Е.В. Якушева, А.В. Попов, А.Г. Якушев - Математика, страница 8

к. знаки ее 'членов чередуются.П ризнак"геометрическоипрогрессиисiположительными членами.Последовательность положительных чисел яВляется г~ометрической про­грессией тогда и только тогда, когда каждый ее член, начиная со второго,есть среднее геометрическое предшествующего и последующего членов.Доказательство. Необходимость. Из определения геоме'Грической про­грессии следует, чтоЬ"+1Ь"~Ь"-1 .из этого равенства Ь", по.rrучим. Ь"-I'Так !<ак все члены прогрессии положительны, то пос.rrеднее равенстворавносильно равенству lJ nу'Ь n + 1 . /)"-1'Все преобразования можно проделать и в обратную сторону, по­этому достаточность условия тоже доказана.Теорема. Доказа.на..Геометрическая прогрессия и ее свойства14.45Признак геометрической прогрессии может быть расширен и наобщий случай.

Приведем его без доказатеJIЬС'l'ва.Числовая последовательность является геометрической прогрессией тогдаи только тогда, когда квадрат каждого ее члена, начиная со второго, равенпроизведению предшествующего и последующего членов.Если на плоскости Оху нанести точки с координатаминомер, а Ь Nn -у которойq>Оп), гдеО, то все точки будут лежать на графике функции,задаваемой формулой уа ы(n,n-й член пекоторой геометрической прогрессии,= Ь 1 q"-l, где q -это знаменатель прогрессии,ее первый член.

Это наблюдение ПОЗfюдяет сдедать следующийвывод.Геометрическая прогрессия приq>о является показательной функцией,~!заданнои на множестве натуральных чисел.Теорема (формула суммысии).первых членов геометрической прогрес­nСумма n первых членов геометрической прогрессии равнаЬ1 -при1- qДоказательство.Приqпоэтому сумма1q :f. 1=n . Ь 1иq = 1,все члены прогрессии равны между со­это ЩЮС'l'О сумма-при'nравных между собойслагаемых= Ь 1 + Ь 2 + ... +1+,Ь1+ 61 + ... + 61 = nJ11При q:f. 1запишем сумму. Ь1 .разn первых членов геометрической про­грессии5пЬ1+ Ь 2 + .. ,+ 6"-1 +и домножим обе части этого равенства на знаменательqгеометриче­ской прогрессииq ·5,.= q . Ь 1 + q ·62 + .

, . + q .1+ q'Следовательно, пользуясь определением геометрической прогрессии,можно получитьq . 8"Ь2+ Ь з + ... + 6" + 6"+1'Вычтем последнее равенство из равенства(1= Ь1+ (62+ ... +(1)46Геометрическая прогрессия и ее свойства14.члены, получаем, что для CYMMJiol 5п имеет местоПриводяравенство=Ь1 ­(1- q)SnПриq#-1 можноразделить обе части этого равенства на скобку(1- q)и получить искомую формулу для суммы1)11- qТеорема доказана.Следствие.Суммаnпервых членов геометрической прогрессии равна1 _ qn5nДоказател:ьство.Ь 1 ---1 -qпри q#- 1.Выразим зна'-Iение Ь nН через Ь 1 иqпо формулеобщего члена геометрической прогрессии и подстав:им это выражениев полученную формулу Д.IIЯ суммы.Определение.Геометрическая прогрессия на.эывается бесх;оне'Чuо убы.­если ее знаменательqпо а,6СОJIЮТНОЙ величине меньше еди­бесконечно убывающейна:зывается число,ккоторомугеометрическойпрогрессиисумма 11 первых членов бесконесшогеометрической прогрессии неограниченно приближаетсяс ростомn.Замечание.Это название, хотя и является общепринятым, неудачно,так как бесконечно убывающая геометрическая прогрессия являетсячисловой последова.тельностью, только если и первыи член,и знаменатель прогрессии положите.IlЬНЫ.

Более того, еG.lIИ первый членотрица.телен, а знаменатель положителен, то бесконечно убывающаягеометрическая прогрессия является возрастающей.Теорема (формулаAJl.l[ суммы бесконечно убьmающеи геометрическоипрогрессии). Сумма бесконечно убывающей геометрJческой прогрессииравнаS=1)11- q'Это выражение получается из формулы суммыгеометрической прогрессии приn,~)TOM необходимо учесть, что если!(нулю приn,n первых членовстремящемся !< БСст<Онечности. ПриIql <1,Iто n-я степеньстремящемся Т< бесконечности.стремится15.Модуль действительного 'fисла47МОДУЛЬ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ЧИСЛА15.Определение.Абсолютной величинойу!(или "-I!одуле.м) 'а! действительного чис­называется:аположитедЫlое число; нуль, если--само3'1'0ла ачисло,y=jxlесличисло аное- нудь; сlИСJIО, противополож­чиеду а, есди а отрицатедьноеочисдо.хЭто определение можно переписаТhРис.в видеаа,jТеорема.= { -а,15.1.еСJIИ а ~ О;если а< О.Свойства модуля действительного числа:1.ja+bj~laj+lbj;2.jabj=jaj·jbl;3.I~ I =4.[аal'при а f.

О;Рассмотрим функцию у= Ixl,- Ь [~ ijа j - jькоторая каждому числу х с,:гавитв соотвеТСТilие его абсолютную величину [Х [.1. Область опредеfения ФУI1КЦИИ. Модуль однозначно определен дляm..JlюБОl'О деЙСТВИ'l'lЛЬНОГО чrсла, ПО3'l'ому D(jxl)2. Область :значенйй функции. По определению,З. Периодичность.!равное нулю, она принима\",т 'l'олько при Х4.E(jxj)= [О; +(0).iФункцця не является периодической, т. К. значение,О.Четность или нечетност~. Функция является четной, ПОСКОJlЬКУ ДJlЯлюбого числа х выподненоpaBeHC'l'BO=Это равенство вытекает из опредедения МОДУJlЯ.5. Точки пересечения графика с осями координат.оси координат в еДИНС'l'венной точке0(0;ГрафикпересекаетО).б. Промежутки :знакопостоянства функции. Из опредеJlения МОДУJlЯ сле­дует, что значения функции положительны для всех значениii хf.

О.7. Наибольшее и наименьшее :значения. Функция не имеет наибольшегозначения, Т. к. она неограНИ'lенно возрастает с ростом переменной х.Наименьшее значение равно нулю.Свойства натуральных и целых r'Т'''Т"r'''l.rI>ТК16.48'~~_~~~~~~8, Интервалы возрастания и убывания, Функцин воз~астает на проме­(так как на этом множестве она совпадает с линейнойи убывает на. промежутке(-00;О] (так как на этоммножестве она совпадает с линейной функцией у-х).9, Асимптоты, График имеет асимптоты у = ±х.= 'хl показан на рис.функции у15.1.16.

СВОЙСТВА СТЕПЕНЕЙ С НАТУРАЛЬНЫМИ И ЦЕЛЫМИ ПОКА3АТЕЛЯМИОпределение.кзза,телемСтепенью действительного числа а с натуральным по­n, n > 1,называетсн произведение а·· ·'а, в котором число а'--v--'nразвэнтомножителемnзаписираз.степень обозначают верхниминдексом а",опреде.IJНЮТ а 1Пусть а ~ действительное число, причем ачисло, тогда степеньючисла(-n) называют число* *а, а также а О = 1 при аО, иО.n - натуральноеа с целым отрицательным ПОI<аэателеми обоэначают а- nlп ,аНулевая и целая отрицательная степенИj числа нуль не определены.!Теорема (свойства степеней с натуралъньfми и целыми пока.зател.ll­ми).

Для любых двух отличных ОТ нуля ЧИfел а и Ь и целых чисел mиn1.атаn3.(а ПЬ )"5..верны следующие равенства:а\"= ат,,; 2.а т : а"4.(аЬ)"ат-т!;аnЬ n ;а'"ьДокаэательство пере'iисленных равенств следует непосредственноиэ определений степени числа с целыми и натуральными показателями.Доказательство.Убедимся в справедливости перечисленных свойствсначала для натуральных значенийДокаэательствоnи т.cBoikTBa 1.ат а nа .

, . а ' а ... а~mраэ'--v--'"ра.э=аУn+n .16.Свойства натуральных и целых степенейДоказательство свойства49Пусть т> 'п, тогда2.тnразa~Тnа·· ·аа'-v--"nЕсли 'т=т-nТn-n .разразn, тоaЕсли=a... а'-v--"а·· ·аm < n,aТnaТnaТn1=а =aОТn-H •тоТn1a Тn - nаn - та·· ·а~nразn-тn разДоказательство свойства 3.nраэ(ат)n=а1]1,···а""--v-'n~----"tn'=а···а···а···а=а'-..,-'mразтn'-v--"rпраз.ра:,Докаэательство свойства 4.(аЬ)nТ'РЛhСТIЮ свойства5.nаЕсли среди чиселnираз,--л-...nаЬв приведенных вышеаnЬ n .аЬ ... аЬ=а ... а.Ь ... Ь'--v-''-v--" ~n разn раз11, раэаа·· ·аЬЬ'-v--"Ь··· Ь'--v-'nразnразmа"есть равные нулю или отрицательные, торавенствах следует заменитьсоответствующиесомножители согласно определению нулевой истепени.

Например, свойство 4 будет при(аЬ )nn <1аЬ·.. аЬ'---v-"-nраза·.. а·Ь··· Ь'-v--'~-11, раз-'Н P~1О доказываться так:11а- nь- n50 17.Свойства корней степени 1117. СВОЙСТВА АРИФМЕТИЧЕСКИХ КОРНЕЙ СТЕПЕНИ n Определение.Ариф,м;етичеСICи,м; ,"орне,м; степени n из неотрицатель­HOl'O числа а называется такое неотрицательное число 'V(i, котороепри возведениив степень11дает число а.Подчеркнем, что арифмети'{еский корень определяется только длянеотрицательных ЧИсели показаТ('J1ем степеникорня всегда. янляетсянатуральное число.Теорема.Для любых действительных чисел аральных чиселrn, kиnva'Vb;1. VOJj?:2.nЛо и с>Ои нату­V'C'С3.

Vva = "~Гa;4.nVа щk =5.v;;mа= (va)mа;6.vaпva =7. ?:О, Ьвыполнены равенства:тvё _ "'\/с т - n ."VёДоказательство.Перечисленныесвойства доказываются по однойи тои же схеме. Во-первых, необходимо эамети'ГЬ, '{то ограничения начисла а, Ь и с таковы, '{то левая и нравая 'lасти каждого равенстпа име­ют смысл и неотрицательны. Вторым этапом Докаэательства япляетсяненосредственная проверка каждого раненства на основе определенияарифметического корня и свойств степени числа с натуральным по­казателем.

Проведемэтап доказательстна для пере'lисденныхвыше СRОЙСТR.доказательства спойствав степень11 ивозведем праную '{астьравенстваубедимся, что она рапна а.Ь. Таким обрahом, по41стененеи с натуральным пока.зателем получаем(vanДока.:зательство свойствасвойство5(rV<1)".()" =2 проводится аllаЛОГИ'llЮ, но используетсястепеней с натуральным показателем( Va)nvёа.Ь._а.-с17.Свойства корней степениn51Для доказательства свойства 3 возведем левую часть равенствав степень'пk и на основании свойства 3 степеней с натуральнымпоказателем получим(7fVi)nk=((,ifVa) ")k(va/ = а.Доказательство свойства 4 основано на свойстве 3.