А.А. Михалёв, А.В. Михалёв - Начала алгебры часть 1

Начала алгебры, часть1:алгебраические структуры;комплексныечисла;системы линейных уравнений;матрицы;определителиА. А. Михалёв, А. В. МихалёвОглавлениеГлава1. Введение: основные алгебраические структуры1.1. Алгсбриичгткиг '>11"1'''1\11111.2. Группоилы. иолугруппы. моноилы1.3. ОБО(>llli'lIl""l 'I("'ОIlI·lilТIIlIIIOП1, (применениеfll'('(ЩННТI-t!ll!оii оиераиии к n сомножителям при n ~ 3)1.4. Отображспия множеств1:1. Иггы-кгинпыс, сюръективпые, биективные отображения1.1;, IIРОIЛIIСI\('IIНС отображений1,7. MOIIOIIIl отображсиий множества.I,Н.122810111314Х"Р"I<'I'<'I>lI:JilllИ!1 ипъективных, сюръективных иrJ!-1{'1\ТИIIIII,rх отображении (В терминах произведений()'I'()()РilЖ"1111Й)г.о,"pYIIIII,11.101.11.1.12,1.13.КОJlI.ll" ,141728По.IIЯИдеалы н гомоморфизмыколецКольцо многочленов от одной переменнойГлава2.

Поле С комплексных чисел2.1. Анализ ситуации2.2. Построен не поля комплексных чисел2.3. Сопряжение комплексных чисел2.4. Полярные l<оординаТbI точек плоскости55565760(отличных отначала координат)2.5.2.6.343638Свойства модуля комплексных чисел6363Тригонометрическвя форма ненулевого комплексногочисла66уН!ОглавлениеУмножение комплексных чисел в тригонометрической2.7.форме67Геометрическая интерпретация обратного элемента2.8.z-12.9.210.2.11.дляZ= а.+ ".;Е <с.Комплексные корни n-й степени из единицыРешение уравнений третьей и четвёртой степениОсновная теорема алгебры комплексных чисел(теорема Гаусса,1799 г.)81Глава3.

Системы линейных уравнений3.1. Совокупность решений системы линейных уравнений3.2. Эквивалентные системы линейных уравнений3.3. Метод Гаусса3.4. Элементарные преобразования систем линейныхуравнений (строк матриц) .3.5. Приведение системы линейных уравнений с помощьюэлементарных преобразований к ступенчатому виду.Исследование ступенчатых систем линейных уравнений3.6.3.7.3.8.ГлаваНекоторые следствия из метода ГауссаПри меры применения метода ГауссаЛинейное пространство строк над полем4.Свойства операций4.l.4.2.69767987899091929497101102105106Связь решений неоднородной системы линейныхуравнений с решениями соответствующей однороднойсистемы108Глава5. Подстановки, перестановки5.1.

Запись подстаиовок. Перестановки .5.2. Перестановки и транспозиции5.3. Разложение подстановок в про изведение110111113циклов снепересеиающимися орбитами5.4.5.5.Глава6.1.6.2.6.Чётность перестановок и подстановокЧетиость произведения подстановокОпределители квадратных матрицОпределители малых порядковОпределители квадратных(n х -n)-матриц116118]20123123125Оглавлениеix6.3.6.4.Свойства определителя. Базовые свойства6.5.Линейная комбинация строк в линейном пространствеВывод следствий из свойств1-4.1-4строк !СП6.6.6.7.Вычисление определителейбазовыми свойствамиСведение вычисления определителя к определителям6.9.Определитель Вандермондаменьшего порядка7.столбцов, задаваемые (прямоугольной) матрицей8.149153пространств столбцов153Алгебра матриц156Линейное пространство lVI m,n(К) прямоугольныхматриц размераrn Х n .Произведение матриц8.2.8.3.8.4.8.5.8.6.8.7.8.8.8.9.Матричные единицы ЕиАссоциативность произведения матрицИтоговая теорема об алгебре матрицМногочлены от матриц, теорема Гамильтона-э КэлиОбратная матрицаНахождение обратной матрицы А -\156156158162163169174180Замечания об обратимом (биекгивном) линейномотображении8.10.

Матричное построение поля комплексных чисел9.1.9.2.9.3.135145Матрица произведения линейных отображений8.1.Глава134Линейные преобразования линейных пространствПроизведение линейных отображений7.1.7.2.Глава131133Характеривация функции определителя матрицы6.8.Глава1271299.Линейные пространстваВывод свойств линейного пространства из аксиомЛинейная зависимость в линейных пространствах183186189189191Маl<симальные линейно независимые подсистемысистем элементов линейных пространств, базислинейного пространства196Оглавлениех9.4.Замечание о линейной выражаемости конечныхсистем элементов в линейном пространстве9.5. Единственность главного ступенчатого вида матрицы9.6. Изоморфизм линейных пространств9.7.

Замена базиса линейного пространства9.8. Обратимость матрицы перехода9.9. Замена координат элемента линейного пространствапри замене базиса9.10. Линейные подпространства линейных пространств9.11. Пересечение линейных подпространств9.12. Сумма линейных подпространств9.13. Линейная оболочка элементов линейного пространства9.14.

Решётка подпространств линейного пространства9.15. Проективная размерность подпространств ипроективная геометрияPG(KV)9.16. Теорема о ранге матрицы9.17. Размерность пространства209211212212213216218218решений однороднойсистемы линейных уравнений9.18.198202205207208Задание любого подпространства в225f(V =К" какпространства решений однородной системы линейныхуравнений9.19.

Собственные числа и собственные векторы матрицы227232Список литературы240Указатель обозначений252Предметный указатель254Глава1Введение: основныеалгебраические структурыв этой главе мы представим вниманию читателя основные алге­браические структуры, скоторыми мы встретимся приизложениикурса и при решении задач. Детальное знакомство с ними будет про­исходить по мере нашего продвижения и накопления фактическогоматериала. Преимущество работы с абстрактными математическимипонятиям и может быть оценено лишь при необходимости рассматри­ватьмногочисленныеПредметалгебрычастныепри меры.существенноменялсястечениемвремени:арифметические действия над натуральными и положительными ра­циональными числами в глубокой древностиические уравнения первой и второй степенигебраической символики(15-17(3(9век н. э.): алгебра­век); появление ал­века); к 18-му веку алгебра сложи­лась в том объёме, который сейчас принято называть «элеJlлентар­НОЙ алгеброй»: в18-19многочленов; с серединыисследованийвеках алгебра -19-1'0это прежле всего алгебравека центр тяжести алгебраическихперемещается на изучение произвольных алгебраиче­ских операчий.

Изучение алгебраических структур (т. е. множествс опрелелёнными наННХ операциями) было подготовлено развити­('М числовых систем (построением комплексных чисел и кватерни­()1юн).созла I! нем матричногоИСЧ исления,ВОЗНИ кновен ием булевой'I,III·,·{)!,I,I. IIllСlllflСЙ алгебры Грассмана, исследованием групп подста­понокТаким образом, к 20-му веку сформировалась точка зрения2ГЛЕва1Введение: основные елсебренческне стру/(турына современную алгебру как на общую теорию алгебраических опе­раций (под влиянием работ Д.с выходом вГильберга, э.Артина. э.Нётер и1930 г. монографии Б.

Л. ван дер Вардена «Современнаяалгебра» ).Алгебраические операции1.1.Еслиnрез111М- непустое множество, '17, - натуральное число, то че­обозначим множество упорядоченных последовательностей(пtl, nt2",,; 'ПL n ) , nLi Е А1, 1 ~ 't ~ n. Под п-арной алгебраическойоперацией на множестве М понимается отображениечисло т1 называется арностью алгебраической операции са, Истори­чески сначала возникли бинарные операции('17, = 2) и унарные опе­('17, = 1). Нульарные операции - это фиксированные элементымножества 111, поскольку под м'» пони мается одноэлементное мно­рациижество.1.2.Группоиды, полугруппы, моноидыНепустое множество М с бинарной операцией"": М Х 11,1 ~ Мназывается гриппоидом. Иногда нам удобнее использовать обозначе­ние17],1 w m2 =Бинарная операция('1nl ш rП2)w((m], m2»,ml, m2 Е М.w: 111 х 111 ---" 1\11 называется ассоциативной, еслиw тнз = ЛI·lW(rHZ UJ 'тнз)для всех'{/Ч~ '{Н2, IJLз Е 1\1[,и коммитатинной, еслиПЧWnLz='ГnzWТJLlУпражнение1)для всех'Inl,'ПL2ЕJJI.1.2.1.Бинарная операция разность целых чисел-: ZХZ~Z,(m],ТI/.2)>--'m·l - ·"'2,не является ассоциативной и не является коммутативной.1.2.3Группоиды, лолугруллы.

МОНОИДbJ2)Следующие бинарные операции ассоцнативны н коммутативны:2.1)+:HxH-;Н,(mj,Гn2) с-.>П'l +m2(сложение натуральных чисел);х-: NМ,N -;(ml,m2) с-.> mlm2(умножение натуральных чисел):2.2) пусть P(JvI) - множество всех подмножеств (включая пу­стое) множества М,п. Р(М) х Р(М)-;Р(М),(А, В)f->АnВ(пересечение подмножеств);U: р(м) Х р(м)-;р(м),(А, В) ь-э А U В(объединение подмножеств);*:(А, В)f->А*Вр(м) Х р(м)-;р(м),= (А \ В) U (В \ А) = (А U В) \ (Аn В)(симметрическая разность подмножеств).3) Пусть т(м)=ММ=и: М -; М} - совокупность всех ото­бражений из множества М в множествоо: JvIM Х мМгде (/ о9)(m) = /(g(m))жений).

Тогда о-; мМ,JvI,(/,g)f->/09,для 111 Е М (композиция отобра­ассоциативная операция (она является ком­-мутативной тогда и только тогда, когдаIJvII = 1,одноэлементное множество), подробнее см. задачу4)т. е.Jv!-1.7.1.Бинарная операцияNхN------+ М)(т.)n)!-J-т.n'(возведение в степень) неассоциативна и некоммутативна; би­нарная операциякоммутативна, но не является ассоциативной11",(2",З)).((1", 2) w 314ГлаваJ. Введение: основные ялсебренческне структуры5) Если (М, [Ц) - группоид с бинарной операцией [Ц: М Х Мто подмножество L с:; 11;[, для которого-7111,(замкнутое относительно операции [Ц), является труппоидом.называемым подерцппоидом,а)(1\1, +) -Например:подгруппоид в группоиде(2, +) (здесь 2 - целыечисла);б) подмножество 2 \ {О} не является замкнутым в группсиле(2, +) относительно операции сложения.Пусть(iVl 1 , [Цl) и (Л12, [Ц2) - группоиды.

Отображениеназывается гомоморфизмом гриппоидов , еслиf(xW1Y)=/(X)W2/(Y)для всех х,УЕМ1 .Биективный гомоморфизм группоидов называется изоморфизмомгруnnоидов (В случае его наличия группсилы (М1 , [Цl) и (М2 , [Ц2)называются изоморфными; обозначение 1111 ~Лемма1112).1.2.2.1) Пусть/1И/2, гдеЯВЛЯЮТСЯ гомоморфизмами группоидов. Тогда их произведение/2/1,также является гомоморфизмом группоидов.51.2. Группоиды, ПОЛУГРУППЫ, МОНОИДЫ2) Пусть f: (M1'Wl)--+(1V!2,W2)-изоморфизм группоидов, тогдаобратное отображение1г : (M 2,W2)--+(M1,WI)зэкэке является ИЗ0МОРФнзмом группоидов.Доказательство.Г) для любых х, у Е1111имеем(.f2I1)( X W1Y) = I2(.f1(:TW1Y)) = !2Ul(X)W2 !1(У)) == МfФ)) Wз f2(iJ(y)) = ((2М(Х) W3 и2/1) (у).2) Пусть z, w Е М2 , ZУ = /-I(ш) Е М1. Тогда= f(:c),w=/(у), где Х= f-1(z),г 1 ( z W2 ш) = г 1 и (т ) W2 /(у)) = г 1 и ( х; W1 у)) ==Следствие1.2.3.XW1Y = г 1 ( z ) W1 г 1 (ш ) .ношением эквивалентностн на классе группоидов:(M,w)~если~ООтношение «бытъ нзоморфнынн» является от­(M,w):(M 1,Wl) ~ (M2,W2), то (M2,W2) ~ (M 1,Wl); если (M 1,W1)(M 2,W2) и (M2,W2) ~ (МЗ,WЗ), то (M1,W1) ~ (Мз,wз).Упражнение])1.2.4.Тождественное отображение1м: М --+111,1м(т) = т,является изоморфизмом1м:(M,w)--+(M,w)группсипов.2)Отображенияf (!'! +)А:(!'! -ь)--+--+(N, .).(N, +),/(n) = 2",/,(n) = kn., kЕ lЧ,являются гомоморфизмами труппоилов (но отображение[«: (N,')--+ (lЧ,.),/,(n) = kn,не является гомоморфизмом группоидов).k OF 1,~6[лаваПусть(NI, ш) -1.Введение: основные алгебраические структурыгруппсил.

элемент е Е 111 называется (двусторон­ним) нейтральным элементом, еслиеwУпражнениет= т = т w е для всех т Е 111.1.2.5.Следующие элементы являются нейтральны-МИ:1) () в2) 1(f\!U{O},+), (2,+), (IQJ,+), (IR,+);в (lЧ,.), (2, .), (IQJ, .), (IR,);3) 1м в (мМ,о);4) М в (р(м), п):5)iZJ в6)в (lЧ,(P(M),U)+)нет нейтральных элементов (в РоссииЛеммаменты.и в (Р(М),*);1.2.6.Тогда е =Пусть (111,ш)-группоид, е и е'-f\! = {1, 2, ... }).нейтральные эле­е' (другими словами, если в группоиде существуетнейтральный элемент, то он единственный).Доказательство. еЗамечаниецииwв1.2.7.моноиде , Тnl=е w е' = е'.Вмультипликативныхw 'm'2=DnLl'ПI'2,обозначенияхнейтральныйназывают единицей и используют для него обозначениеДИТИВНЫХ обозначениях, n~lw Тn'2='т.!+опера­элемент часто1=ем', в ад­Тn'2, нейтральный элементобычно называют нулём и используют для него обозначение О = Ом.Определение1.2.8.Группоид (М, ш) с бинарной операциейш:МхМ--->Л1называется полугруппой, если операция u; ассоциативна; моноидомесли операция ассоциативна (т.