В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов - Математический анализ (PDF) (1108882), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Существует правило, посредством которого любым числам чз и Ь ставится в соответствие третье число с, называемое их с у м м о й и обозначаемое символом с = а+ Ь ***. Операция нахождения суммы называется сложением. 3'. Существует правило, посредством которого любым числам чт и Ь ставится в соответствие третье число с, называемое их произведением и обозначаемое символом с=а Ь**'", Операция нахождения произведения называется умножение м.

Правило упорядочения обладает следующим свойством: 4'. Из а>Ь и Ь>с вытекает, что а)с (свойство транзнтивно-сти знака >); из а=Ь н Ьг а вытекает, что аг и (свойство транзитивности знака =). Операция сложения обладает следующими четырьмя свойствами: 5'. а+Ь = Ь+а (коммутативность или перестановочное свойство). 6'.

(а+Ь)+с = а+ (Ь+с) (ассоциативность или сочетательное свойство). 7'. Существует число 0 такое, что а+О=а для любого числа а (особая роль нуля). 8'. Для каждого числа а существует противоположное ему чи. ело а' такое, что а+а'=О. Аналогичными четырьмя свойствами обладает операция умножения: * Все приводимые нами свойства рациональных чисел могут быть получены нз свойств целых чисел. '* Правило упорядочения рациональных чисел формулируется тзк: двз неотрицзтельных числа а=т,/л, и Ь=тз/лг, у которых л,)0 и лз О, связаны тем же знаком, что и двз целых числа т,.л, н т, лп двз неположительных числа а и Ь связаны тем же знаком, что н двв неотрицзтельиых числа )Ь! и (а); если а неотрицвтельно, з Ь отрицательно, то а>Ь "* Правило обрззовзния суммы двух рациональных чисел а=т,/л, и т„т, т,.ля+ тз.лз .Ь=тз/лз определяется равенством — + — = , которое л, л, л, лз получается с помощью известного приема приведения к общему знвмензтелю.

*'** Правило образования произведения двух рациональных чисел а= тз т, ты те =т1/л~ н Ь=тз/лз определяется равенством лг лз гн лз' $1. Множество чисел, представимых бесконечными дробями 3$ 9'. а Ь=Ь.а (коммутативность). 10'. (а.Ь) с=а (Ь с) (ассоциативность). 11'.

Существует число 1 такое, что а 1=а для любого числа а «особая роль единицы), 12'. Для каждого числа аФО существует обратное ему число а' такое, что а а'=1. Операции сложения н умножения связаны следующим свойством: 13'. (а+Ь) с=а.с+Ь.с (днстрибутивность или распределительное свойство умножения относительно суммы). Следующие два свойства связывают операцию упорядочения с операцией сложения или соответственно умножения: 14'.

Из а)Ь вытекает, что а+с>Ь+с. 15'. Из а>Ь и с)0 вытекает, что а.с>Ь с. Особая роль принадлежит последнему свойству. 16'. Каково бы нн было число а, можно число 1 повторить слагаемым столь раз, что сумма превзойдет а е. Перечисленные 16 свойств называют о с н о в и ы м и потому, что все другие алгебраические свойства, относящиеся к операциям сложения и умножения н к сочетанию равенств н неравенств, могут быть извлечены как логические следствия нз указанных 16 свойств. Так, например, из основных свойств вытекает следующее часто используемое в дальнейшем свойство, позволяющее почленно складывать неравенства одного знака: если а>Ь и с)д, то а+с) Ь+й. В самом деле, из неравенств а>Ь и с>с( и из свойств 14' н 5' вытекает, что а+с>Ь+с и Ь+с)Ь+с(, а из двух последних неравенств и свойства 4' вытекает, что а+с>Ь+й.

2. Недостаточность рациональных чисел для измерения отрезков числовой оси, Договоримся называть числовой осью прямую, на которой выбраны определенная точка О (начало отсчета), масштабный отрезок ОЕ, длину которого мы принимаем равной единице, и положительное направление (обычно от О к Е), Очевидно, каждому рациональному числу соответствует на числовой оси определенная точка. В самом деле, из курса средней школы известно, как построить отрезок, длина которого составляет 11п часть длины масштабного отрезка ОЕ (п — любое целое положительное число).

Следовательно, мы можем построить и отрезок, длина которого относится к длине масштабного отрезка как тп/п, где пт и и — любые целые положительные числа. Отложив такой отрезок вправо (влево) от точки О, мы получим точку М1 (Ма), соответствуюшую рациональному числу т/п ( — т/и) (рис. 2.1). * Это свойство часто называют аксиомой Архимеда. Гл. 2. Вещественные числа Заметим теперь, что не каждой точке М числовой осн соответ. ствует рациональное число.

Так, например, если точка М выбрана так, что длина отрезка ОМ равна диагонали квадрата, стороной которого служит масштабный отрезок ОЕ, то поскольку длина масштабного отрезка ОЕ равна единице, по теореме Пифаго,ра длина х отрезка ОМ является корнем уравнения ха=2 и, как показано в курсах средней школы, не является рациональным числом. Но это и означает, что указанной точке М не соответствует рациональное число. и, а, й с ж гогг, Рис. 2.2 %ф и Е Убф Рис. 2 1 " В силу аксиомы Архимеда для отрезка, каковы бы ни были два отрезка 4В и Сгг, повторив один из этих отрезков слагаемым достаточно большое число раз, мы получим отрезок, длина которого превосходит длину второго ° отрезка. Естественно, возникает потребность расширить множество ра.циональных чисел и ввести в рассмотрение более широкое множество чисел так, чтобы каждой точке числовой оси соответствовало некоторое число из этого более широкого множества (или, что то же самое, чтобы с помощью этого более широкого множества чисел можно было выразить длину любого отрезка ОМ числовой оси) .

Убедимся в том, что посредством измерения отрезка ОМ каждой точке М числовой оси можно поставить в соответствие впол.не определенную бесконечную десятичную дробь. Пусть М вЂ” любая точка числовой оси. Ради определенности предположим, что точка М лежит направо от О. Проведем процесс измерения отрезка ОМ при помощи масштабного отрез. ка ОЕ. Сначала выясним, сколько раз целый масштабный отрезок уложится в отрезке ОМ *. Могут представиться два случая: 1) Отрезок ОЕ укладывается в отрезке ОМ целое число ао раз ю некоторым остатком АгМ, меньшим ОЕ (рис.

2.2). В этом случае целое число ао представляет собой результат измерения по недостатку с точностью до числа 1. 2) Отрезок ОЕ укладывается в отрезке ОМ целое число ао раз б е з о с т а т к а. В этом случае процесс измерения можно считать законченным и целое рациональное число ао считать длиной отрезка ОМ.

Формально мы можем утверждать, что в этом клучае точке М соответствует бесконечная десятичная дробь .ас,000..., которая отождествляется с целым рациональным числом ао. 5 1. Множество чисел, представимых бескопсчимми дробями 33 В первом случае процесс измерения следует продолжить и выяснить, сколько раз 1/10 часть масштабного отрезка ОЕ укладывается в отрезке 7!7М (являющемся остатком измерения с помощью целого отрезка ОЕ).

Снова могут представиться два случая: !) 1/1О часть ОЕ укладывается в отрезке УМ а! раз с некоторым остатком РМ, меньшим 1/10 части ОЕ (см. рис. 2.2). В этом случае рациональное число ао, а! представляет собой результат измерения ОМ по недостатку с точностью до числа 1/!О. 2) 17'10 часть ОЕ укладывается в отрезке УМ целое число а, раз б е з о с т а т к а. В этом случае процесс измерения можно считать законченным и рациональное число ао, а! считать длиной отрезка ОМ, Формально мы можем утверждать, что в этом случае точке М соответствует бесконечная десятичная дробь ао,а!000..., отождествлаемаЯ с Рациональным число ао,а!.

Продолжая указанные рассуждения далее, мы придем к двум возможностям: !) либо описанный процесс измерения оборвется на п-м шаге вследствие того, что точке М соответствует рациональное число а,,а!Йе...а (в этом случае точке М соответствует бесконечная десятичная дробь аа,а7аа... ав000..., которую мы отождествляем с рациональным числом ама!а2 ... а„); 2) либо описанный процесс измерения никогда не оборвется и мы получим бесконечную последовательность рациональных чисел ЙО! ЙО Й!' ..., ЙО а!Й2 ... Йч', (2.1) представляющих собой результат измерения по недостатку отрез- 1 1 ка ОМ с точностью до 1, —,..., —, .... 1О 1О" Каждое из чисел последовательности (2.1) может быть получено обрыванием на соответствующем знаке бесконечной десятичной дроби (2.2) ао, а!ае...а„...

Таким образом, в случае 2) точке М числовой оси отвечает вполне определенная бесконечная десятичная дробь (2.2). Можно сказать, что и в случае 1) точке М отвечает бесконечная десятичная дробь (2.2), но в этом случае у этой дроби все десятичные знаки с номером, большим п, равны нулю, т. е. указанная дробь в случае 1) имеет вид а„а!Й2 ...

а„000 .... Приведенные нами рассуждения применимы и для случая, когда точка М лежит левее точки О, только в этом случае естественно считать, что все элементы последовательности (2.1) и бесконечная дробь имеют отрицательный знак. Итак, мы убедились, что описанный нами процесс измерения позволяет поставить в соответствие каждой точке М числовой оси вполне определенную бесконечную десятичную дробь. Это об- 2 Зак, 72 Гл. 2. Вещестеениые числа стоятельство естественно приводит нас к необходимости рассмотрения чисел, представимых бесконечными десятичными дпобями. 3 а м е ч а н и е.

Конечно, описанный нами процесс измерения отрезка ОМ можно видоизменить так, что он будет приводить к рассмотрению не бесконечных десятичных, а, например, бесконечных двоичных или бесконечных трон чных дробей. Желание рассматривать бесконечные десятичные дроби вызвано лишь той особой ролью, которую традиционно играет десятичная система счисления. Развитие электронной вычислительной техники повысило роль двоичной н троичной систем счисления, ибо (в силу конструктивных особенностей ЭВМ) эти системы счисления более удобны в практике использования ЭВМ. 3.

Характеристики

Список файлов книги