В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов - Математический анализ (PDF)

В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ НАЧАЛЬНый КУРС Под редакцией академика А.Н. Тихонова ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ, ПЕРЕРАБОТАННОЕ Допущено Министерством высшего и среднего специального образования СССР в качестве учебника для студентов вузов, обучающихся по специальностям „Математика", „Прикладная математика" ИЗДАТЕЛЬСТВО МОСКОВСКОГО УНИВЕРСИТЕТА 1985 УДК 517 Рецензент: Кафедра математики МИФИ (зав. кафедрой проф. А. И. Прилепив) 1702050000 — 150 И 95- Зб 077(02) — 55 6:) Издательство Московского университета, 1985 г. Ильин В. А.

и др. Математический анализ. Начальный курс)В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сеидов. Под ред. А, Н. Тихонова,— 2-е изд., перераб.— Мл Изд-во МГУ, 1965.— 662 с. Учебник представляет собой первую часть трехтомного курса математического анализа для высших учебных заведений СССР, Болгарии н Венгрии, написанного в соответствии с соглашением о сотрудничестве между Московсиим, Софийским и Будапештским университетами.

Книга включает в себя теорию вещественных чисел„теорию пределов, теорию непрерывности функций, дифференциальное и интегральное исчисления функций одной переменной и их приложения, дифференциальное исчисление функций многих переменных и теорию неявных функций. ПРЕДИСЛОВИЕ ТИТУЛЬНОГО РЕДАКТОРА В настоящее время прогресс в математике в большой степени связан с развитием электронно-вычислительных средств.

Математические методы исследования проникают во все области человеческой деятельности. Все это повышает интерес к математике со стороны смежных наук, использующих различный объем математических знаний, и ставит новые задачи в изучении самой математики. В связи с этим возникает потребность в написании учебника по математическому анализу, учитывающего указанные закономерности. То обстоятельство, что решение математических задач реализуется на ЭВМ с помощью вычислительных алгоритмов, предьявляет повышенные требования к четкости алгоритмического уровня изложения математических дисциплин. Однако такое изложение должно базироваться на классических концепциях математики и не должно их затемнять.

Эти общие принципы вместе с задачей четкого, ясного и доступного изложения и положены в основу написания предлагаемой читателю книги. Книга написана с учетом согласованнбй между Московским и Софийским университетами программы преподавания первой части математического анализа. В предлагаемом учебнике уделено большое внимание вопросам оптимизации, играющим в математике и ее приложениях большую роль. В частности, в книге впервые в учебной литературе в законченном виде излагается алгоритм отыскания как внутреннего, так и краевого экстремума функции.

В учебнике уделено значительное внимание изучению вопроса об исходной информации, доступной при решении задачи. Так, например, для отыскания экстремума функции одной переменной авторы предлагают алгоритм, базирующийся на информации только о значениях функции в точках области ее задания. Предлагаемое решение не опирается на знание значений производной в точках области задания и пригодно для отыскания экстремума недифференцнруемых функций.. Такая постановка типична при решении задач об оптимизации производственных процессов. При выборе метода изложения авторы отправляются от того, что выбор алгоритма решения задачи зависит от того, какая информация из постановки этой задачи может быть использована.

Так, например, при введении понятия определенного интеграла Предисловие титульного редактора Римана авторы отправляются от концепции изложения, базирующейся на использовании значений функции в точках сегмента. Эта концепция, несомненно, является более предпочтительной по сравнению с концепцией введения определенного интеграла Римана с помощью первообразной, ибо она отвечает идее численных методов вычисления определенного интеграла, используемых на ЭВМ. В заключение хочу высказать уверенность, что предлагаемая книга будет способствовать повышению математической культуры читателей с различными запросами к объему математических знаний. А.

Тихонов Москва, сентябрь 1978 г. ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ Во втором издании книга подверглась существенной переработке и сокращению в целях максимального приближения ее материала к тому курсу, который реально может быть прочитан студентам первого года обучения. Особенно существенной переработке были подвергнуты разделы, посвященные теории вещественных чисел, теории множеств и теории метрических, топологических и нормированных пространств. В книге сохранены три уровня изложения (облегченный, основной н повышенный). Так.же, как и в первом издании, текст повышенного уровня выделен в книге двумя вертикальными чертами, теист основного уровня — одной вертикальной чертой, а остальной текст книги относится к облегченному уровню изложения.

Проведенные во втором издании переработки улучшили возможности использования книги на указанных трех различных уровнях изложения. Авторы выражают благодарность сотрудникам кафедры математического анализа механико-математического факультета МГУ и сотрудникам кафедры общей математики факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ за критические замечания по первому изданию этой книги. Авторы благодарят также В. М. Говорова, В. Н.

Денисова, И. С. Ломова и В. В. Тихомирова за помощь при подготовке второго издания этой книги. Особую благодарность авторы приносят А. И. Прилепко, прочитавшему рукопись второго издания и сделавшему критические замечания, способствующие ее улучшению. Москва, февраль 1985 г. ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ Настоящая книга является учебником по математическому анализу по согласованной между Московским и Софийским университетами единой программе первого года обучения. Она полностью охватывает материал первого года обучения, предусмотренный программой для студентов университетов СССР и НРБ, обучающихся по специальностям «математика», «механика» и «прикладная математика». Особенностью этой книги является то, что она содержит три четко отделяемых друг от друга уровня изложения: облегченный, основной н повышенный, причем для понимания материала облегченного уровня не требуется чтения материалов основного и повышенного уровней, а для понимания материала основного уровня не требуется чтения материала повышенного уровня.

Облегченный уровень отвечает программе технических вузов СССР с углубленным изучением математического анализа; основной уровень изложения отвечает программе специальностей «прикладная математика» и «физика» университетов СССР; материал повышенного уровня дополняет материал основного уровня разделами, обычно излагаемыми на механико-математических факультетах университетов. Текст, выделенный в книге двумя вертикальными чертами, относится к повышенному уровню изложения; текст, выделенный одной вертикальной чертой, — к основному уровню изложения; остальной текст книги составляет содержание облегченного уровня изложения.

Книга содержит вводную главу, разъясняющую возникновение основных понятий математического анализа и облегчающую восприятие последующего материала. В книге нашла отражение возросшая роль вычислительных методов и содержится ряд примеров применения аппарата мате. матического анализа для вычисления элементарных функций, интегралов и отыскания корней уравнений и точек экстремума. В настоящее время в СССР и НРБ имеется целый ряд учебников по математическому анализу, среди которых особенно удачными, по нашему мнению, являются учебники, написанные Л.

Д. Кудрявцевым и С. М. Никольским в СССР и Я. Тагамлицкнм в НРБ. Предисловие к первому изданию Авторы настоящей книги, несомненно, испытали влияние этих прекрасных учебников. При написании этой книги авторы использовали часть материала книги В. А. Ильина и Э. Г. Позняка «Основы математического анализа», а также опыт преподавания математического анализа в университетах. Авторы выражают глубокую благодарность титульному редан- тору этой книги академику 'А.

Н. Тихонову за большое количество ценных советов н замечаний. Авторы благодарят также Л. Д. Кудрявцева, И. И. Ляшко, В. Л. Макарова, Д. Б. Дойчинова и Т. Боянова, критические замечания которых способствовали улучшению этой книги. Особой благодарностью авторы отмечают труд В. М. Говорова и Г. Христова, который намного превзошел рамки обычного редактирования. София, март 1978 г. Глава ! ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА В настоящей главе, не претендуя на точность формулировок и отправляясь от простейших задач механики, мы постараемся обрисовать основной круг понятий и проблем математического анализа.

1. Начнем наше рассмотрение с выяснения тех математических понятий, которые неизбежно возникают при описании самого простейшего вида движения — движения материальной точки вдоль прямой линии. Если материальная точка движется вдоль оси Оу, а х обозначает время, отсчитываемое от некоторого начального момента, то для описания указанного движения необходимо знать правило, посредством которого каждому значению времени х ставится в соответствие координата у движущейся точки в момент времени х. В механике такое правило называют з а ко но м д в и ж енияя. Абстрагируясь от конкретного механического смысла переменных х и у н рассматривая в качестве х и у две совершенно произвольные переменные величины, мы придем к понятию функции, являющемуся одним из важнейших понятий математиче.