Е.В. Якушева, А.В. Попов, А.Г. Якушев - Математика, страница 7

Область значений функции. Областью знач:ений функции ЯВ.lIяется:множество всех деиствительных ч:исел, кроме нуля.Доказательство. Выражение ~ не может равняться нулю ни нрикаком значении х, так как k =f- О. ДЛЯ любого <Iис.па у =f- о существуетединственное '!ис.r!о ;r; == k,при котором зна"lение функции ра.вно у.уПо:эсгому областью значений является множество (-00; О) U (О; +(0),и каждое зна.чение функция принима.ет ровно один ра.э.3. Периодичность.Функция не является пеРIЮДИ'-Iеской, т. к. она. ка­ждое свое знач:ение принимает ровно один раз.11. Свойства функции уk/xЧетность или нечетность. Функция у4.39~ нечетна, т.

к. при любомзначении х f. о выполнено равенство у( -х)-х- ~k5. Точки пересечения графика с осями координат. имеет корней, поэтому функция усосью абсцисс.хо не~ не имеет точек IIересе"IенияТочка нуль не принадлежит области определенияфункции, поэтому точек пересе'iения с осью ординат нет.6. Промежутки зн~копостоянства функции. Если k>О,то значенияфункции положи~ельны п ри х > О и отрицательны при 2.' < О.k < О значения положительны при х < О и отрицательны при х >7. Наибольшее и наименьшее значения.шего,нит.

К. ее область значений есть МНО­наименьшегожество всехельных чисел, кроме нуля.возрастания и убывания. ПРИ8. О.mнтт",ттпп не имеет ни наиБОJlЬ­,а приО<k<<Хlk>О функция убывает наО возрастает на тех же лучах.Х2 Иk> О.kk--Х2<О.ХlХ1 Х 2+00) при k > О. Аналогич­(-00; О) и рассматриваетсяЭТО доказывает убывание на интервале (О;но доказывается убывание на интервалеотрицательногоЗамечание.

Функция уk.= k не монотонна на всей области определения!х9. Асимптоты. ГРi:1фИК фУНКЦИИ имеет две асимптоты: вертикальнуюх= О и горизонтальную у = О.)11У!k>Ok\k<Ok1-1хРис.11.1.О("График функции у = ~ ноказан на рис. 11.1 и называется гtmсрбо­k> О график расположен викоординатныхчетвертях; при k < О - во второй и U"""DЩ~""А''ХлоЙ. При40Средние арифметическое и геометрическо~ двух чисел12.12.НЕРАВЕНСТВО, СВЯЗЫВАЮЩЕЕСРЕДНЕЕ АРИФМЕТИЧЕСКОЕ И1СРЕДНЕЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ДВУХ чрсЕЛОпределение. Число аi ь на:зыва,ется средним, арuф,м, сmлчесх;v"м двухчисе.1I а и Ь.Определение.ЧислоV;;;;на:зывается средни,м, гео.меmричесr.:u.м двухнеотрица:гелыlхx чисел а и Ь.Теорема.Для любых двух неотрицательных чисел а и Ь среднее арифме­тическое больше (или равно) среднего геометрического, причем равенствоимеет место только в случае а:::: Ь.Дока:зателъство.

ЗначенияJaи VТ; определены,T.ICчисла а и Ьнеотрицательны. Поэтомуа+Ь= ~ (а 2vГab +22~ (Ja=~ О.Следовательно,а+Ь-- ~2 'частьутвержденияг"7уаЬ.теоремыизтого,чторавен­ство В приведенных выше выкладках во:змОжно только в случае, есливыполнено условиеJa = VТ;,откуда следует, что а±: Ь.'~~~~"n докаэана.Определение.Следствие.Обрапшы.мJ{числу а=f. о на:зывают число ~.Имеет место неравенство для суммы двух взаимно обратныхчисел:1при а>Оа+при а<Оа+ - ::;;а~12;-,2.аРавенство имеет место только в случаях аДока:зателъство.1иа= -1.Следует paccMo'tpeTb числаа(1.иьаи :записать для них утверждение теоремы о неравенсгвс между среднимарифметическим и средним геометрическим двух чисел.13.13.АрИфметическая прогрессия: и ее свойства41АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯИ ЕЕ СВОЙСТВ;'\.Определение.АРUфvlf.еmuческоЙ l1рогресС'ией называется такая число­вая последовательность, в которой каждое число, начиная со второго,равно предыдущему,сложенному с одними тем же числом,постоян­ным для этой последовательности.

Это число называется разностьюпрогрессии.Арифметическая прогрессия задается своим первым 'iленом и раз­ностью.Любой член арифметической прогрессии можно вычислить по формулеаnгде а n -=а1+член прогрессии с номером- l)d,n,аl -первый член иd -разностьпрогрессии.Эта формула называется формулой общего ЧJtена арифметическойпрогрессии.Доказательство.Возьмем произвольное натуральноеn.Из определе­ния арифмеТИ'iеской прогрессии следуетаn=l+ dan -2+ 2d = ... =al+- l)d.Эта цепочка состоит из 'n равенств, поэтому для любого конечного nона может быть выписана. Следовательно, любой член арифметическойпрогрессии можно вычислить, зная его номер, первыIй член прогрессиии ее ра.1НОС'lЪ.Замечание.Эта формула может быть также доказана методом мате­маТИ'iеской индукции.Определение.Если каждый 'iлен 'iисловой последователт,ности большепредыдущего, то последовательность называется аозрасrnающей; еслименьше предыдущего, то убывающей.АРИфметическая прогрессия, разность которой больше нуля, являетсявозрастающей, Арифметическая прогрессия, разность которой меньше нуля,является убывающей.Это следует непосредственно из определения.4213.Арифметическая прогрессия и ее СВ'IйстваПризнак арифметической прогрессии.Числовая последовательностьявляется арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда каждыйее член,начиная со второго, является средним арифметическим предше­ствующего и последующего членов.Доказательство.прогрессииНеобходимость.Изопределенияарифметическойполучаем, чтоо.п+1-А'"= 0.11.

-А'" - 1 .Выразив из зтого равенства о.n, получим0.",+1А'"+ 0.",-12Это равенство и требовалось доказать. Все преобразования можнопроделатьив обратнуюсторону,поэтомудостаточностьус.IIОВИЯтоже доказана.Если на плоскости изобразить то'fки с координатами (11,; о.п), гденомер, а а'"11, --n-й 'fлен неI<ОТОРОЙ арифмеТИ'fеской прогрессии,то все точки будут лежать на графике линейной функции, задаваемойформулойугде= d( х - 1)+ 0.1= d.х+ (0.1-d),это разность арифметической прогрессии, а 0.1 -d-ее первый'fлен. Это позволяет сделать следующий вывод.Арифметическая прогрессия является линейной функцией, заданной намножестве натуральных чисел.Теорема (формула суммысии).

Сумма11,nпервых членов арифме-tической прогрес­первых членов арифметической прогре<сии равнаSn= (0.1 + 0.",)11,2Доказательство.Запишем сумму 11, первых 'fленов арифмеТИ'fескойпрогрессии511.Y'fTeM,= 0.1 + 0.2 + ... + о.п-1 + а п ·что от перемены мест слагаемых сумма не меняется, поэтомузапишем ЭТУ же сумму в обратном порядке5n= о.п + 0.",-1 + ... + 0.2 + 0.1·Сложим ПО'fленно эти два равенства25",= (0.1 + 0.11.) + (0.2 + а п -1) + ...

+ (а n -1 + 0.2) + (0.11. + 0.1)'Геометрическая прогрессия и ее свойства14.В каждой скобке стоит сумма(an-k + al+k),где43О,k... , n1.Преобразуем ее, используя формулу n-го члепа арифметической про­грессии,(аn-ю+ аню)=- kdТаких скобок в сумме ровно25nn,+ а n ).+ al +следовательно,= (al + аnalТеорема доказана.Следствие.2al5n+2+аn---n.2<=:>n.доказательства выразите а", по формуле общего члена ариф­метической прогрессии и подставьте в полученную формулу для14. S",.ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ И ЕЕ СВОЙСТВА Определеиие.Гео,м,еmрuчесх;ой nрогрессuей называется такая число­вая последовательность, в которой первый член отличен 0'1' нуля, акаждый из носледУюп.\их равен предыдущему, умноженному на некото­рое постоянное для данной последовательности число, не равное нулю.Это 'Число называется зна,м,енаmеле,м, геометрической прогрессии.Замечаиие.В некоторых J.<.нигах условияb1f:.О иqf:.о отсутствуют.Геометрическая прогрессия задается своим первым членом и зна­менателем.Формула общего iчлена ге~метрической прогрессии.Любой член гео­метрической прогрессии можно вычислить по формулеЬnгде tJ n -= b1 .

q"'-l,ЧJlен прогрессии с номеромn, b1первый член иqее знаме­натель.Доказательство.Возьмем произвольное натуральноеn.Из определе­ния геометрич~ской прогрессии следует= b",_lqЭта цепочка состоит изn= bn _ 2q 2 =... = b1qn-l.равенств, поэтому для любого конечногоnона может быть выписана. Следовательно, любой член геометрическойпрогрессии можно вычислить, зная его номер, первый член прогрессиии ее знаменатель.44Геометрическая прогрессия и ее свойства14.Замечание.Этаможет быть также докаЗ(j.на методом мате­матической индукции.Определение.Если !<а,ждый член числовой ПОСJlедовательности большепредыдущего, то пос.rrедовательность называется Ап;"шш:mеслименьше предыдущего, то убывающей.Геометрическая прогрессия является возрастающей, если> О,Ь1ч>1илиЬ1<О,0< q < 1.Геометрическая прогрессия является убывающей, еслиЬ1Доказательство.ду(n+ 1)иО,<q>1или/)1>О, О< q < 1.Используя формулу общего члена, для разнос'Ги меж­n членами геоме'ГРИ'ческой прогресссии получимЬ" =[(ч_ /)IQ,,-1_ 1).возрас'Гающей прогрессии эта.

ра.1НОСТЬ до.rrжна быть положите.rrь­ной: независимо от номера n, а для убывающей -- отрицательной.Условия, выписанные в доказываемом утверждении, как раз и гаран­тируют, что разностьи Ь" будет иметь определенный знак. Теорема доказана. Замечание.Если Q<О, то прогрессия не является ни возрастающеи, ни убывающей, т.