Е.В. Якушева, А.В. Попов, А.Г. Якушев - Математика, страница 12

Асимптоты. График функции асимптот не имеет.График функции :ч= siп;[; пока:зан на рис.23.2..ухРис.23.2.24. СВОЙСТВА функции Уи ЕЕ ГРАФИКcosx Чтобы определить понятия ТРИГОlIометрическ~х .функциИ, рас­сматривают круг с центром, расположенным в начале координат, ирадиусом, равным единице (это так назывемый тригонометрическийкруг).Для любого действительного числа о: можно провести радиус О Nэтого круга, образующий с осью 0;[; угол, радиан;ная мера которо­го равна ЧИСJlУ о: (положительным считается направление поворотапротив хода часовой стрелки), см. рис.

23.1.Пусть конец единичного радиуса О N, соответств ующего углу 0:,СOlшадает с некоторой точкойЬ) этой точкиQствующего углу 0:, и пишутОпределение.концаQ(a;N(a;J( ОСllНУСО.м, угла.единичногоЬ) окружности; тогда координатыназывают координа.тами конца ра.диуса, соответ­радиуса,Q:Ь).называется число, равное абсциссеобразующегоуголо:сположительнымналраШlением оси Ох. Оно обозначается сов 0:.ПОСКОЛЬКУ каждому значению величины угла о: на тригонометри­ческом круге соответствует единственная точкара.диусONN(a;Ь) така.я, чтообразует угол о: с осью Ох, то введенное отображение:ч := соа О: является ФУНI<циеЙ.1. Область определения функции. Так как для .lIюбqго значения углаоднозначно определена.

точка., являющаяся концом соотвеТСТRующегорадиуса, то об.llасть определения функции уДСЙСТRительных чисеJI. ПишутD( сов)1Ft.сов хмножество24.2.= cos х и ее графикСвойства функции уОбласть значений функции.Е( cos)1; 1]. Действительно,71абсцис­са всякой точки, являющсйся концом радиуса тригонометрическогокруга, может принимать J~ишь значения на отрезке1; 1]. С другойстороны, для каждогозн~ченияабсциссы а из этого отрезка можно,,указать хотя бы ~ДHY точkу на окружности, имеющую эту абсциссу.Следовательно, это значецие а будет косинусом угла, обраэованногоl'положительным Н~1правленrем оси Ох и радиусом, соединяющим центрокружности и построенную точку.,З. Периодичность. НаименЬшим положительным периодом функцииявляется: число 21Г.

Здесь ~ребуется доказать два утверждения.Сначала докажем, что число 21Г является периодом функции. По­скольку центральный угол, опирающийся на дугу, совпадающую совсей окружностью, равен 21Г, то точки, соответствующие углам х,+ 21Г)И (х- 21Г), изображаются на тригонометрическом круге однойи той же точкой, поэтому косинусы этих углов равны и число Т21Гявляется периодом функции.Докажем, что это наименьший положительный период. Рассмосг­рим эначение функции утолько если х21Гn,nЕ= cos х, равное единице.Z. Поскольку расстояниеОно достигается,между этими точ­ками равно 21Г, никакое число, меньшее 21Г, не может быть периодомфункции.4.

Четность или н~четность. Рассмотрим точки N и Л!J, соответству­ющие на тригоно~етрическом круге углам х и (-х). Поскольку всякийкруг симметричен относительно любой прямой, проходящей через егоцентр (а ось Ох является такой прямой), и равные по величине углыпри симметрии переходят в равные углы, то точкиNи М симмесгрич­ны о'гносителыю оси Ох, следовательно, их абсциссы одинаковы. Этоозна<шет, что для любого значения х выполнено равенствосов(-х)т. е.

функция у5.= cosx,= сов х являе'l'СЯ четной.Точки пересечения графика с осями координат. График функции пе­ресекает ось Ох в точках с абсциссами, определяемыми уравнениемcosх=О~х =1г2' + 1Гn,n Е Z.График пересекает ось Оу в точке с ординатой, определяемой равен­ствому= cos О~У= 1.24.72Свойства функции у=COS Х и ее графикб. Промежутки знакопостоянства фУНКЦИИ. Так как абсциссы точек, ле­жа.щих вПОЛУШIOскости, положительны, а точек, расположен­ЩJi:Ы:!UИных В левой ПОЛУШIOСI<ОСТИ, отрицательны, тосовх>Опри Х Е!СОБХ<Опри Х Е7r'2 + 27rk;7r2+ 27rk ),k Е Z;37r! '27r + 27rk; 2"+ 27rk ) , kЕ Z.7. Наибольшее и наименьшее значения.

Наибольшее знач:еllие, равное 1,достигается при Х= 27rn,достигается при Х' .7rnЕ+ 27rn,наименьшее эна'{ение, равное.,'-1,Z.118. Интервалы возрастания и убывания. Функция не является монотон­ной на всей области определения; она является монотонной на о трс..3 К ах:воэрастает при Х Е[7rубывает при Х Е+ 27rn;27r + 27rn] ,7r+,11,ЕЕ Z;11,Z.Докажем, например, убывание функции на отрезкерассмотрим дnа различных значения Х]О ~ Хl<и Х2 тю<их,Х2 ~7r] .этого"1.'1'07r.Рассмотрим разность значений косинусов этих угловсов Х 1COS= -2Х2•Х]Slll2Х2.. 8111Хl2Х2Здесь используется формула разности КОСИНУСОВ, KO'l'0Pa.f! доказыва­ется в ответе на вопрос35.Заметим, что правая часть полученного равенства положительна.Действительно, так как углы Хl и Х2 расположены па отреэкеи Х]< Х2,7r],то1г--2 '"~ХlХ2-< о,поэтому. Хl - Х2Slll2<О;аналогично,О<Xl+ Х22Тем самым доказа.но,неравенство СОБXl><'1'1'01Г,поэтому. а;\Slll+ Х2 > О.2из неравенства О ~ Х 1COS Х2, т.

е. функция у= СОБ Х<Х2 ~ 1г следуетубывает на этомпромежутке.ВОJрастание функции на отрезкеО] следует из ее четности.Для докаэательства возрастания или убывания на. других отреЗI<ахчисловой оси пользуются периодичностью функции.25. Q':войства9. Асимптоты,= tg хфункции уи ее график73l'рафик функции асимптот не имеет. График функции у= cos х показанна рис.24.1. у1х')Рис,Замечание.Так как имеет место равенствоcos х ='1'0 l'рафик функцци уу= sin х24,1,cos х(х +Sillможет быть получен из графикасдвигом его на расстояниеI25.

СВОЙСТВА Функции УИ ЕЕ ГРАФИКОпределение.i) ,влево вдоль оси Ох.=t!:! Х Таrtгенсо.м угла 0', о'-1I+1Гn,nЕназывается число,равное отношению синуса угла о' к косинусу этого угла. ТаШ'енс углаобозначают'1'ак0'.как каждому значению величины угла 0', кроме о'= "21г + 1Гn,n Е Z, можно поставить в соответствие однозначно определенноеtg 0', то это соответствие является функциейзначение уСвойства это~ функции следуют из свойств уже рассмотренныхфункций уsin хи у= СО$ х.!I1. Область опредеfения фу~кции. Функции уДелены при всех ;значениях переменопределена для всех значенийХгде соэ х1г= '2 + 1ГТl,в нуль.= sin хи у=соэ х опре­х, по;:пому функция ух, за исключениемтl Е= tg хTO'IeK7425.=Свойства функции ух и ее график2. Область значений функции.

E(tg) = (-00; +00). Этот факт можетбыть докаэан иэ геометрических соображений (например, с помощьюлинии тангенсов). Однако мы предложим алгебраическое ,л;ока.:затель­ство. Для этого воспольэумся соотношениями между тригонометриче­скими функциями одного угла (см. вопросчисло с Е28).Выберем произвольноеи введем чис.l:!а. а. и Ь по формулам+00)а.=1Оба эти числа лежат на отрезкеьиси для них ВЬШО,JIнено равенство[-1; 1]+ь2= 1.Следовательно, точка. с координатамии СJ!ЩУСОМ некоторогоческам Kp~!гe и эти два числа являютсяугла"а число с-его тангенсом.З. Периодичность,Наименьшимявдяется числоДокажем это. Для любого значеIIИЯ переменной х,11'.периодомфункцииI 1принадлежащего области опредедсния фУНIi::ции, можно записать..ХSШ Х- cosxСОВ хВll1 Хsinxcos х-Sll1---tg(x+sin(x - 11')- 11')tg(xсов(хх.-cosxх,Здесь испольэовались формулы приведения, см.

BO~POC 29, Итак, до­ка.:зано, что число11'есть период ФУНКЦИИ у= tg х. Остается пока:зать,что никакое меньшее положительное число не может быть периодомэтой функции. Рассмотрим такие значения х, чтоtg х равен нулю.Как известно, дробь равна нулю тогда и только тогда, когда, числи­тель равен нулю, а знаменатедь не равен нудю. В данном случаекогда. siп храсстоянии=О1['иди х= 11'n, n Е Z. Так как эти точки находятся наодна от другой, никакое положительное число меньшееФУНКЦИИ.4.Четность или He'ieTHOCTb.любого значениятак как ДЛЯявляется!:'<:;Nl<:;Ш'-VYL Х из области определения выполненоtg(-x)=Вll1 Х-- -использова.ны доказа.нныеи четность фУНКЦИИ уcos Х.cosвыше'tgx.хнечетностьу=sшх25.

Свойства фУНКЦИИ у5.х и ее график=75Точки пересечеl1ИЯ граф~ка с осями координат. График фУНКЦИИ пе­ресекает ось Охtg х;kточках: с абсциссами, определяемыми уравнениемО, т. е. х т 7Гn,график пересекает ось Оу в точке сIE;l),определяемой равенством у= tg О,т.

е. у= О.б. Промежутки ЗНqкопосто~нства функции. Для любого угла х, синус икосинус которого имеют о;циlIaковыIe знаки, тангенс угла х положите­лен, т. е. тангенс уиш положи'гелен для любого угла, расположенногов1и IП чствертях; ана.:1О1·ИЧНО, для любого Уl'ла Х, синус и косинускоторого имсю'!' разные энаки, тангенс отрицателсн, т. е. '!'ангенс углаотрицателен для угла, раСПОJIоженного воtg Х> О при Х(о + 7Гn;Х < О при Х ЕIIиTV+ 7т);,+ 7т; О + 7Гn);7.

Наибольшее и наименьшее значения.чствертях. Итак,nЕ, nIE;ЕIE.не имсет ни наиболь­шего, ни наименьшсго значений, поскольку ее область значений-вседеЙСТ13итсльные числа.8.Интервалы возрастания и убывания. Функция не является монотон­ной на вссй области определения; она возраССl'ает на каждом из интер­валов7г7г-"2 + 7Гn < х <2+ 7Гn,n Е IE.Докажем, напримур, воэрастание функции на промежутке [О; I)' ДЛЯ;)'Гого рассмотрим два разJlИЧНЫХ значения Xl и Х'2 таких, чтоО ~Xl<Х27г< 2'На рассматривасмом интсрвале функция уцияу= cosХvrН.. ТАЙР'Т'0~sjnxl<sinX2<1отку даsinХ возрастает, а функ­поэтомуи0<COSX2<COSXl~1,CJleAyeT0<1COS1Xl< COS Х2Перемножая неравенства одного знака (учитывая, что все сомножИ'гели,'Т'ТУиПй'Т'Р"J......Т', получим искомое неравенствоsin ХlCOS Х)--<sin Х2сов Х2Возрастание функции на промсжутке (-I; о] CJleAyeT из ее нсчетности.76Свойства функции у26.= ct,g х и ее графикМонотонность функции на остальных промежутках следует из еепериодичности.9.Асимптоты.График имеет вертикальные асимптотыхГрафик функции 11=тг= 2 + тгn,n Е Z.х показа.н на рис.25.1.хРис.26.25.1.ctgxСВОЙСТВА Функции Уи ЕЕ ГРАФИКОЩJеДЕ'..J1ение.Коrnангснсо.м, угла а, а=/::1Гn,nЕZ,называется число,равное отношению косинуса угла а к синусу э'гого угла..