В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов - Математический анализ (PDF) (1108882), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

Упорядочение множества бесконечных десятичных дробей. Во вводной главе мы уже отмечали, что понятие числа относится к так называемым начальным понятия м (т. е. к понятиям, которые могут быть разъяснены, но не могут быть строго определены, ибо всякая попытка дать строгое определение такого понятия неизбежно сведется к замене определяемого понятия ему эквивалентным).

Мы введем понятие вещественных чисел, отправляясь от множества бесконечных десятичных дробей. Рассмотрим множество всевозможных бесконечных десятичных дробей (как положительных, т. е. взятых со знаком +, так и отрицательных, т. е. взятых со знаком — ). Мы будем придерживаться следующего плана. Для множества всех чисел, представимых бесконечными десятичными дробями, мы введем операцию упорядочения. После этого мы убедимся, что для введенной нами операции упорядочения остается справедливым то же самое свойство 4', которос сформулировано в п. 1 для рациональных чисел (т.

е. свойство транзнтивностн знаков > н = ). Наличие только одного этого свойства позволит нам доказать замечательную теорему о том, что у множества чисел, представимых бесконечными десятичными дробями и ограниченных сверху (или соответственно снизу), существует число, представимое бесконечной десятичной дробью и являющееся точной верхней (или соответственно точной нижней) гранью указанного множества чисел. После этого вводятся операции сложения и умножения чисел, представимых бесконечными десятичными дробями.

Это дает нам возможность ввести вещественньег числа как такиг числа, которые пргдставимы бесконечными десятичными дробями и для которых указанным нами способом определены операции упорядочения, сложения и умножения. Доказанная нами теорема о существовании точных граней позволит доказать существование суммы и произведения двух любых вещественных чисел, а также справедливость для этих чисел тех же самых 1б основных свойств, которые сформулированы в и. 1 для рациональных чисел.

$ !. Множество чисел, представимых бесконечными дробями зб Приступим к реализации указанного плана. В этом пункте мы введем для чисел, представимых бесконечными десятичными дробями, операцию упоапядочеиия и установим, что эта операция обладает свойством 4, сформулированном в и. 1 для рациональных чисел (т.

е. свойством траизитивиости знаков > и =). Рассмотрим произвольное число, представимое бесконечнцй десятичной дробью, отличной от 0,000.... Это число мь1 будем называть и о л о ж и т е л ь н ы м, если оно представимо бесконечной десятичной дробью, взятой со знаком +, и отрицательным, если оно представимо бесконечной десятичной дробью, взятой со знаком —. Числа, не являющиеся положительными, мы будем называть неположительными, а числа, не являющиеся отрицательными,— неотр и ца тельными.

Сразу же отметим, что все рациональные числа относятся к множеству чисел, представимых бесконечными десятичными дробями. Представление данного рационального числа бесконечной десятичной дробью можно получить двумя способами: 1) взяв точку М, отвечающую данному рациональному числу на числовой оси, и произведя измерение отрезка ОМ с помощью масштабного отрезка способом, указанным в п.

2; 2) взяв обыкновенную дробь тп1п, представляющую данное рациональное число, и поделив числитель пт на знаменатель и «столбиком> *. Мы представляем читателю убедиться в том, что оба эти способа эквивалентны друг другу. Так, при любом из указанных способов рациональному числу !/2 ставится в соответствие бесконечная десятичная дробь 0,5000..., рациональному числу 4/3— бесконечная десятичная дробь 1,333....

Прежде чем перейти к формулировке правила упорядочения чисел, представимых бесконечными десятичными дробями, рассмотрим вопрос о представлении в виде бесконечных десятичных дробей тех рациональных чисел, которые представимы в виде конечной десятичной дроби. Заметим, что такие рациональные числа допускают д в а и р е д с т а в л е н и я в виде бесконечных десятичных дробей. Например, рациональное число 1(2=0,5 можно представить в виде двух бесконечных десятичных дробей: 1) 1/2=0,5000..., 2) 1/2=0,4999....

Вообще, рациональное число а=ас,а1ав...а„, где а„чь0, можно записать в виде двух бесконечных десятичных дробей: 1) а=ас, а1ат ... а„000..., 2) а=ао, а1ат ... а„1(а„— 1) 999.... * В курсе средней школы доказывается, что при таком делении получается обяаательно периодическая бесконечнаи десятичная дробь. Гл. 2.

Вев|ественвые числа Естественно, мы должны отождествить указанные две бесконечные десятичные дроби (т. е. считать, что они представляют одно и то же вещественное число). Рассмотрим теперь два произвольных вещественных числа а и Ь и предположим, что эти числа представляются бесконечными десятичными дробями а=-|-ао, а аг,, а,, Ь=~Ьа, Ь|Ьг" Ье", (2.3) где из двух знаков + и — в каждом представлении берется ка- кой-то один.

Исключим уже рассмотренный выше случай, когда обе беско- нечные десятичные дроби в (2.3) имеют одинаковые знаки и слу- жат двумя различными представлениями одного и того же рацио- нального числа, представимого конечной десятичной дробью. По- сле исключения этого случая договоримся называть два числа а и Ь равными, если их представления в виде бесконечных десятич- ных дробей (2.3) имеют одинаковые знаки и если справедлива бесконечная цепочка равенств ао=Ьс а|=Ь!, аг=Ьь ...,а„=.Ь„, (2.4) Итак, мы называем два числа а и Ь равными, если их представления в виде бесконечных десятичных дробей (2.3) имеют одинаковые знака и если либо справедлива цепочка равенств (2.4), либо бесконечные десятичные дроби в (2.3) служат двумя представлениями одного и того же рационального числа, предста- вил|ого конечной десятичной дробью.

Пусть даны два неравных числа а и Ь, представимых беско- нечными десятичными дробями. Установим правило, позволяю- шее заключить, каким из двух знаков, > или (, связаны зти числа. 1(оговоримся называть модулем числа а, представимого бесконечной десятичной дробью, число, представимое той же са- мой бесконечной десятичной дробью, что и число а, но всегда взя- той со знаком +. Модуль числа а будем обозначать символом 1а). Число )а( всегда является неотрицательным, Рассмотрим отдельно три возможных случая: 1) случай, когда а и Ь оба неотрицательны; 2) случай, когда оба числа а и Ь от- рицательны; 3) случай, когда одно нз чисел а н Ь неотрнцательно, а другое отрицательно.

1) Пусть сначала а и Ь оба неотрицательны и имеют представления а=ао,а|аг ..., Ь=Ьо, Ь!Ьг .... Так как числа а и Ь не являются равными, то нарушается хотя бы одно из равенств (2.4). Обозначим через (г наименьший из номеров и, для которого нарушается равенство а~=Ь„, т. е, предположим, что ао=Ьо, а|=Ьь ...,ад | =Ьд |, ад~Ьд. й 1, Множество чисел, представимых бесконечными дробями 37 Тогда мы будем считать, что а>Ь, если аь>Ьь, и будем считать, что а<Ь, если ак<Ьь. 2) Пусть теперь о б а числа а и Ь о т р и ц а т е л ь н ы.

Тогда мы будем считать, что а>Ь, если )Ь)))а(, и а<Ь, если )Ь)(' ((а( *. 3) Пусть, наконец, одно число (например, а) неотрицательно, а другое число (Ь) отрицательно. Тогда, естественно, мы будем считать„что а> Ь. Итак, мы полностью сформулировали и р а в ил о у по р ядоч е н и я чисел, представимых бесконечнымн десятичными дробя ми. Чтобы сделать. сформулированное правило безупречным с логической точки зрения (или, как говорят в математике, корректным), докажем следующую лемму. Лемма. Если а=по,а,ая....а,...— произвольное неотрицательное число, а Ь'=Ьо, Ь!Ьт ...

Ь„|Ь„ООО... и Ь"=Ьо, Ь!Ь-... ... Ь„| (܄— 1) 999... при Ь„'>Π— два различных представления одного и того же райионального числа Ьо, Ь|Ья ... Ь, то условие а<Ь' эквивалентно условию а(Ь", а условие а)Ь' эквивалентно условию а)Ь'. Эта лемма позволяет при упорядочении двух неравных чисел не заботиться о том, какое из двух возможных представлений в виде бесконечной десятичной дроби взято для числа, представимого конечной десятичной дробью. До к аз а тельство. Для полного доказательства леммы следует доказать четыре утверждения: 1) из а<Ь' вытекает а<Ь"; 2) из а<Ь" вытекает а<Ь'; 3) нз а>Ь' вытекает а>Ь"; 4) нз а)Ь" вытекает а>Ь'. Мы ограничимся доказательством утверждений 1) и 2), ибо утверждения 3) и 4) доказываются аналогично.

Пусть а(Ь'. Тогда по правилу упорядочения найдется номер й такой, что ао=Ьо, а|=Ь~,...,а|, |=Ьр, |, аь<Ьь (2.5) (в этих соотношениях следует считать все Ь„,|, Ь„ья, ... равными нулю) . Сразу же заметим, что й <и, ибо прн й>п неравенство аь(Ьь не может выполняться, так как 0<ах(9, а ЬЬ=О. Если при этом й<п, то, поскольку прн А<п все десятичные знаки до порядка )1 у Ь' и Ь" совпадают, условия а<Ь' н а<Ь", очевидно, эквивалентны. Остается рассмотреть случай й =и.

В этом случае соотношения (25) принимают внд ао=Ьо, а|=Ь|,...,ан |=Ь |, а„<Ь,. Самое последнее неравенство эквивалентно неравенству а <Ь вЂ” 1. Если прн этом а„<Ь, — 1, то по правилу упорядочения а<Ь". * При этом мы учитываем, что для неотрицательных о и Ь правило упорядочения уже определено (см. случай 1)). Гл. 2. Вещественные числа Если же в указанном последнем неравенстве а„=܄— 1, то все десятичные знаки у чисел а и Ь" до порядка и совпадают. Поскольку у числа Ь" все десятичные знаки порядка, большего и, равны девяти, то и в этом случае а<Ь", ибо у числа а все деся- тичные знаки порядка, ббльшего л, не могут быть равны девяти (в силу того, что а не равно Ь').

Характеристики

Список файлов книги