А.А. Михалёв, А.В. Михалёв - Начала алгебры часть 1, страница 5

-1- а,+ 0.'+1)" = ((Щ + .. + 0.8) + о.,н)" =n-k+ 0.8) k 0.8+1=~ n1~ -., (0.1k!J.+ .. -1-k+j=n=Ln!k!jIk+J=nОпределение 1.10,4, Подмножество 5 кольцаR называется под­кольцом,если:а)5 -подгруппа относительно сложения в группеб)для 0., Ь Е5В) для кольцаимеем о,ь ЕRс15:предполагается, что1Е5,(R. +):32ГлаваПримерыЗадача1.10.51.10.6.1.Введение: основные е.псебрянческне структуры(примеры подколец). до СсIQJIR.Описать все подкольца в кольце вычетов дО" помодулю 'п.Замечание5.В кольце дОl0 элементы, кратные1.10.7.образуюткол ЬЦО с 1, не являющееся подкольцом в дОl0 (у этих колец различныеединичные элементы).Определение11/' =1.10.8.

Если R - кольцо, а, Ь Е R(), называется левым делителемiи аО, то элементО, Ьнуля вR,iО,эле­мент Ь называется правым делителем нуля в Н.ЗамечаниеВ коммутативных кольцах, естественно, нет1.10.9.различий между левыми и правыми делителями нуля.Пример1.10.10.В дО,IQJ, IR нетделителей нуля.Пример1.10.11.

Кольцо непрерывных функций С[0,1] имеет де­лители нуля. действительно, еслиf9отоI iНОCkC, =о,оi9ПримерделителиО/9 =1.10.12.Если п. =kl, 1<< л , тоk.lС"iСо, С;СО, т. е. КОЛЬЦО вычетов Zп. по составному числуniСо,имеетнуля.Леммато из аЬо,1:2=1.10.13.Если в кольцеас, где Оiа ЕR,RЬ, с Енет (левых) делителей нуля,R,следует, что Ь=с (т. е.ВQЗГ\ЮЖНQСТЬ сокращать на ненулевой элемент слева, если нет левыхделителей нуля; и справа, если нет правых делителей нуля).Доказательство.

Если аЬ=ОС, то а(Ьявляется левым делителем нуля, то/, -с:=-с)=О, т. е.О. Так как а не/, =с.ОЗЗ1.10. КольцаОпределение1.10.14.ным; если л." =натуральноеЭлемент Х Е Н называется нильпотент­О для некоторого Очислоnназывается<л. Е IЧ. Наименьшее такоестепеньюнильпотентностиэле­мента.ЯСНО, что нильпотентный элемент является делителем нуля (еслиn> 1,то 1;':1:,,-1 = О, :1:"-1'1 О).Обратное утверж дсние неверно (в Z6нет нильпотентных элементов, однако2, 3, 4 -иенулевые делителинуля).УпражнениеКольцо1.10.15.Z" содержит нильпотеитные эле­менты тогда и только тогда, когда п. делится на ·/n2 , где т Е N,m'll.Определение1.10.16.Элемент о; кольца Н называется идемпо­тентом, если х 2 = Х.

Ясно, ЧТО 02 = О, 12 = 1. Если 0;2 = Х И:Т '1 О, :1; '1 1. ТО Х(СЕ - 1) = 0;2 - "; = О, И поэтому нетривиальныеилемпотенты являются делителяминуля.Через U(Н) обозначим множество обратимых элементов ассоциа­тивного кольца Н, т. е. техrЕ Н, дЛЯ которых существует обратныйэлемент 8 =г- 1 (т. е. гг- 1 = 1 =.,,-11').Лемма1.10.17.U(Н) является группой относительно операuииумножения.Доказательство.[) Если т, s Е И(Л), то тв Е U(Н), поскольку (1'8)-1 = 8- 1 г - 1.2) 1Е U(Щ.З) Если'1'ПримерЕ U(R), то (г- 1 )-1 = Т, т. е ..(-1 Е U(Л).1.10.18.ОU(Z) = {1, -1}, U(Q!) = Q!*Q! \{О},U(IR) =IR*.Пример1.10.19. U(С[О, 1]) = {f Е С[О.l] I ](1)Пример1.10.20. Пусть Zm = {Са.

С 1 ,кольцо вычетов по модулю т. Отметим. чтот. е.(Ао.ln) = 1.kl+ m.Z =\11 Е [О. 1]}.k + m.ZЕ= k+m.Z.-Е Z.(k+mZ)(I+'mZ) = l+mZ для некоторого1 + mZ, что означает Аоl = 1 + тц . q Е Z. т. е.тогда и только тогда, когда1 Е Z.'1 О. . , Ст - 1 ) . С,U(Z",). k34ГлаваВведение: основные еясебренческне сзрук-суры1.Итак, IU(Zm)1 = <р(ТI1) , где '{(т,) - число натуральных чисел1 ,,; k: < '!n, не имеющих нетривиальных общих делителей с чис­лом т (функu,uя Эйлера). В частности, р(l) = 1, '10(2) = 1, '10(3) = 2,'10(4) = 2, <Р(1') = Р - 1 для простого числа р.

Более того, если р Е Н,то '10(7') = 7' - 1 тогда и ТаЛЬМ тогда, когда р - простое число.Задача1,10.21.Докажите, что группа U(дСп) циклическая тогдаи только тогда, когдаnЕ4,1''',2 1' О } , где l' -{2,нечётное простоечисло.1.11.ПоляОпределениес1,1.11.1.Ассоциативное коммутативное кольцо Кв котором для любого иенулевого элемента а. Е К существу­ет обратный элемент а- 1 , называется полем.Лемма1.11.2.Если К-поле, то уравнение аСЕЬ, где аfо,имеет одно и ТОЛЬКО одно решение (именно, а.- 1 Ь) .Доказательство. Если 0..1;;Т = а- 1 ь , то ах = а(а- 1 ь) = 11.Теорема1.11.3.=Ь.

то х=а- 1ахВ поле К нет делителей нуля.= 0.-1 (аЬ) = a-10 =ЗамечаниеЕслиОДоказательство. Допустим, что 0., Ь Е К, ПТогда Ьо.-lь.1.11.4.fо. Ьfо и аЬ = о.О, противоречие.ООбратное утверждение неверно. В кольцеZцелых чисел нет делителей нуля, но оно не является полем.ПримерТеорема1.11.5. 1Qi, IR, 22 1.11.6.поля.Кольио вычетов2"является полем (полем выче­тов) тогда и талыш тогда, когда 11. = Р является простым числом.Доказательство.безс,fделителеиСО, тонуляЕсли п.=j! -простое число, то 2р -(пеиствительно. есл и(:,,(:, =СО,с"кольцоfСО'k:l = рч, но k н 1 не делятся на р, что привопит К проти­воречию). Доказательство завершает следующая лемма.35Поля1.11.ЛеммаКонечное коммутативное колыю без делителей ну­1.11.7.ля является полем.Докаэательство. ПустьизnR ={Тn= О, Т] = 1, ...

,I'n-l} - кольцо7' О. 1 ( k ( n - 1. всеэлементов без делителей нуля. дЛЯ 'Т"произведенияделителем~ Тк;Гn-lTA;TIJ'"различны,нуля. Следовательно.посколькунайдётся1"/;;не-i, для которогоявляетсяTk/i=1,T.e.~=r;l.ЛеммаiПересечение1.11.8.n к, любого семейства подполей к;i.E!поля К является подполем.1,ЕООУпражнение 1.11.9. Через Q[V2] обозначим наименьшее подпо­ле в IR, содержащее поле Q и элемент(существующее по лем­ме 111.8). Покажите. что поля Q[V2] и Q[V3] не являются изоморф­v2ными.Определение(К,1.11.10.Рассмотримотносительно сложения,+)в этой группе.

Если0(1) =00,поле К как абелеву группупусть0(1)~ порядок элементаполя К равна О (т. е. для любых целых чисел k, I Еет, чтоk· 1i= I . 1в К). Еслии говорят, что К-0(1) = l' <00,1)2)сlШI'Qслаг ХрТеоремаZ из k7' Iследу­то полагают слаг Кполе конечной характеристики ]J (т. е. Рменьшее натуральное число, для которогоПримеры1то говорят, что характеристикаслаг К]1·1-=]1наи­= ~ = О).р1.11.11.= О. cllal'IR = О.=]1(для простого числа 1').1.11.12.Если К-поле нcllat· К= р > О.то р-простоечисло.Доказательство.

Допустим1< s, 1 <]1.противное,т.е.что l'st,гдеТогда(8·1)(1·1) = C!:._:t.:_~~)(~) = ,1 . 1 = 1'·1 = О,Iно$·1 7' 0.1·17'нуля в поле.О в поле К. что прсгиворечит отсутствию делителейD36Глгея1.12.1.Введение: основные алгебраические структурыИдеалы и гомоморфизмы колецОпределение1.12.1.Пусть Н.- кольцо. Подмножество gi' 1 С Вназывается левым идеалом кольца Н, если:1) 1 - подгруппа аддитивной группы (Н, +) кольца Н;2) .,.] i;;; Jдля любого элемента 'г ЕR(т. е. с.; ЕJАналогично определяется правыи идеал: вместо2') J./.

i;;; Jдля любого элемента т Е Н (т. е.Если подмножествоалом. тоJJ-ir Е Jдля всех2)i. Е 1).условиедля всехi Е 1).в кольце Н является и левым и правым иде­называется двусторонним идеалом кольца Н (т. е.подгруппа в (Н,него идеалаГ,J'r i;;; JJ-для всех 'г' Е Н).

ДЛЯ двусторон­кольца Н будем использовать обозначение1Примеры+), .,] i;;;1 <1 Н.1.12.2.1) {О} и R - идеалы кольца Н.2) 2n <1 2для любогоnЕ2.3) Т" = {! Е С[О, 1] I /(и) = О} <J С[О, 1] для любого а Е [0,1].4)Если Н.-коммутативное кольцо, о. Е Н, то подмножествоНо. = {то.являетсяидеаломкольцаR,[ТЕ Н}называемым главнымидеалом,лорожлённым элементом а Е Н.Упражнение1.12.3.Покажиге.

что в кольце целых чиселкаждый идеал имеет вид 7!/n, 1/. ЕZ,(2,+..)Т. е. каждый идеал являетсяглавным (такие комыугативные кольца называются кольцами глав~ных идеалов).ПустьR и н'- кольца. Отображение f: R ~ Н' называется го­+ 1)) = f(,,) + ЛЬ) и /(аЬ) = /(,,)/(1))а, /) Е Н.моморфизмом колец. если /(адля всех37Идеалы и ГОflЮflЮРфИЗМЫ колец1.12.Черезобозначим образ гомоморфизма1111 //,т.

е.1111/ = и(т·) Е R'j r Е R};через Кег/ -ядро гомоморфизма=Ке,.!Если гомоморфизм[,{а Е Rт. е.I /(и.) = О}.является биекцией, то/называется изомор­/физмом коле".Отметим ряд свойств гомоморфизмов колец1. Так как / - гомоморфизм.1(0) = О', .1(-а) = -.1(и).2. Если R э 1, R' Э l' и 1111 /дляа'обратимогоэлементаи./: R---> R'.(R, +), (R', +),абелевых групп=В', то /(1)=Действительно,1', /(0.-1)еслиа'то= .1(0.)-1ЕR',то= /(0.), а Е R.

Тогда/(l)а'а'ф)т. е./(1)== /(1).1(0.) = .1(1 . о) = Ла) = а',= f(a)I(l) = /(а· 1) = /(а) = а',1';/(0.-')/(0.) = /(0-]0) = /(1) = 1',./(o.).1(a- l ) = .1(00-1) = /(1) = 1',т. е./(a- I ) = /((1)-1Это утверждение может не быть верным, если3. Если [: Rний идеал кольца--->1111 / =1= Н',R' - гомоморфизм колец, то Кег / - двусторон­R.Докаэательство. Такгрупп, то Кб'/-какподгруппа в/: (П,-;-)(R, +).Если о. Е Кс]' [, т. е.

/(а) = О. Т, -' Е{(та)/(а.о)итак,1'(1.Е Ксг/'==08 Е Кег((1')/(0.).1(o)j(s)[,R,--->(R',+)-гомоморфизмто= /(') . IJ = IJ,= (). /(,,) = О.т. е. Ке1' I <JRо38ГлаваГомоморфизм колец4.Введение: основные алгебраические структуры1f: Rи только тогда, когда Кегf---> Н' является изоморфизмом тогда= {О} и 1т f = R' (следует вспомнитькритерий изоморфизма для гомоморфизмов групп, см. лемму 1.9.29).Ясно, что изоморфные кольца обладают одинаковыми кольцевыми.f: Rсвойствами.