В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов - Математический анализ (PDF), страница 9

* апр — первые трн буквы латинского слова впргешшп («супремум»), которое переводится как «наивысшее». '" !п! — первые три буквы латинского слова (п((шпш («инфимум»), которое переводится как «панин»шее». Гл. 2. Вещественные числа Доказательство. Мы остановимся лишь на доказательстве существования точной верхней грани у любого ограниченного сверху множества, ибо существование точной нижней грани у любого ограниченного снизу множества доказывается совершенно аналогично. Итак, пусть множество (х) ограничено сверху, т. е. существует такое число М, что каждый элемент х множества (х) удовлетворяет неравенству х(М. Могут представиться два случая: 1'. Среди элементов множества (х) есть хотя б ы одно неотрицательное число.

2'. Все элементы множества (х) являются отрицательными числами. Эти случаи мы рассмотрим отдельно. 1'. Рассмотрим лишь неотрицательные числа, входящие в состав множества (х). Каждое из этих чисел представим в виде бесконечной десятичной дроби и рассмотрим целые части этих десятичных дробей. В силу неравенства х<М все целые части не превосходят числа М, а поэтому найдется наибольшая из целых частей, которую мы обозначим через хс. Сохраним среди неотрицательных чисел множества (х) те, у которых целая часть равна хе, и отбросим все остальные числа. У сохраненных чисел рассмотрим первые десятичные знаки после запятой. Наибольший из этих знаков обозначим через хы Сохраним среди неотрицательных чисел множества (х) те, у которых целая часть равна ха, а первый десятичный знак равен хь и отбросим все остальные числа.

У сохраненных чисел рассмотрим вторые десятичные знаки после запятой. Наибольший из этих знаков обозначим через х,. Продолжая аналогичные рассуждения далее, мы последовательно определим десятичные знаки некоторого числа х: х=ха, х,х ... х„ .... (2 6) Докажем, чтр это число х и является точной верхней гранью множества (х). Для этого достаточно доказать дв а утве ржде ння: 1) каждый элемент х множества (х) удовлетворяет неравенству х(х; 2) каково бы ни было число х', меньшее х, найдется хотя бы один элемент х множества (х), удовлетворяющий неравенству х>х'.

Докажем сначала утверждение 1). Так как х по построению является неотрицательным числом, то любой отрицательный элемент х множества (х) заведомо удовлетворяет неравенству х<х. Поэтому нам достаточно доказать, что любой неотрицательный элемент х множества (х) удовлетворяет неравенству х(х. Предположим, что некоторый неотрицательный элемент х= =хе,х~ха...х ... не удовлетворяет неравенству ха=х. Тогда х>х и по правилу упорядочения найдется номер й такой, что х,=х„ х,=х„...,ха 1=ха ь ха >ха. Но последние соотношения про- $2. Ограниченные множества тиворечат тому, что в качестве ха берется н а и б о л ь ш и й из десятичных знаков х» тех элементов х, у которых целая часть и первые й — 1 знаков после запятой соответственно равны хо,хь ...

...,ха ь Полученное противоречие доказывает утверждение 1). Докажем теперь утверждение 2), Пусть х' — любое число, удовлетворяющее условию х'<х. Требуется доказать, что сушествует хотя бы один элемент х множества (х), удовлетворяющий неравенству х>х'. Если число х' является отрицательным, то неравенству х)х' заведомо удовлетворяет неотрицательный элемент х множества (х) (по предположению хотя бы один такой элемент существует).

Остается рассмотреть случай, когда число х', удовлетворяющее условию х'<х, является неотрицательным. Пусть х'=хв', х,'... ...х„'.... Из условия х'<х и из правила упорядочения вытекает, что найде1ся номер нт такой, что г хо=ха х!=хт, ° . Хм — 1 хщ — 1~ хм<хм. (2. 10) С другой стороны, нз построения числа (2.9) вытекает, что для любого номера лт найдется неотрицательный элемент х=хо,х~хе... ...х„... множества (х) такой, у которого целая часть н все первые т знаков после запятой те же, что у числа х, Иными словами, для номера пт найдется элемент х такой, для которого ха ха хт=хт ~хм — ~=хм — ~ хм"=хм (2.1 1) Сопоставляя (2.10) и (2.11), мы получим, что х =ха, х =х1,...,х 1=х — ы х )х а это и означает (в силу правила упорядочения), что х>х'. Утверждение 2), а с ним и вся теорема для случая 1" доказаны.

2'. Аналогично доказывается существование точной верхней грани и во втором случае, когда все элементы х множества (х) являются отрицательными числами. В этом случае мы представим все элементы х отрицательными бесконечными десятичными дробями и обозначим через хе наименьшую из целых частей этик дробей, через х1 — наименьший из первых десятичных знаков тех дробей, целая часть которых равна хо, через ха — наименьший из вторых десятичных знаков тех дробей, целая часть и первый десятичный знак которых соответственно равны хо и х1 и т. д.

Таким образом мы определим неположительное число х= — х,х х ° ..х„.... В полной аналогии со случаем 1' доказывается, что это число х является точной верхней гранью множества (х), т. е. доказывается справедливость утверждений 1) и 2), сформулированных при рассмотрении случая 1'.

Теорема доказана. 44 Гл. 2. Вещественные чнсла ф 3. ПРИБЛИЖЕНИЕ ЧИСЕЛ, ПРЕДСТАВИМЫХ БЕСКОНЕЧНЫМИ ДЕСЯТИЧНЫМИ ДРОБЯМИ, РАЦИОНАЛЬНЫМИ ЧИСЛАМИ Докажем три леммы о приближении чисел, представимых бесконечными десятичными дробями, рациональными числами. Сначала убедимся в том, что произвольное число а, представимое бесконечной десятичной дробью, можно с наперед заданной точностью приблизить рациональными числами. Ради определенности будем считать а неотрицательным и представим его дробью а=во, а1аг ...

а„..., Обрывая указанную дробь на я-м знаке после запятой, мы получим рациональное число ао, а1аг...а„, причем из правила упорядочения чисел, представимых бесконечными десятичными дробями, сразу же вытекает, что ао, а1аг-..ав~а. Увеличив указанное рациональное число на 10 ", мы получим другое рациональное число ао, а1аг .а„+10 — ", которое (в силу правила упорядочения) обязано удовлетворять неравенству а~ао, а1аг ... а„+10-". Итак, для любого номера н мы нашли два рациональных числа а~=ао, а1аг...а„н аг — — ао, айаг...а„+10-е такие, что а1 <а<аг и аг — а1 — — 1О-".

Убедимся в том, что для любого наперед взятого положительного рационального числа е, начиная с некоторого номера н, справедливо неравенство 10-"<е. В самом деле, в силу аксиомы Архимеда найдется лишь конечное число натуральных чисел, не превосходящих чисел 1/е. Значит, лишь для конечного числа номеров я справедливо неравенство 1О" <1/е, или 10 ">е. Для всех остальных номеров я справедливо противоположное неравенство !О-"<е, что и требовалось доказать. Мы приходим к следующему утверждению. Л е м м а 1.

Для любого представимого бесконечной десятичной дробью числа а и любого наперед взятого положительного рационального числа е найдутся два рациональных числа а~ и аг такие, что а~ <а(аг и аг — а,<е. Докажем еще две леммы, характеризующие густоту распределения рациональных чисел среди произвольных чисел, представимых бесконечными десятичными дробями.

Л е м м а 2. Каковы бы ни бсчли два представимьсх бесконечными десятичными дробями числа а и Ь такие, что а>Ь, найдется рациональное число а, заключенное между ними, т. е. такое, что а>а>Ь 1а следовательно, найдется и бесконечное множество различных рациональных чисел, заключенных между а и Ь).

5 3. Приближение чисел Доказательство. Достаточно рассмотреть случай, когда оба числа а и Ь неотрица тельны, ибо случай, когда а и Ь неположительны, сводится к указанному случаю посредством перехода к модулям, а случай, когда Ь отрицательно, а а положительно, тривиален (в качестве а можно взять нуль). Итак, пусть а)Ь и оба числа а и Ь неотрицательны. Предположим, что а=ае, а1ае...а„...; Ь=Ье, Ь,Ьл.,Ь„..., причем в случае, если а является рациональным числом, представимым конечной десятичной дробью, договоримся брать представление а десятичной дробью, заканчивающейся бесконечным числом девяток. Так как а)Ь, то найдется номер й такой, что ае — — Ьь, а1=Ьь ..., а,,=Ь„ь а,>Ьл. В силу принятой нами договоренности все десятичные знаки а„ при п>й не могут быть равны нулю.

Обозначим через р наименьший из номеров и, ббльших (г, для которых а„ФО. Тогда число а можно записать в виде а=ае, а,аи „, ае00 ... Оар... (ар>0), С помощью правила упорядочения легко проверить, что рациональное число а = а„абае ... ил00 ... О (а,— ! ) 999 ... удовлетворяет неравенствам и)а)Ь.