В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов - Математический анализ (PDF), страница 8

Итак, утверждение 1) доказано. Перейдем к доказательству утверждения 2). Предположим, что а<Ь". Договоримся о следующих обозначениях бесконечных десятичных дробей, представляющих числа Ь' и Ь". Ь'= Ьо', Ь~'Ьо' ... Ьа', Ь".= Ьо", Ь! "Ь,",. Ь " „, В этих представлениях Ь,'=Ьо"=Ьо Ь,'=Ь,"=Ь, Ь'„,=Ь"„, =Ь„ь Ь„'=Ь„, Ь„"=Ьп — 1. Иными словами, справедлива цепочка соотношений Ь,'=Ь,", Ь|'=Ь,",„.,Ь', ~=Ь"„ь Ьн'>Ь ".

С другой стороны, поскольку а<Ь", найдется номер Ь такой, что справедлива цепочка соотношений по= Ьо", щ —— Ь!", ..., ад 1=Ь"д ь ад<Ьд". Обозначим через ги н а и м е н ь ш и й из двух номеров и и Й и сопоставим между собой две последние цепочки соотношений. Используя свойства транзитивности знаков > и = для целых чисел, мы получим при этом следующую цепочку соотношений: ао —— Ьо', а~=Ь1', ...,а ~=Ь' ь а <Ь' Полученные соотношения на основании правила упорядочения вещественных чисел устанавливают справедливость неравенства а<Ь'.

Тем самым утверждение 2) также доказано. Еще раз подчеркнем, что доказанная лемма позволяет при упорядочении двух чисел, представимых бесконечными десятичными дробями, пользоваться любым из двух представлений в виде бесконечной десятичной дроби для рациональных чисел, представимых конечной десятичной дробью. Легко убедиться в том, что сформулированное правило упорядочения в применении к двум рациональным числам, представленным в виде бесконечных десятичных дробей, приводит к тому же результату, что и прежнее правило упорядочения рациональных чисел, представленных в виде отношения двух целых чисел.

В самом деле, достаточно рассмотреть случай двух н е о тр и ц а т е л ь н ы х рациональных чисел а и Ь. Пусть а) Ь согласно прежнему правилу упорядочения рациональных чисел, н пусть а=по, а~по ... а„,..; Ь=Ь,, Ь,Ь, ... Ьд .... Отложив рациональные числа а н Ь на числовой оси, мы получим отвечающие й 1. Множество чисел, представимых бесковечными дробями 39 им точки М| и Мв причем, поскольку а>Ь, отрезок ОМ~ больше отрезка ОМь Из описанного в и. 2 процесса измерения отрезка числовой оси вытекает, что целое число аоа1ао...ад показывает, сколько раз 1О д часть масштабного отрезка ОЕ укладывается в отрезке ОМы а целое число ЬоЬ1Ьо,. Ь„показывает, сколько раз 10 " часть ОЕ укладывается в отрезке ОМь Поскольку отрезок ОМс больше отрезка ОМм то найдется номер й такой, что аоа1 ...ад — 1=ЬоЬ1...Ьд ь а аоа, ...ад)ЬоЬ1: Ьы но это и означает, что а>Ь согласно правилу упорядочения чисел, представимых бесконечными десятичными дробями. Докажем теперь, что для сформулированного нами правила упорядочения чисел, представимых бесконечными десятичными дробями, остается справедливым свойство 4', приведенное в п.

1 для рациональных чисел, т. е. докажем, что для любых трех чисел а, Ь и с, представимьсх бесконечными десятичными дробями, из справедливости неравенств а>Ь и Ь)с вытекает справедливость неравенства а)е (свойство транзигивности знака )), а из справедливости равенств а=Ь и Ь=с вытекает справедливость равенства а=с (свойство транзитивности знака = ).

Свойство транзитивностн знака = сразу же вытекает из справедливости соответствующего свойства для целых чисел. Докажем свойство транзитивностн знака ). Пусть а>Ь, Ь>с. Требуется доказать, что а>с. Рассмотрим трн возможных случая: 1) е неотрицательно; 2) с отрицательно, а неотрицательно; 3) с отрицательно и а отрицательно. 1) Пусть сначала с неотрицательно. Тогда Ь также неотрнцательно, ибо если бы Ь было отрицательно, то в силу правила упорядочения мы получили бы, что с)Ь, и это противоречило бы условию Ь>с. Далее, повторяя те же рассуждения, мы получим, что и а неотрицательно (ибо в противном случае мы получили бы, что Ь>а, и это противоречило бы условию а>Ь). Итак, в рассматриваемом случае все три числа а, Ь н с неотрицательны.

Записав представления этих чисел бесконечными десятичными дробями а=ао,а а,...; Ь=Ьо, Ь|Ье..., с=с„ссо..., мы получим, что в силу условия а)Ь найдется номер й такой, что ао=Ьо, а1=Ьь ...,ад 1=Ьд ь а„>Ьд. (2.б) Аналогично в силу условия Ь>с найдется номер р такой, что Ьо со Ь1 с1 ... Ьр ~=ср 1 Ьп)с (2.7) Обозначим через т наименьший из двух номеров й и р Тогда, очевидно, нз соотношений (2.6) и (2.7) и из справедливости свойства транзитивности знаков > и = для целых чисел вытекает, что ао=со, а,=сп ..., а,=с„ы а )сев а это и означает (по правилу упорядочения), что а)с.

40 Га. 2. Вещественные чнсаа 2) Пусть теперь с отрицательно, а неотрицательно. Тогда (независимое от знака числа Ь) неравенство а>с справедливо в силу правила упорядочения. 3) Рассмотрим, наконец, случай, когда оба числе а и с отрицательны. Заметим, что в этом случае и Ь отрицательно (ибо в противном случае мы получили бы из правила упорядочения, что Ь>а, и это противоречило бы условию а>Ь).

Итак, в рассматриваемом случае все три числа а, Ь н с отрицательны. Но в таком случае (в силу правила упорядочения) неавенства а>Ь, Ь>с эквивалентны неравенствам (Ь)>)а( и с)>~Ь|. Иэ последних двух неравенств (в силу свойства транзитивиости знака >, уже доказанного нами в случае 1) для неотрицательных чисел) вытекает, что 1с)>1а~, а это и означает (в силу правила упорядочения отрицательных чисел а и с), что а>с. Тем самым доказательство свойства транзитивности знака > полностью завершено. й а. ОГРАНИЧЕННЫЕ СВЕРХУ (ИЛИ СНИЗУ) МНОЖЕСТВА Ч!4СЕЛ, ПРЕДСТАВИМЫХ БЕСКОНЕЧНЫМИ ДЕСЯТИЧНЫМИ ДРОБЯМИ 1.

Основные понятия. Рассмотрим совершенно произвольное множество (х) чисел, представимых бесконечными десятичными дробями. Отдельные числа, входяшие в состав множества (х), мы будем называть элементами этого множества. Всюду в этом параграфе мы будем требовать, чтобы рассматриваемое множество (х) содержало хотя бы один элемент (такое множество принято называть н е п у с т ы м). Введем важное понятие ограниченности множества сверху (или соответственно снизу).

Определение 1. Множество (х) чисел, представимых бескоиечньики десятичными дробями, называется о г р а н и ч е и и и м сверху (соответственно ограниченным снизу), если существует такое представимое бесконечной десятичной дробью число М (соответственно такое представимое бесконечной десятичной дробью число т), что каждый элемент х множества (х) удовлетворяет неравенству х(М (соответственно х>т). (2.8) При этом число М (число т) называется верхней гранью (нижней грань ю) множества (х). Конечно, любое ограниченное сверху множество (х) имеет бесконечно много верхних граней.

В самом деле, если число М вЂ” одна из верхних граней множества (х), то л1обое число М', большее числа М, также является верхней гранью множества (х) (ибо из й 2. Ограниченные множества справедливости неравенства (2.8) будет следовать, что х(М'). Аналогичное замечание можно сделать в отношении нижних граней ограниченного снизу множества (х). Так, например, множество всех представимых бесконечными десятичными дробями отрицательных чисел ограничено сверху. В качестве верхней грани М такого множества можно взять любое неотрицательное число. Множество всех целых положительных чисел 1, 2, 3, ... ограничено снизу. В качестве нижней грани' этого множества можно взять любое число гп, удовлетворяющее неравенству гп(1.

Естественно, возникает вопрос о существовании наименыпей из верхних граней ограниченного сверху множества и наибольшей из нижних граней ограниченного снизу множества. О п р е д е л е н и е 2, Наименьшая из всех верхних граней ограниченного сверху множества (х) называется конной верхн е й г р а н ь ю этого множества и обозначается символом х= =зп!э (х) Наибольшая из всех нижних граней ограниченного снизу множества (х) называется точной нижней гранью этого множества и обозначается символом х=!п1(х) '*. Определение 2 можно сформулировать н по-другому, а именно: Число х (число х) называется точной верхней (точной нижней) гранью ограниченного сверху (снизу) множества (х), если выполнены следующие два требования: !) каждый элемент х множества (х) удовлетворяет неравенству х(х (х)х); 2) каково бы ни было число х', меньшее х (ббльшее х), найдется хотя бьс один элемент х множества (х), удовлетворяющий неравенству х) >х'(х<х').

В этом определении требование 1) утверждает, что число х (число х) является одной из верхних (нижних) граней, а требование 2) говорит о том, что эта грань является наименьшей (наибольшей) и уменьшена (увеличена) быть не может. 2. Существование точных граней. Существование у любого ограниченного сверху (сннзу) множества точной верхней (точной нижней) грани не является очевидным и требует доказательства. Докажем следующую основную теорему. ° О с н о в н а я т е о р с м а 2.1. Если л«ножество (х) чисел, представимых бесконечными десятичными дробями, ограничено сверху (соответственно снизу) и содержит хотя бьг один элемент, то у этого множества существует точная верхняя (соответственно точная нижняя) грань.