Е.В. Якушева, А.В. Попов, А.Г. Якушев - Математика, страница 11

C- 1 ) = loga ь .сТеорема доказана.Замечание.При ИСПОЛЬЗ0вании формул логарифмасrгепени и логариф­ма частного необходимо следи'гь за изменением области определениялогарима, так же как при ИСПОЛЬЗ0вании логарифма произведения.Теорема (формула перехода к новому основанию).числочто сloga> О,>Ь, т. е. аc:j::.1,О, а :j::.1и Ьсуществуют числаЬ>Пусть существуетО. Тогда для любого числа с такого,logc Ь и logc а и вepfIo равенство=: logcЬ.logc аДоказательство.что а> О, ЬСуществование чисел> О, С>О и с :j::. 1. Отметим, что logc а :j::. Ь, т. К.

число a:j::. 1.Иначе бы число с, возведенное в нулевую сгепень, не равнялось быединице. Поэтому дробь в правой части(7)существует и достаточнодоказать равенствоа) (loga Ь)lo!!. Ь. Справедливость последнего следует И3 цепочки равенств a)!oga bC!ogca.!ogQb==::ЬЬC!ogc b .Теорема доказана..Следствие.Для любых а>О, a:j::.1,Ь> О, с и d:j::. О верна формулаЬ С = ~ log" Ь.Следствие.формулаДля любых а> О, а :j::.1,Ь> О, iJ:j::.1и С> О, c:j::.1верна22.22.6[;Свойства логарифмической функции и ее графикСВОЙСТВА ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙФУНКЦИИ И ЕЕ ГРАФИКОпределение.Логарифмической функцией переменной х по основа­нию а называют отображение, которое числу х ставит в соответствиечисло, равноеlogaх.

Как следует из определения логарифма действи­тельного числа, аргумент х логарифмической функции должен бытьположительным 'IИСЛОМ, а ее основание а должно быть числом поло­жи'гельным и не равным единице.1. Область определения функции. Выражение loga х однозна'rно вычи­сляется для любого положительного действительного числа х и неопределено, если х ~ О. Поэтому область определения логарифмиче­ской функции есть множество всех положительных деl1ствительныхч.исеJI, т.

е.D(loga= (О; +(0).Х)2. Область зна'iений функции.Областьзначенийлогарифмическойфункции совпадает с множеством всех действительных чисел, т. к.уравнениеХlogaу при любом значении у имеет один корень хЗ. Периоди'iНОСТЬ.= аУ.Функция не является периодической, т. к. она опре­делена лишь для положительных зна'-IениI1. переменной.4.Четность илиHe'ieTHocTb.ФУНКЦИЯ не является четной или нечет­т. к. она определена только для положительных чисел.5.ТО"'lки пересечения графика с осями координат.

Графиклогарифми­ч.ескоЙ функции имеет единственную точку пересечения с осью аб­сцисс- точкуныIй корень Х(1; О),поскольку уравнение= 1. Точка нульпоэтому TO'-Iек пересечения6.loga х= О имеет единствен­не принадлежит области определения,с осью ординат нет.Промежутки знакопостоянства функции.

Если а> 1,то значения ло­гарифмической функции отрицательны на промежутке (О;жи'гельны па промежуткеЕсл:и О<а< 1,и поло­то значения логарифмической функции положи­тельны на нромежутке (О;Доказательство.1)(1; +(0).Пусть а1) и отрицательны на промежутке (1; +(0).> 1 их> 1. Докажем, что в этом случаезнач.ения логарифмической функции будут ПОJlOжительными.Х"Предположим ПРОТИВI~ое: пусть существует такое значение X~,> 1, что значение loga Х"y~ неположителыю, т. е. loga X~ ~ О.Применим к обеим 'IaСТЯМ этого неравенства показатеJlЬНУЮ функциюс основанием а> 1.В силу возрастания этой функции получимa 1og • х. ~ а О= 1.22. Свойства логарифмической функции и ее график66сс'Тороны,В СИЛУ основного логарифмического 'ТОЖ1\ествадолжно выполняться нера.венство"ё= Х > 1.Мы получили противоречие, которое означает, что сделанное предпо­ложение певерно.Остальные случаи рассматриваются анаJIOГИЧНО.7.

Наибольшее и наименьшее значения. Логарифмическая функция неимеет наибольшего и наименьшего зна,'lеiIий,т. К" областью значе­ний этой функции ЯВ.IIНЮТСЯ все действительные> 1, то функ­являетсн возра.стающеЙ на всей 06.iI~СТИ определения; < а < 1, то логарифмическан функцин является убывающей 8. Интервалы возрастания и убывания. Если основание ания У= log" хес.IIИ же Она всей области опре1\еления.

Доказательство.Пусть О<<Х1Х2 И а> 1.3на'lения логарифмиче­ской функции в этих Д13ух точках обозначим У1 и У2 соответственно. Из определения JIогарифмической функции следует а У'= .1:1 <Х2аУ'.Из свойства. возрастания показа.тельноЙ функции с основанием а.получаем, что1/1< 112.>1Таким образом, возрастание логарифмической> 1 доказано.< а < 1 рассматриваетсяфункции при аСлучай Оаналогично.9.

Асим птоты. Единственной асимптотойфУНКЦИИ является ось ординат.График логарифмической функции Ilоказан на рис.График функции 11log" .1:22.1.симметричен графику функции УаХотносительно биссектрисы первого координатного угла, т. к. функцииУаХ и 1/loghу.'1:являются взаимноIУа>lу::=!ogaО<а<lIХlL---­-~I \ j---уРис.22.1.Хl oga х23.Свойства функции у= sin х23. СВОЙСТВА Функции Уи ЕЕ ГРАФИК67и ее графикsшхЧтобы определитьуметрических фУJ:tкций,N(a; Ь)окружность с це'fiтром,в нача.ле координ4т, и радиусом, равнымединицеокружность обычно назы­вают «тригономе[rрическим кругом»).,Т(ля любого действительного числахQможно провести радиус О N этого круга,обра.:зующий. с осью Ох угол, радианнаямера которого равна числу(положи­Qтельным считастся поворот против ходачасовой стрелки), см.

рис.конец единичного радиусасовпадает с точкойточкиQQ(a; Ь)Рис.23.1.23.1.ON,соотвеТС'гвующего углу й,окружности; тогда координатыЬ) этойназьшают координатами конца радиуса, соответствующегоуглу (Х, И пишутОпределение.N (а; Ь) .Число,образующего уголQравноеординатеконца единичногорадиуса,с положитеJIЬНЫМ направлением оси Ох, называ­ется сuнусо.м, угла й и обозначаетсяsil1 СХ.Поскольку каждому значению величины угла Q на тригонометри­ческом круге соотвстствует единственная точкаN (а; Ь)такая, чторадиус О N оБР1Qует угол й с осью Ох, то введенное отображениеу1.sil1 Q является функцией.Область определения функции. Так как для любого зна.чсниЯ углаоднозначно ОIIред~лена точка, являющаяся концом соответствующегорадиуса тригонометрического круга, то область определения функцииу =2.sil1 Хмножество действительных чисел.

ПишутОбласть значений функции.uIE(sin)D(sil1)~.[-1; 1]. ,Т(ействительно, орди­uната всякои точки, являющеися концом радиуса тригонометрическогокруга, может принимать лишь зна"Iения на отрезке [-1;1]. С другойстороны, для каждого значения ординаты Ь из этого отрезка можноуказать хотя бы одну точку на окружности, имеющую эту ординату.Следовательно, это значение Ь будет синусом угла, образованного по­ложитеJJЪНЫМ направлением оси Ох и радиусом, соединяющим центрокружности и построенную точку.23.68Свойства функции у8111 ХИ ее графикЗ.

Периоди"lНОСТЬ.Наименьшим положительнымявляется чис.ТIOЗдесь требуется доказать два утверждения.21!'.Сначада докажем, что 'fИСЛОпериодом функцииЯI3ляется периодом функции. По­21!'сколы<у центральный угол, опирающийся на дугу, совпадающую совсей окружностью, равен21!',то точки, соотвеТСТI3ующие углам х,(х:+21!') и (х-21!'), изображаются на тригономеТРИ'iеском кругеи той же точкои, слеДОI3ательно, синусы этих уг"юв равны. Это озна­чает, что ЧИСJЮ21!'действительно является периодом данной функции.докажем, что это наименьший положительный период.

Рас­смотрим значение функции у:::;: 8iп х, равное единице. Оно достигается,только еслиХ=7г"2 + 27ГП,Z.'11Так как эти точки удалены одна от другой на расстояние21!',то,следовательно, никакое число, меньшее 21Г, не может быть периодом4. Четность или He"leTHOCTb. Рассмотрим точки Nющие на тригонометрическом круге углам х и (-х) Поскольку всякийкруг симметричен относительно любой прямой, про~одящей через егоцентр (а ось Ох является такой прямой), и равные по величине углы приN и 1\11 симметричныотносительно оси Ох, следовательно, их ординаты i ПРО'l'ивоположны.симметрии переходят в равные углы, то ТОЧКИЭто означает, что для любого значения х выполненр равенствоsiп( -х)т.

е.5.118111 Х8inх,является нечетной.ТО"lки пересе"lения графика С осями координат. График функции пе­ресекает ось Ох в точках с абсциссами, опредмяемыми уравнением8in х = О<=>График функции пересека.ет осьх7ГП,n Е Z.определяемойв точке сравенствомуSi110<=>УО.б.

Промежутки знакопостоянства функции. Так как ординаты to"-rек,лежащих в верхней полуплоскости, ПOJIOжительны, то8illХ>Опри х Е (21!'П;1!'+, n Е Z.Аналогично, так Kar{ ордина:гы точек, расположеriных в нижней по­луплоскости, отрицательны, тоS111 Х <Опри х Е+ 21!'n;27Г+, h ЕZ.= Sill Х И ее график23. Свойства фУНКЦИИ у697. Наибольшее и наименьшее зна'iения. Наибольшее зна'lение, равное 1,достигается при11"-+2Х-1,наименьшее зна'Iение, равноеХnЕ7т=2Z;достигается при+ 211"11,11 Е Z.8. Интервалы возрастания и убывания. Функция не является монотон­ной на всей области опредеJlения; она является монотонной на отрезках:возрастает при Х Епри[-27т + 211"n; "211" + 27Т11 ] ,11"~~7Т'2+Х2'11 Е Z;n Е Z.+ 211"n J,Докажем, например, возрастание функции на~;.

Для этого'ITOрассмотрим два произвольных различных значения Х1 и Х2 таких,11"7т2 ~ Х1 < Х2 ~ 2Рассмотрим ра:зность значений синусов этих углов•.SШХ1SlIlX2=2Х2. cos+ :1;2Х12разности синусов, которая доказываетсяиспользованав ответе на вопросХ1.2sl1l35.'ITOправая'IaCTbПОJIУ'IСННОГО равеll­так как углы Х1 и Х2 расположеныстваи ВЫПОJlнено неравенство Х17т2 ~Х1 -Х22О<,Х1 -.поэтому< Х2,2Sl1lХ2то<О;аналогично,7т2<Х1+ Х227т<2'поэтомуТем самым доказано, 'ITO из неравенствасовХ1+2 Х2 >.О~ ~ х1<Х2 ~ ~ СJlедуетнеравенствоsinX1т. е. функция уsin хДоказаТeJIЬСТ~О убыванияпроведено анмог i чно.< SiIlX2,на этом промежу'гке.на отрезке:3:r 1 может бытьМонотонност! функции на остальных отрезках следует из ее пе­РИОДИ'IIЮСТИ.70Свойства ФУНКЦИИ у24.= соа х и ее Г:Rафик9.