В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов - Математический анализ (PDF), страница 13

Но тогда в силу свойства 12' для элемента и>' — а' существует обратный, кот >рый в силу свойств произведения равен частному 1'/(т' — а'). Согласно свойству 16' элемент 1' можно повторить слагаемым столько раз, что полученный при этом «целый» элемент и' будет принадлежать (х') и удовлетворять неравенству и'> Г/(пт' — и').

Из последне~о неравенства в силу свойств произведения и суммы получим* пт' — — ) а'. (2.19) «' Так как элементы и', 1' и и' принадлежат множеству (х), то П и элемент (т' — —,) также принадлежит этому множеству и, л' очевидно, удовлетворяет неравенству гп' — — ч. т'. Но тогда неравенство (2.19) означант, что в верхнем классе имеется элемент; меньший пт', т. е. хч не является наименьшим элементом. Полученное противоречие доказывает полноту множества вещественных чисел "*. 2. Аксиоматическое введение множества вещественных чисел. Для введения вещественных чисел мы использовали множество бесконечных десятичных дробей. Определив для множества этих дробей правило упорядочения и операции сложения и ум- * Эти свойства обеспечивают применимость всех правил алгебры.

"' При доказательстне этой теоремы использовалась идея так называемого делекнндова сечения. ххедекиндовым сечением в области раииональных чисел называется разбиение множества всех рациональных чисел на два непустых подмножества А и В таких, что любой элемент А меныпе любого алел~сита В. Гл. 2. Вещественные числа 58 ножения, мы установили, что элементы этого множества обладают 16 основными свойствами и, кроме того, свойством полноты относительно 16 основных свойств. Описанный способ введения вещественных чисел, хотя и обладает несомненными эвристическими и методическими достоинствами, не является единственно возможным и целесообразным с научной точки зрения.

Для окончательного оформления и полного логического завершения наших представлений о вещественных числах более предпочтительным является аксиоматический метод введения этих чисел. Этот метод заключается в следующем. Множество вещественных чисел вводится как совокупность объектов*, удовлетворяющих 17 аксиомам, в качестве которых берутся !6 основных свойств и аксиома о полноте относительно 16 указанных свойств.

Впредь мы будем называть упомянутые 17 аксиом аксиомами вещественного числа. Конкретной реализацией совокупности объектов, удовлетворяющих 17 аксиомам вещественного числа, и является изученное нами выше множество бесконечных десятичных дробей. Возможны и другие реализации указанной совокупности объектов. Имеет место следующее замечательное утверждение: Любая реализаг!ия совокупности объектов (х'), удовлетворяющих 77 аксиомам вещественного числа, изоморфна изученному выше множеству (х) бесконечных десятичных дробей. Доказательство этого утверждения можно найти в книге В.

А. Ильина и Э. Г. Позняка «Основы математического анализах, ч, 1 (М., 1-!аука, 1982, с. 608 — 612), а также в книге В. А. Ильина, В. А. Садовничего н Бл. Х. Сендова «Математический анализ» (М., Наука, 1979, с. 65 — 69). Подчеркнем, что аксиоматический метод и понятие изоморфяых (в различных смыслах) совокупностей объектов широко используются в разнообразных разделах современной математики и физики (при построении геометрии, теории вероятностей, классической механики, статистической физики, квантовой механики "* н др. разделов). В заключение заметим, что в геометрии множество точек прямой вводится как совокупность объектов, удовлетворяющих некоторым аксиомам, среди которых фундаментальную роль играет аксиома о полноте этой совокупности относительно остальных аксиом.

Упомянутые аксиомы позволяют установить * При этом ничего не предполагается о природе этих объектов. Так, квантовая механика первоначально возникла в виде двух внешне различных теорий: «матричной механики» Гейзенберга и «волновой механики» Шредингера. ГГозже было доказано, что эти две теории используют две нзоморфные друг другу конкретные реализации одной общей совокупности объектов, вводимой аксиоматически и называемой абстрантным гильбсртовым пространством. в9 5 7. Элементы теории множеств взаимно однозначное соответствие между множеством точек прямой и множеством всех вещественных чисел е. Это соответствие позволяет изображать вещественные числа точками на прямой (числовой осн), чем мы будем широко пользоваться в иллюстративных целях.

5 7. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ 1. Понятие множества. В предыдущих параграфах при изучении теории вещественных чисел важным понятием являлось понятие множества. Подчеркнем, что множество мы рассматривали как начальное понятие, неопределяемое через другие. В этом параграфе мы будем изучать множества произвольной природы, или, как говорят, абстрактные множества. Это означает, что объекты, составляющие данное множество, или, как говорят, элементы данного множества, уже не обязаны быть вещественными числами. Элементами абстрактного множества могут быть, например, функция, буквы алфавита, фигуры на плоскости и т. д.

В математике обычно вводят множество как совокупность объектов любой природы, обладающих определенным свойством. Множества мы будем обозначать прописными буквами А, В, ... или Х, У, ... и т. п., их элементы — малыми буквами а, Ь, ... или х, д, ... и т. п. Утверждение «элемента принадлежит множеству А> будем записывать в виде аыА, если же элемент а не принадлежитт множеству А, то будем писать, что а~А или а л:А. Если рассматриваются два произвольных множества А и В и известно, что все элементы множества В содержатся в множестве А, то В называется подмножеством множества А и обозначается этот факт так: В~А, При этом говорят, что множество В включается в множество А.

(Заметим, что при этом возможен случай В=А, т. е. случай, когда каждый элемент множества В принадлежит множеству А и, наоборот, каждый элемент множества А принадлежит множеству В.) В дальнейшем удобно будет рассматривать множества, являющиеся подмножествами некоторого фиксированного множества Е.

Если множество вводится как совокупность объектов, обладающих некоторым свойством, причем оказывается, что объектов, обладающих указанным свойством, не существует, то множество называется пустым н обозначается символом Я. Таким образом, пустое множество — это множество, не содержащее ни одного элемента. Пустое множество является подмножеством любого множества. Заметим, что когда речь идет о некотором выборе элементов, для которых ранее было введено обозначение, скажем, о наборе ь См книгу В А. Ильина и Э.

Г, Позняка «Аналитическая геометрия» (М., Наука, 1981; приложение в конке книги). Гл. 2. Вещественные числа элементов х, то данная совокупность или данное множество может обозначаться и так (х) (говорят — «множество элементов «икс»). Далее, если Х вЂ” какое-то множество, а Р— определенное свойство, то запись (хеиХ:Р(х)) или (хеиХ~Р(х)) обозначает множество элементов х, обладающих свойством Р. Например, если обозначить через У=(х) множество натуральных чисел: 1, 2, 3, ..., то запись (хеийг: х' — 4=0) означает множество корней уравнения хе — 4=0, являющихся натуральными числами. В данном случае это множество состоит из одного элемента: 2.

Таким образом, (хе=1»'; хе — 4=0) =2, Множество всех тех вещественных чисел (х), которые одновременно удовлетворяют двум условиям: х<1 и 2<х, является пустым. Пустым является и множество (хеиЕ: хчьх). 2. Операции над множествами. Суммой (или объединением) двух множеств Л и В называется третье множество С, состоящее из элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств А и В. Сумма двух множеств обозначается так: С=АОВ. Аналогично определяется сумма А любого числа множеств А„. В этом случае пишут Л=(1А„, что и означает, что множество А состоит из элементов, принадлежащих хотя бы одному Лсл Заметим, что не следует путать понятие суммы двух множеств с понятием суммы двух вещественных чисел. Например, если мы рассматриваем множества А=(Ц, В=(2), т.

е. множества, состоящие всего из одного элемента: в первом случае нз единицы, во втором из числа два, то С=А((В=(1; 2) есть множество, состоящее нз двух элементов — чисел 1 и 2. Ясно, что при этом 1+2=3 не является даже элементом множсства С Пересечением двух множеств А и В 'называется третье множество С, состоящее из элементов, принадлежащих нан множеству А, так и множеству В, т. е, из элементов, общих для множеств А и В. Пересечение С двух множеств А и В обозначается так: С=АПВ. Аналогично определяется пересечение С произвольного числа множеств А.: С=ПА„, т.

е. множество С, состоящее из а элементов, принадлежащих, каждому множеству А„. Р а з н о с т ь и С=А',В двух множеств А и В называется множество, состоящее из элементов А, не принадлежащих В. Заметим, что если рассматриваемые множества являются подмножествами некоторого фиксированного множества Рь то разность А'=Е',А называется дополнением множества А или дополнением до Е множества А, Подчеркнем также, что понятие разности двух множеств также не следует путать с понятием разности двух вещественных чисел. Дополнительные сведения о свойствах операций над множествами н понятие отображения множеств будут даны в п.

4 в конце настоящего параграфа. $7. Элементы теории множеств 3. Счетные и несчетные множества. Несчетность сегмента [О, 1], Мощность множества. Важным вопросом при изучении множеств является вопрос о том, как сравнивать между собой два множества, имея в виду «количество» элементов, в них содержащихся.' Если мы имеем два множества, каждое из которых содержит конечное число элементов, то элементы в этих множествах мы можем просто каким-нибудь способом занумеровать.

При этом может- оказаться, что в первом и втором множествах содержится одина» ковое число элементов. Назовем такие два множества, содержащие конечное и одинаковое число элементов, э к в и в а л е н т н ым и. Если в одном из рассматриваемых множеств элементов окажется больше, то мы будем говорить, что оно имеет большую. м о щ н о с т ь, чем другое из рассматриваемых множеств. Обратимся теперь к множествам, состоящим из, вообще говоря, бесконечного числа элементов. Примерами таких множеств являются множество рациональных чисел или множество вещественных чисел, лежащих на сегменте [О, 1]. Назовем два множества А и В экви вал ен тн ыми, если между ними существует взаимно однозначное соответствие, т.

е. каждому элементу ае=А отвечает единственный элемент ЫВ, каждый. элемеят Ь~В сопоставлен некоторому элементу ае-=А и разным элементам множества А отвечают разные элементы множества В. Взаимно однозначное соответствие называют иногда биективным соответствием. В частности, множества, содержащие конечное число элементов, эквивалентны тогда и только тогда, когда они содержат одинаковое число элементов. Эквивалентность множеств А и В обозначается так: А-В. Покажем, например, что множество К=(г) рациональных чисел и множество У=(п) натуральных чисел эквивалентны. Заметим сначала, что для любого целого ЙэьО два рациональных числа т[п и тй!пй являются одинаковыми (здесь пФО).