В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов - Математический анализ (PDF), страница 12

К римером плотного в себе множества может служить любое нз определенных выше множеств 1' — 8'. Другим примером плотного множества может служить множество всех рациональных чисел, входящих в состав любого из множеств 1 — 8'. В изложенном нами материале содержатся сведения, необходи- мые для построения аппарата математического анализа. В следу- ющих параграфах этой главы будут рассмотрены некоторые до- полнительные вопросы теории вещественных чисел и элементы теории множеств, Гл. 2.

Вещественные числа 5 й. дополнительные ВОпРОсы теОРии ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ Выше, для того чтобы ввести вещественные числа, были использованы бесконечные десятичные дроби. Для множества бесконечных десятичных дробей были определены правила упорядочения, сложения н умножения и было установлено, что эти правила удовлетворяют 16 основным свойствам (перечисленным в п. 1 ~ 1 для рациональных чисел). Описанный метод введения вещественных чисел, хотя н обладает несомненными эвристическими и методическими достоинствами, не является единственно возможным. Вещественные числа можно было бы ввести с помощью бесконечных двоичных дробей, с помощью так называемых дедекиндовых сечений в области рациональных чисел*, с помощью последовательностей рациональных чисел *" и другнмн способами. Чтобы выяснить взаимосвязь между различными методами введения вещественных чисел, привлечем некоторые новые понятия н установим еще одно важное свойство множества изученных выше вещественных чисел.

1. Полнота множества вещественных чисел. Пусть А и В— два произвольных множества. Будем говорить, что между множествами А и В установлено взаимно однозначное с- оо в е т с т в и е, если каждому элементу множества А отвечает единственный элемент множества В, каждый элемент множества В сопоставлен некоторому элементу множества А и разнылс элемента,н множества А отвечают разные элементы множества В. Назовем два множества, для элементов каждого из когорык определены правила упорядочения, сложения и умножения, изоморфными друг другу относительно этих правил, если между элелсентами этих множеств можно установить взаимно однозначное соответствие так, что если элементам а и Ь первого множества соответствуют элементы а' и Ь' второго множества, то 1) элементы а' и Ь' связаны тем же знаком (>, ( или =), что и элементы а и Ь; 2) элементу а+Ь соответствует элемент а'+Ь'! 3) элементу а Ь соответствует элемент а' Ь'.

Аналогично можно было бы говорить не о правилах упорядочения, сложения и умножения, а о каких-либо других правилах, характеризующих соотношения между элементами, и вве- ' Введение вещественных чисел с помощью дедекиндовых сечений изложено, например, в гл. 1 книги Ф. Франклина «Математический анализ» нлн в гл. 1 книги Г. М. Фихтенгольца «Основы математического анализа». *' Этот способ введеаия вещественных чисел принадлежит Кантору. Его изложение можно, например, найти в книге В. В.

Немыцкого, М. И. Слудской и А. Н. Черкасова «Курс математического анализа», т. 1, гл. 11, а также в пните Я. Тагамлицкого «дифференснално смятане» !София, 1971). 5 6. Дополнительные вопросы сти понятие множеств, изоморфных друг другу относительно указанных правил. Примером двух множеств, изоморфных друг другу относительно правил упорядочения, сложения и умножения, служит множество рациональных чисел, введенных в виде отношения целых чисел, с соответствующими (см. и. 1 5 1) правилами упорядочения, сложения и умножения и множество рациональных чисел, записанных в виде бесконечных дробей с обычными правилами упорядочения, сложения и умножения вещественныхчисел.

Рассмотрим более внимательно два множества: множество всех рациональных чисел и множество всех вещественных чисел. Для каждого из этих множеств определены правила упорядочения, сложения и умножения и справедливы остальные из 16 основных свойств.

Вместе с тем ясно, что множество всех вещественных чисел является более «широким», чем множество всех рациональных чисел, ибо в целом множество всех вещественных чисел не изоморфно относительно правил упорядочения, сложения и умножения множеству всех рациональных чисел', но в множестве вещественных чисел можно выделить часть, изоморфную относительно указанных правил множеству рациональных чисел. Естественно, возникает вопрос, нельзя ли и для множества всех вещественных чисел построить более «широкое» множество объектов, обладающее такими свойствами: 1) в этом более «широком» множестве определены .правила упорядочения, сложения и умножения и справедливы остальные из 16 основных свойств; 2) в целом более «широкое» множество не изоморфно относительно указанных правил множеству всех вещественных чисел; 3) в более «широком» множестве можно выделить часть, изоморфную относительно указанных правил множеству всех вещественных чисел.

Мы докажем, что такого более «широкого» множества не существует, т. е. множество всех вещественных чисел является полным относительно правил упорядочения, сложения и умножения и остальных 16 основных свойств. Вообще, произвольное множество объектов, для которого определены некоторые правила и справедливы некоторые свойства, назьгваегся и о л н ы м относительно этих правил и свойств, если нельзя построить более «широкое» множество объектов такое, чтобьс 1) в это»с более «широком» множестве бьгли апределенгя те же правила и справедливьг те же свойства; 2) в целом это более «широкое» множество не было изомор4но данному относительно указанных правил; 3) в этом более «широком» " Это вытекает из того, что между множеством всех рациональных чисел и всех вещественных чисел нельзя установить взаимно однозначное соответствие. В и.

3 $7 будет доказано, что такого соответствия иет между рациональными числами и вещественными числами сегмента 10, Ц. Отсюда и вытекает требуемое утверждение. 56 Гл. 2. Вещестзегшые числа множестве существовала часть, изонорфная данному множеству относительно уяазанных правил. Можно утверждать, что множество всех рациональных чисел не является полным относительно правил упорядочения, сложения и умножения н остальных 16 основных свойств, ибо существует более «шнрокое» множество (множество вещественных: чисел), удовлетворяющее требованиям 1), 2) 3) из только что сформулированного определения.

Докажем теперь, что множество всех вещественных чисел является полным относительно правил упорядочения, сложения и умножения и остальных 16 основных свойств. Предположим противное, т. е. предположим, что существует более «широкое» множество объектов (х') такое, что выполнены требования 1), 2), 3) из сформулированного выше определения, н обозначим через (х') ту часть множества (х'), которая изморфна относительно правил упорядочения, сложения и умножения множеству (х) всех вещественных чисел.

Заметим прежде всего, что у множества (х') существует единственная пара элементов О' и 1', играющих особую роль нуля и единицы*. Далее можно утверждать, что элементы О' и 1' входят в состав множества (х') и находятся во взаимно однозначном соответствии с вещественными числами О и 1 *":. Пусть а' — какой-либо элемент множества (х'), не принадлежащий множеству (х'). В силу правила упорядочения мы можем разбить все элементы множества (х') на два класса — верхний и нижний, отнеся к верхнему классу все элементы х', удовлетворяющие неравенству х'>а', а к нижнему классу все элементы х', удовлетворяющие неравенству х'<а'. Оба этн класса не являются пустыми. В самом деле, докажем, например, что верхний класс не пуст. Повторив элемент 1' слагаемым достаточноечислораз, мы, в силу свойства 16', получим элемент и' множества (х'), удовлетворяющий неравенству и'>а', т.

е. принадлежащий верхнему классу. Из свойства 4' вытекает, что каждый элемент нижнего класса меньше любого элемента верхнего класса. » Если бы нашлись дэз элемента ОЧ и Оэ', играющие особую роль нуля, го э силу свойства суммы мы получплп бы О,'=О,'+О,'=Оэ'+Ос=О,', т. е. О,'=Оэ'. Аналогично доказывается едппстзеппость элемепгз 1', играющего ось. бую роль единицы. Докажем, например, чтп нулевой элемент 0' множества (х') прппздлежит множеству (х') и находится з соответствии с зещестяеппым числом О.

Обозначим через 0 тот элемент множества (х'), который пзходптся э спотяегстяяп с вещественным числом О, и заметим, что сумма В+В отвечает зешесгзеняому числу 0+0=0, я потому 0+0=0. С другой стороны, 0'+0=0 (по определепяю аулезогь злемептз 0'). Из двух последних равенств заключаем, что 0+0=0'+В.

Прибавляя к обепм частям полученного равенства элемент 0' прьтпэоположпый О, и учитывая, что В+В'=.0', получим В-гО'=0'+О', плп (э силу свойства нулевого элемептз) В=О'. Аналогична проводятся рассуждения лля единичного элемента. 57 з б. дополнительные вопросы В силу изоморфизма множества (х') и множества (х) всех вещественных чисел можно утверждать, что множество всех вещественных чисел разбивается на два класса, причем каждое число из нижнего класса меньше любого числа нз верхнего класса, Но 'то сзнзчает, что нижний класс вещественных чисел ограничен сверху и имеет (в силу теоремы 2.1) точную верхшо>о грань М, а верхний класс имеет точную нижшою грань т.

Из определения точных граней вытекает, что обе грани >тт и М заключены между вещественпымп числами, как угодно близкими между собой, а поэтому пт=М. Так как число п>=М является одним из вещественных чисел, то оно принадлежит одному из классов, т. е.

существует либо нана>еньший элемент в верхнем классе, либо наибольший элемент в нижнем классе. Докажем, что оба эти утверждения абсурдны. Пусть, например, существует наименьший элемент в верхнем классе вещественных чисел. Тогда существует наименьший элемент.т' и в верхнем классе, отвечающем разбиению множества (х'). По определению верхнего класса лт'>а'. Согласно свойствам суммы существует разность пт' — а', причем согласно этим свойствам пб — и'>О'.