В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов - Математический анализ (PDF), страница 11

конец п. 1 $1). Гл. 2. Вептествеинне числа По основной теореме 2.1 существует точная верхняя грань этого множества х, которая, как легко проверить, удовлетворяет неравенствам а1 р1 «х<ая ря, т. е. является произведением чисел ,а и Ь. Аналогично можно было бы доказать, что произведением положительных чисел а и Ь является точная нижняя грань множест.ва (аз Ва) произведений аз.бз всевозможных рациональных чисел аз и рь удовлетворяющих неравенствам а<ам Ь <6з. Для доказательства единственности произведения двух ,положительных вещественных чисел а и Ь предположим, что существуют два вещественных чиола х~ и хь удовлетворяющие нераазенствам а~ р1<х~<аз рв аз бз<хз<аз 6з (2.

15) .дли всевозможных Рациональных аь аж 6, и Вз таких, что е 0<а1<а<ая<М, 0<й1<Ь <(!з<М. (2.16) Фиксировав любое положительное рациональное число е, мы -с помощью леммы 1 найдем для данных вещественных чисел а и Ь такие рациональные числа аь ат, 61 н 6з, удовлетворяющие неравенствам (2.16), для которых ат — а|<в/2М и 6з — р1<е/2М.

Но тогда в силу (2.15) оба числа х1 и хт будут заключены меж,ду рациональными числами аз.йз и а1 6ь разность между которыми а, !)я — а р == аз(ря †(),) + р,(аз †,) < 2М ° †" = и. В силу леммы 3 из 2 3 получаем, что х~= ха. С помощью теоремы единственности так же, как и для суммы, .доказывается, что в применении к двум рациональным числам данное нами определение произведения вещественных чисел при.водит к тому же самому результату, что и прежнее определение произведения рациональных чисел.

ф З. СВОЙСТВА ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ 1. Свойства вещественных чисел. В этом пункте мы убедимся в справедливости для произвольных вещественных ч ис ел всех основных свойств, перечисленных в и. 1 3 1 для рациональных чисел. Справедливость для вещественных чисел свойств 1' — 4 уже установлена выше. Таким образом, нужно выяснить лишь вопрос о справедливости для вещественных чисел свойств 5' — 16'. Легко убедиться в справедливости для вещественных чисел свойств 5' — 8' и 14', связанных с понятием суммы.

Справедли.вость свойств 5 — 8" непосредственно вытекает нз определения * В качестве М можно взять, например, число М=2 (и+Ь). з б. Свойства нешестиенных чисел суммы вещественных чисел и из справедливости указанных свойств для рациональных чисел. Остановимся на доказательстве свойств 14', т. е. докажем, что если а, Ь и с — любые три вещественных числа и а>Ь, то а+с> >Ь+с. Так как а>Ь, то в силу леммы 2 из $3 найдутся рациональные числа аг и йг такие, 'что а>аг>рх>Ь.

Для вещественного числа с и для положительного рационального числа е=аг — (1х найдутся рациональные числа у, и уя такие, что уг <с~ух, причем у,— уг<е= =аг — ря (см. лемму 1 9 3). Пусть, далее, ая и 8г — любые рациональные числа, удовлетворяющие неравенствам ая>а, Ь> 8ь Тогда по определению суммы вещественных чисел ах+ух>а+с> аг+уь 8г+уг> Ь+с> йг+уг. Для доказательства того, что а+с>Ь+с, в силу транзитивности знака > достаточно доказать, что аг+уг>1зх+уг, но зто непосредственно вытекает из неравенства ух — уг<аг — (!г.

Заметим, что вопрос о вычитании вещественных чисел как о действии, обратном сложению, полностью исчерпывается на основании свойств 5' — 8'. Назовем разностью вещественных чисел а и Ь вещественное число с такое, что с+Ь=а. Убедимся в том, что таковой разностью является число с= =а+Ь', где Ь' — число, противоположное Ь. В самом деле, используя свойства 5' — 8', можем с+Ь= (а+Ь')+Ь=а+ (Ь'+Ь) =а+О=-а. Убедимся в том, что существует только одно вещественное чис ло, являю1цееся разностью двух данных вещественных чисел.

Предположим, что кроме указанного выше числа с=а+Ь' существует еще одно число д такое, что д+Ь=а. Тогда, с одной стороны, (д+Ь)+Ь'=а+5'=с, с другой стороны, (д+Ь)+5'=— = д+ ( Ь + Ь') = д+ 0 = д, т. е. с = д. Из определения разности и из свойства 8' вытекает, что число а', противоположное а, равно разности 0 — а. Это число обычно записывают в виде — а. Не вызывает затруднения перенесение на случай вещественных чисел свойств 9', 1О', 11', 12', 13' и !5', связанных с понятием произведения. Отметим лишь в отношении свойства !2', что если а — положительное вещественное число, а аг и аг — какие угодно рациональные числа, удовлетворяющие неравенствам О<аг<а=ах, то число а', обратное для а, определяется как единственное вещественное число, удовлетворяющее нее равенствам — < а' <— о, * В качестве числа а' может быть взята точная верхняя грань множестаа всех рациональных чисел (1/ог).

:52 Гл. 2. Венсественные числа Свойства 9' — 12' позволяют заключить, что для любых двух вещественных чисел а и Ь (ЬчьО) существует и притом только одно вещественное число с, удовлетворяющее условию с.Ь=а. Зто число с называется ча с тн вам чисел а и Ь. Из определения частного и из свойства 12' вытекает, что число а', обратное числу а, равно частному 1/а. Заметим, наконец, что на случай вещественных чисел перено.сится и последнее, 1б-е, свойство рациональных чисел, а именно: Каково бы ни было вещественное число а, можно число 1 по.вторить слагаемым столько раз, что полученная сумма превзой.дет а ч. Докажем это свойство. В случае а<0 доказательства не требуется, ибо 1>а.

Пусть а>0, а=ае, а,аз .... В силу того, что определение суммы вещественных чисел в применении к сумме рациональных чисел совпадает с определением суммы рациональных чисел, повторив число 1 слагаемым и раз, получим целое число и. 'Таким образом, достаточно доказать, что для числа а найдется целое число п такое, что п>а. Но это очевидно: достаточно взять .и = ао+ 2. Таким образом, на случай вещественных чисел переносятся все основные свойства, сформулированные для рациональных чисел в п. 1 настоящего параграфа.

Следовательно, для ве|цественных .чисел сохраняют силу все правила алгебры, относящиеся к арифметическим действиям и к сочетанию равенств и неравенств. 2. Некоторые часто употребляемые соотношения. Докажем .справедливость для любых вещественных чисел а и Ь следующих двух соотношений: !а Ь! = !а! (!з(, (2.17) (а+Ь! < (а!+ !Ь! (2.18) :Соотношение (2.17) непосредственно вытекает из определения произведения двух вещественных чисел.

Докажем соотношение (2.18). На основании определения модуля и правила упорядочения для любых вещественных чисел а и Ь справедливы неравенства — (а! <а<!а(, — (Ь|<Ь<(Ь!. В силу справедливости основных свойств для вещественных чисел можно почленно складывать неравенства одного знака (это доказано в конце п. 1 5 1). Поэтому — ((а!+ (Ь!) <а+Ь <((а(+ !Ь!). Используя в случае а+Ь>0 правое, а в случас а+Ь<0 левое из последних неравенств, мы получим неравенство (2.18).

3. Некоторые конкретные множества вещественных чисел. В дальнейшем нам часто придется иметь дело с различными мно- * Заметам, что это свойство называют а кононов Архимеда. э 5. Свойства вещественных чисел жсствами вещественных чисел. Будем обозначать произвольное множество вещественных чисел символом (х), а числа, входвщие в состав этого множества, будем называть элементами илн точками этого множества. Мы будем говорить, что точка х> множества (х) отлична от точки хз этого множе- с тв а, если вещественные числа х, н хт не равны друг другу. Если при этом справедливо неравенство х»х, (х><хт), то мы будем говорить, что точка х> лежит правее (левее) точки хн Рассмотрим некоторые наиболее употребляемые частные виды множеств вещественных чисел.

1'. Множество вещественных чисел х, удовлетворяющих нера- венствам а<х<Ь, где а<Ь, будем называть сегментом и обо- значать символом [а, Ь]. При этом числа а и Ь мы будем называть граничными точками нли концами сегмента [а„Ь], а любое число х, удовлетворяющее неравенствам а<х<Ь, будем называть внутренней точ кой с е г м е н т а [а, Ь]. 2'. Множество всех вещественных чисел х„удовлетворяющих неравенствам а<х<Ь, будем называть интервалом и обозна- чать символом (а, Ь).

3'. Интервал (а — е, а+ а), где е>0, будем называть а - о к р е- стн остью точки а. 4', Любой интервал, содержащий точку а, будем называть окрестностью точки а. 5'. Множество всех вещественных чисел х, удовлетворяющих неравенствам а<х<Ь (или а<х~Ь), будем называть полусег- м е н то м и обозначать символом [а, Ь) (или (а, Ь]).

6'. Множество всех вещественных чисел будем называть чис- ловой (бесконечной) прямой и обозначать символом ( — со, +со), 7'. Множество вещественных чисел х, удовлетворяющих нера- венству х~а (или х<Ь), будем называть полу и р я мой и обо- значать символом [а, + со) (или ( — со, Ь]).

8'. Множество всех вещественных чисел х, удовлетворяющих неравенству х> а (или х< Ь), будем называть о т к р ы т о й п о л у- прямой и обозначать символом (а, +ос) (или ( — со, а)). Произвольное множество (х) будем называть п л о т н ы м в себе, если в любой окрестности каждой точки х этого множества соде жится хотя бы одна точка множества, отличная от х.