Е.В. Якушева, А.В. Попов, А.Г. Якушев - Математика

•МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. М. В. ЛОМОНОСОВАМЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТЕ. В. Якушева, А. В. Попов,А. г. ЯкушевМАТЕМАТИКА••все дnяэкзаменаУчебное пособие ДЛЯ абитуриентов2-е издание,!11,исправленное и дополненное~ УНИВЕРСИТЕТ...........й.-Москва2007УДК 3 73.167.1:51ББК 22.1я729Я49Якушева Е. В.Я49Математика. Всё для экзамена: учебное пособие ДЛЯ аDитури­ентовдоп./Е.

В. Якушева, А. В. Попов, А. Г. Якушев.М. : КДУ,2007. - 208 с.:ISBN 978-5-98227 -328-42-е изд. испр. иил.,Книга содержит теоретический материал, соотвеТQТВУЮЩИИ: курсу об­щеобраэовательноИ: средней школы и программе для поступающих в вузы.Приведены формулировки аксиом и определений; сформулированы и снаб­жены доказательствами теоремы, признаки, свойства и формулы.Пособие предназначено для старшеклассников, готовящихся к вы­пускным или вступительным экзаменам, а также для лиц, занимающихсясамостоятельно.УДК:373.167.1:51ББК 22.1я729ISBN 978-5-98227-328-4© Якушева Е. В., Попов А. В.,Якушец А. Г., 2007© Издательство КДУ, 2007СОДЕРЖАНИЕ6Pd.JIbJ:ibl!:',рациональные и действительные числаДелимость натуральных чисел. Признаки делимости на82,З,4, 5, 9,10иl111 3.Свойства числовых неравенств 18 4.5.Формулы сокращенного умножения 6.Уравнения и неравенства, их совокуmi6сти и системы'21 22 24 Свойства линейной функции и ее график 7. 30квадратного уравнения8.Разложение квадратного трехчлена на линейные множители33 9.Теорема Виета 34 35 10.

Свойства квадратичной функции и ее график11. Свойства функции у12. = k I х и ее график38 Неравенство, связывающее среднее арифметическое и среднее геомеТРИ'iеское двух 'iИсел40 .13. Арифметическая прогрессия и ее свойства14. 15. 16. Геометрич~скr прогрессия и ее свойства17. Свойства' арифметических корней степениМодуль деистчительного числаСвойства41 .. . . . .с натуралыrыми и целыми показателямиn18. Свойства' стененей с рациональными показателями19. Свойства степенrюй ФУНКЦИИ с целым показателем И ее график20. Свойства показательной функции и ее график434748505254 58 21. Свойства логарифмов22.

Свойства логаРИфМИ'iескоii функции и ее график62 65 23. Свойства функции у= sin хи ее график67 24. Свойства фующии у= cos хи ее график70 25. Свойства функции у= tg х и ее график73 = ctg хи ее график76 27. Основное тригонометрическое тождестrю79 28. ТригономеТРИ'iеские функции одного угла80 29. Формулы приведенин82 30. ТригономеТРИ'iеские функции суммы и разности двух углов84 26.

Свойства функции уСодержание431. 1)жгонометрические фУНКЦИИ двойного угла88 32. Тригонометри-qеские функции IlОЛОВИННОГЬ уг.l!а89 33. Выражеш~е тригонометри-qеских функций -qерезTafrreHc . . . . . .половинного угла34. в35. 91суммуПреобразование суммы и раЗНОСТI~ тригонометрических функций в произведение36.

90 Преобразование произведения 'l'ригонометрических функций. . . . . . . . . ..Прсобразование выражения а sin з;вспомогательного+ 1) сов хС ПОМOIlD,Ю введсния93аргумента31. Простейншс тригонометрические уравнения38. СоотношеНИf!, содержаПU1.е обратные тригонометричсскис функщtИ92 94 99 .39. Свойства обратных тригонометрических функций101 40. Основные своиства функциi~105 41. Производнаfl функции. Основные соотношеШif!42. Уравнение43. ПервообраЗНaf! и неопределенный интеграл46.

Треугольник. Свойства равнобе,l\ренпого треугольника41. 48. Признаки равенства треугольников49. Признаки равенства прямоугольных треугольников50. СВОI1:СТВО сере,l\ИННОГО перпендикуляра к отрезку51. Свойство биссектрисы угла52. Теоремы о параллельных прямых па плоскости53. Теорема о сумме внутренних углов треУГО.lIьника54. Теорема о сумме внутренних углов выпуклого многоугольника55.

Свойства и признаки параллелограмма56. Теорема Фалсса51. Свойство СРС,l\ней линии треугольника112 116 117 122 124 125 127 130 132 134 135 136 140 141 142 144 145 58. Свойство средней динии трапеции146 59. Окружность. Свойство касательной к окружности147 60. Теоремы о вписанных149 KacaTe.lIbHOI1:к графику фушщии44.ределенныи интеграл. Формула Ньютона 45. CBOI1:cTBa вертикальных и смежных уг./юв .ЛейбницаВнешшш угол треугольника и его свойство..yrJlax.Содержание561. Теорема об угле, образованном касательной и хордой.62. Теорема об окружности, описанной около треугольника63.

Теорема об окружносги, вписанной в треугольник , ,64, Свойство четырехугольника, вписанного в окружность65. Свойс'гво четырехугольннка, описанного около окружности66. Четыре замечАтельные точки треугольника. 'Теоремы о пере сечении медиан и высот треугольника67,ПреобраЗОllaШ1Я фигур.152153154155156158 симметрии. Преобразованил подобия и их свойства159 68.Признаки подобия треугольников 69.Подобие прямоугольных треУI'ОЛЬНИКОВ 70.Свойство биссектрисы угла треугольника 71. Равенство произведений О'l'резков двух пересекающихся хорд16516917017172. Равенствокасательной произведениюна172ее внешнюю чаС'IЪ73.

Ilропорциональность отрезков в ПРЯМОУГОЛI,ном треугольнике74. 75. Теорема Пифагора. , .............173 175 Формула расстояния на координатной плоскости.176окружности!lлощадей параЛЛ.елограмма, треугольника, трапеции76.77.Теоремы синусов и косинусов для 'l'реугольника 78.Длина окружности 79. Площадь круга80.178182184186аксиомы о взаимном расположении точек, прямыхvIи плоскостеи ~ прострачстве187 81Теоремы о па~аллеЛЬНЫt прямых в пространстве 82.Параллельность прямой ,И плоскости 83.Парадл:ельнос'l'Ь плоскос:геii:.

Признак параллельнос'l'И плоскостейI84. 85.Перпендикулярнос'l'Ь прямой и плоскости86.Перпендикуляр и наклонные. 'Теорема о трех перпендикулярахо скрещиваЮII~rхся прямых.перпендикулярности плоскостей87.88...188190191193196199201об общем перпендикуляре к двум скрещивающимсяпрямымРекомендуемая литература202205ПРЕДИСЛОВИЕВсегда считался непростым тот этап жизни, когда заканчиваетсяшкола (а с нею, видимо, и детство) и надо определять свой дальнейшийпуть. Нынешние времена вовсе не исключение. Помимо проблем, испо­кон веков сопровождавших эти жизненные шаги, сейчас доба.вились иновые. Мы не станем обсуждать социальные, экономические, психоло­гические (и многие другие) аспекты. Мы скажем только о все растущейпропасти между уровнем IШЮЛЬНОГО образования и экзаменационнымитребованиями.Школьные выпускные экзамены и общегосударственное тестиро­вание, которое сейчас внедряется, несомненно являются серьезнымииспытаниями.

Не секрет, что во многих школах весь последний годобучения, по существу, уходит на подготовку к выпускным экзаменам.более трудное испытание-вступительные экзамены в вуз.:Зачисление в вуз производится, как правило, на конкурсной основе.Сейчас налицо всплеск конкурса в вузах.

Для эт@го существует сразунесколько причин. Это, конечно, и вновь возродивший:ся общественныйинтерес к высшему образованию, и сложившаяся де~юграфическая си­туация (в середине 80-х годов прошлого века. отмечi\лся значительныйрост рождаемости) и другие ПРИ'iины. Возросший' конкурс позволя­ет вузам поддерживать высокий уровень требований, преД'ЫIвляемыхк абитуриентам.В этих условиях определяющую роль в успехе на экзаменах поматематике играет серьезная самостоятельная подготовка.

Ее не могутзаменить никакие учителя, репетиторы, видеокурсы (и даже гипноз!).Мы приветствуем тех, кто готов к этой работе, и предлагаем импоработать с этой книгой. В ней содержатся теоретические сведения,соответствующие программе средней общеобразовательной школы, атакже программе для поступающих в вузы.

Мы хотели, чтобы сразувесь курс элементарной математики можно было прочесть в одной,небольшой по объему книжке, а не исследовать в поисках нужной тео­ремы многочисленные тома учебников. Сжатое изложение материала,по мнению авторов, служит хорошим подспорьем в самостояте.IIЬНОЙработе, позволяет быстро находить необходимые сведения.

Книга со­держит определения, формулировки теорем, свойств, признаков. Навсе вопросы даны (насколько это возможно в рамках школьного кур­строгие ответы, отражающие уровень требований, преДЪЯВJlяемыхна экзаменах. Она не является учебником и предназна'iена для само­Предисловие7стоятельной теоретической подготовки к экзаменам по математике:выпускному за курс средней школы и вступительному в университеты,академии и институты.В процессе Р1fботы над этой книгой авторы постарались учестьМНШ'ОЧИСJJенные и суровые замечания и пожелания, высказанные доц.П. И. I1асиченко,О. Ю.доц.