, пусть векторы a1 , a2 коллинеарные.

Если один изних нулевой, то они линейно зависимые. Если же векторы a1 и a2 кол)линеарные и не нулевые, то a1 = l a2 , где l – некоторое число. По)следнее означает, что векторы a1 , a2 линейно зависимые. Если a1 , a2линейно зависимые, то один из них выражается через другой, напри)мер a1 = l a2 , т. е. векторы коллинеарные. Если рассмотреть матрицуæ a11 a12 ö÷çA = ç a21 a22 ÷ ,ça a ÷è 31 32 øто элементы столбцов матрицы пропорциональны и поэтомуrang A = 1 < 2 = k.3T4. Рассмотрим три вектора в пространстве R : a s = (a1s, a2s, a3s) ,s = 1, 2, 3. Пустьæ a11çD = det A = det ç a21çaè 31a12a22a 32a13 ö÷a23 ÷ .a 33 ÷øВекторному уравнению l1 a1 + l2 a2 + l 3 a 3 = Q эквивалентнасистема из трех уравнений:ì a11 l1 + a12 l2 + a13 l 3 = 0,ïí a21 l1 + a22 l2 + a23 l 3 = 0,ïa l + a l + a l = 0.32 233 3î 31 1Eсли D ¹ 0, то система имеет единственное тривиальное решениеl1 = l2 = l3 = 0, и система векторов a1 , a2 , a 3 линейно независимая.Если ∆ = 0, то система имеет нетривиальное решение λ1, l2, l3.

Нотогда система векторов a1 , a2 , a 3 линейно зависимая. В этом случаеможно исследовать векторную систему следующим образом.Пусть rang A = 1. Тогда, по крайней мере, один из столбцов мат)рицы А, пусть для определенности первый, имеет хотя бы один эле)мент, не равный нулю. Рассмотрим матрицуA12æ a11 a12 ö÷ç= ç a21 a22 ÷ .ça a ÷è 31 32 ø13Она имеет ранг 1, поэтому все порождаемые ею определителивторого порядка равны нулю:a11 a12a21 a22=a11 a12a 31 a 32=a11 a12a 31 a 32= 0.Но тогда очевидно, что компоненты векторов a1 и a2 пропорциоaaaнальны: 12 = 22 = 32 = l, т. е. a2 = l a1 .a11a21a 31Аналогично учитывая, что в матрицеA13æ a11 a13 ö÷ç= ç a21 a23 ÷ça a ÷è 31 33 øтоже все определители второго порядка равны нулю, получимa 3 = m a1 , где m – некоторое число.