Е.В. Якушева, А.В. Попов, А.Г. Якушев - Математика, страница 3

, O:k~однозначно определенные пеотрица:гелъные показатели степени.Перейдем к рассмотрению признаков делимости чисел. Признакиделимостиэто необходимые и достаточные условия возможностивыполнения операции делениянатуральных 'Iисел нацело.Поэтомуиногда., более строго, эти условия называют х:рumерu,я,м.u делимостиHaTypa.iIbJlblX'Iисел.Для доказательства признаков дедимости будут ИСПОЛhзованы сле­дующие две теоремы.Теоремачиселnl1. Если натуральное число m является деЛI1'телем натуральныхn2, то оно также является и делителем суммы 7),1 + 7),2.иДоказательство.чиселnlи7),2,По определению, есди чисдоm.является деюггедемто сущеСТВУIОТ на.туральные 'Iисда Чl и Ч2 такие, чтоn]=Чl.mиЧ2' т.1<2d.ДЬШdJi эти равенства ПО9Jlенно, получимrll+rq=ql·m+q2·mСдедоватедьно, существует 'Iисло Qnl+ n2Ч1(Ql+ a?l·m.+ Ч2такое,= Q • т"что по определению и оэна'Iает делимость суммыТеорема доказана..'ITOnl+ 7),2на число1n.Делимость натуральных чисел2.Теорема13Если в проиэведении хотя бы один сомножитель делится на2.натуральное число тп, то и произведение делится на т.Доказательство.ПУС'IЪ дано произведение двух чисе.п а= q .

т, где mа· Ь = а· q . т =деJlИ"ГСН на т, то есть ьиq(а·ЕN.. Ь,и число Ь'IЬгла можно записатьq) . т.Следовательно, по определению деJIения натуральных чисел число тнвляе'I'СН деЛИ"l'елем произведения а· Ь.Теорема доказана.Признак делимости на2ральные числа, деJIнщиеся на'fетными, аТеорема.HaTypa.llbHbIe2,а также число О называютсячисла, не деЛЯ1Циеся наНатура,льное число делится на2 тогда2, -нечеТНhIМИ.и только тогда, когда егопоследняя цифра четная.Это значит, что числокогдаel'ON делится на 2 в том и только в том случае,десятичная запись оканчивается одной из цифр о,Доказательство.Любое натуральное числоN2, 4, 6, 8.в деся'I'ИЧНОЙ СИС'I'емесчислсния можно :записа'IЪ в виде разJlожения по степеням ЧИСJlа10IN =где ао-ап.

lpn + an-l . 10n-l + ... + az .102 + al ·10 +цифра единиц 'П!слацифра Десятков, а2N, alсотен и т. д. В этоИ: записи каждое ЧИСJlО ао,одно из значений о,1,2, ... ,9,Перепишем числоNal, ... , an-l, а п принимаетконечно при УСJIОВИИ а"т. е. представимri+ al) + ао,видеNгде обозна'fСНО Аt= О.следующим образом:·10,,-1 + an-l . lOn-2 + ... + а2 .N = 10·ао,= аnlOA+·10 - +а,,_1·10 n - 2 +п1=. .. +а2 ·101 +al, В ао.2) и ПРОИ3ведение lOA деJIИ'I'СЯ на 2.

Поэтому, если число В = ао делится на 2,то по теореме 1 получаем, что ЧИС,'Ю N = 10A + В 'I'акже деJIИТСЯ на 2.С другой стороны, если ЧИС.'10 N делится на 2, то его можнозаписать в виде N = 2· М. IIредставим число В как ВN - 10А.Тогда получим, Ч~l'О В = 2МlOA = 2· (М - 5А) тоже дслится на 2.Так как числоТеорема10,очевидно, делится на2,то (по теореме14Делимость натуральных чисел2.Признак делимости наТеорема.3Натуральное число делится насумма его цифр делится наДока.lательство.С'гепень числатогда и только тогда, когда33. Начнем рассуждения с того, что заметим, что любая10 сIla'гура..тrьным пока:зателем может быть представленаследующим образом: 9 + 1,103 = 1000::: 999 + 1, ...

,102 = 100=99+1,l~= ~+1.10"nnразв результате любое натуральное 'IИслоN = а" . 10'" +0.,,-111.можно представить в виде·10"'- + ... + а2 ·102 ++ 1) + а 11. -lа" . (~Nраз.(~1'1,-1раз+0.2'+ао0.1 •:::+ 1) + ... +раз(99 + 1) +0.1 .(9 + 1) +ао(~ . а" + ~ . а 1 . -l + ... + 99· а2 + 9· а 1 ) +1'1,11.-1разраз+ (а" +а,,-1+ ...

+а2+0.1+т. е. записать как9АN+ В,гдеА~ 'а11. +~nв=0.1'1,раз+11.0.11-11+ ... +'0.11.-1+ ... + 11·а2+0.1+Произведение 9А, очевидно, делится наNделится на:{,3.Поз'гаму, если число В,представить в виде= 3М -9А= 3 . (М ­Но число В и есть сумма цифр исходного 'iисла.доказана.3,то по теореме1N делится на 3, то и число В = N 9АN ::: 3· М и число В можнопоскольку в :этом случаев1'0.1,3.С другои стороны, если числоделится наtао·равное сумме цифр исходного qисла, делится наи ЧИСЛОа2раз2. Делимость натуральных чиселПризнак ДСJШМОСТИ наТеорема.на4154Натуральное число делится на4тогда и только тогда, когдаделится двузн~чное число, составленное из цифр, стоящих в разрядахдесятков и единиц данного числа.Доказательство.Как и при доказатеЛЬСТRе признака делимости нанатуральное числоN = (a~ .

10 n+ а n -1. 10n-+ ... + а2 . 102) + (а] ·10] ++ ... + а2) ·100 + (al. lOn-12 + а -1 . 10 n - ЗnТаким обра:зом, число=а] ·1О"Число100делится на4.. 101 +представлено в видеNN =где В2,пред ставим в видеN100А.+ В,+ ао.делится натогда по теореме4,2и произведениеПоэтому, если число В делится наполучаем, что числоN =100А.+ВС другой стороны, если числозаписать в видеN = 4.ПОJIУЧИМ, что В4М4·1также делится наN делится на4.4, то(Мего можно=NМ. Представим число В как В- 100A.100A.то по теореме4,25А.) тоже деJIИТСЯ на100А..4.Теорема доказана.Признак ДСJШМОСТИ наТеорема.5Натуральное число делится напоследняя цифра либо О, либоДоказательство.5тогда и только тогда, когда его5.Произвольное натуральное ЧИСJIОNзапишем в видеN=lOA.+B,где А.аn·lOn-l+ а n -1 .ЧИСJIО 10А. делится нание+ аlи ВследоватеJlЬНО, по теореме15.Поэтому, если число В=2ао.и произведе­ао делится на 5, то поN = lOA.

+ В также делится на 5.С другой стороны, еСJIИ число N дедится на 5, то его можнозаписать в виде N5 . М. Представим число В как В = N - 10А..Получим, ЧТО В == 5М - 10A. = 5 . (kI - 2А.) тоже делится на 5.lOA.'георемеделится на+ .. . +а2·5,ПОJIучаем, ЧТО числоТеорема дока:зана.2. Делимость натуральных чисел16Признак делимости наТеорема.9Натуральное число делится насумма его цифр делится наДоказательство.делимости нанатуральное числогде" разN,а"+а,,,-I+делится наделится наможно представить в виде9А+В," - 1 разЧисло 9А делится на.числаN+ ~.

0,,-1 + ... + 11 . а2 + 1 . а1,~. а nвтогда и только тогда, когдаКак было показано при доказательстве признака3, JlюбоеNА99.9,... +а2+а1+ао.9.Поэтому, если число В, равное сумме цифрто и сумма 9А+Вд'i'дится па.т. е. число9,N9.С другой стороны, ес.IIИ числоделится наN9,то9М и наN9де.ГfИТСЯ и числов9АN -Таким оьразом, сумма9Мчисла9А-N:;:;:9(Мделится на9.Теорема доказана.Прианак делимости наТеорема.10Натуральное число делится на 10 тогда и только тогда, когдаего последняя цифраДоказат(>..JIЬСТВО.-нуль.Произвольное натура.дыюе числоNзапишем в виде10А+В,NгдеА = О" ·10,,-1Число10A,+ а n.-·10,,-2+ ... + 02очевидно, делится наде.Т(ения исходного числаравно нулю, то числоNNна10делится наС другой стороны, если числоможно записать в видеN = 1011.1N10А10..В=00.СJlедовательно, остаток отравен В.

llоэтому, если чис.1fO В10.Nделится нацело наТаким образом. имеем+В =10М.в силу единственности деления получаем, что ВТеорема. доказана.+а.l,=О.10,то егоI2.Делимость натуральных чиселПризнак деЛ:\fМОСТИ наТеорема.1711Нату~льное число делится натогда и только тогда, когда11разность суммы егф цифр, стоящих на четных местах, и суммы его цифр,стоящих на нечетныIx местах, делится на11.что для всякого натурального зна'iенияДоказательство.kможно записать разложение+ 1 = (10 + 1)- 10 2k -.поэтому всякая нечетная степень 'iисла10 2k + 1 = 11 .где A2k+11+ ' ..

+ 1) =10записывается в виде1,A?k .... 1 -некоторое натуральное 'iисло. Аналоги'iНО,- 1) .1=1) _10 2 (k-2)поэтому всякая четная степень числа10 2k99·10A?k+ ... + 1) = 99.записывается в виде+ 1.Рассмотрим ПРОИЗВОJlьное натуральное ЧИСJIOв виде раз'Jlожения по С'l'епеням 'iислаа n . 10 nN+ а n _1.10 n -1аn .N(99 . А n11 . (9 .N.его10+ ... + а2.для определенности, старшая степеньложение числаN =11 . A 2k +l,+ а 1 ' 1О 1 + ао .n -четная. Тогда раз­можно переписать в виде+ 1) + а n _ 1 ' (11 ' А n -1-. (99·+ 1) + ....,.

+ а2' + 1) + (! 1 . (ll 1) + ао. а n + A ТI - } aТl-l + 9·. а n -2 + ... + 9· (!2 ++ (аl1 + а,,-2 + ... + а2 + ао) ­- (аn-l + а,,-з + ... + аз + а]•в полученном выражении первое слагаемое делится нано, делимость 'iислаNна1111, следователь­11 разностисовпадает с делимостью надвух сумм, стоящих в последних скобках.Теорема доказана.+183.Свойства числовых неравенствСВОЙСТВА ЧИСЛОDЫХ НЕРАВЕНСТВ3.Координатнойназывается прямая, на которой отмеченаточка нуль, указаны положительное направление и отрезок единичнойдлины. Считается, что ВСЯI<ому действительному числу на координат­ной прямой соответствует точка.

Мы будем считать" что положитель­ное направление задано сдева направо. Перемещеникj по координатнойпрямой вправо от точки Ь соответствует прибавление к числу Ь поло­жительного'{исла..любых двух действительных '[исел а и Ь определена операциясра.внения, резу.rtьтатом КОТОРОЙ является одно из трех утверждений:число а больше числа Ь, пишут а1)2)число а равно ЧИСJlУ Ь, пишут а3)число а меньше ЧИОlа Ь, пишут аОпределение.> Ь;= Ь;<Ь.Из двух чисел а и Ь б6льw.u,м, считается то, которому со­ответствует на координатной прямой то'п<а, лежащая правее.

Говорят,что число а равно числу Ь, если им соответствует одна точка.Отметим важные свойства арифметическихтесносвя­:занные с операцией сравнения:1)2)сумма двух положительных чисел положительна;произведение двух ПOJюжительных чисел положительно.Теорема.Число а больше числа Ь тогда и только тогда, когда число (аЬ)больше нуля, и наоборот, число а меньше числа Ь тогда и только тогда, когдачисло (а-Ь) меньше нуля.Доказательство.Воэьмем произвольные числа а и Ь, ДJlЯ определен­ности предположим а.>Ь, т. е.

число а находится правее числа. Ь.IIеремещению по координатной прямой вправо от точки Ь соответ­ствует приба.вление к числу Ь положитеЛЫI~ГО числа.. Значит,а.где с-=Ь+ С,положительное число. Следовательно,о.-Ь=с,Верно и обра.тное. Если а-Т.е.Ь>а.О, то а{I>О.Ь+ с,где с=аЬ>О.Ита.к, чтобы получить иэ числа 1) ЧИСJЮ а, требуеtся сместиться оТО'IКИ Ь вправо по координатной прямоИ. Это И ОЗНfLчает, что а> Ь.Аналогично дока.:зьша.ется вторая ча.сть утверж~ения теоремы.З. Свойства числовых неравенствЗамечание191.