Posobie_k_lektsii__2 (лекции мжг Харитонов pdf)

Пособие к лекции № 2.1. Уравнение неразрывности в интегральной форме.На лекции № 2 была получена интегральная форма уравнения неразрывности:∂ρ ⋅ dW +∂t ∫∫∫W∫∫ ρ ⋅Vn⋅ dS = 0(1)Sгде W - объём контрольного элемента, ограниченного поверхностьюS.Задача 1. Получить основное уравнение расхода несжимаемой жидкости в трубопроводе переменногосечения.Решение: По условию задачи ρ = const и плотность можно вынести за знак интеграла.

Тогда получим:∂∂ρ∂ρρ ⋅ dW =⋅ ∫∫∫ dW =⋅W = 0∫∫∫∂t W∂t W∂t(2)Уравнение неразрывности принимает вид:∫∫ ρ ⋅VnS⋅ dS = 0 ,Или∫∫ ρ ⋅VnS⋅ dS = ρ ∫∫ Vn ⋅ dS = 0S∫∫ Vn⋅ dS = 0S(3)где Vn - нормальная составляющая скорости к поверхности dS .Рассмотрим трубопровод переменного сечения:S . Разобъём контрольнуюповерхность на три области: область S1 - поперечное сечение на входе жидкости в трубопровод, S 2 поперечное сечение на выходе жидкости из трубопровода, S3 - боковая поверхность трубопровода.Выделим пунктиром контрольный элемент W и контрольную поверхностьУравнение (3) можно представить как сумму трёх интегралов:∫∫ VnS⋅ dS = − ∫∫ V1 ⋅ dS +S1∫∫ V2S2⋅ dS +∫∫ V ⋅ dS3= 0(4)S3V1 и нормали к областиS1 противоположны.

В уравнении (4) последнее слагаемое равно нулю, так как скорость V3 равно нулюЗнак минус перед первым интегралом поставлен потому, что направление скорости(стенки трубопровода непроницаемы). В отношении двух других интегралов воспользуемся теоремой осреднем значении интеграла и получим алгебраическое равенство:− V1 ⋅ S1 + V2 ⋅ S2 = 0 или(5)V1 ⋅ S1 = V2 ⋅ S2(6)В уравнении (6) скорости V1 и V2 есть средние значения скоростей в сечениях 1 и 2, площади которыхобозначены соответственно S1 и S 2Задача 2. Получить основное уравнение расхода жидкости в трубопроводе переменного сечения в условияхустановившегося режима течения.ρ1 ⋅V1 ⋅ S1 = ρ2 ⋅ V2 ⋅ S2Ответ:(7)Задача 3. (John J.E. Introduction to fluid mechanics.

N.Y.,1980. p.587)В установившемся режиме работы насоса распределение скорости жидкости во всасывающем патрубке(сечение 1-1) имеет параболический вид:r2V1 = 3 ⋅ (1 − 2 ) ,Rа на выходе из насоса (сечение 2-2) – равномерное распределение скорости:V2 = const .V2 , еслиρ1 = ρ2 ; d1 = 250; d2 = 300 (диаметры указаны в мм, скорость – м/с)Найти скоростьРешение.Для установившегося режима течения жидкости справедливо:∂ρ ⋅ dW = 0∂t ∫∫∫WВыберем контрольную поверхность, как показано пунктиром на рисунке. Стенки патрубков и насосанепроницаемы, следовательно, Vn на боковых поверхностях равна 0. Из уравнения неразрывности получаем:∫∫ ρ ⋅Vn⇒ − ∫∫ ρ1 ⋅ V1 ⋅ dS1 +⋅ dS = 0SS1∫∫ ρ2⋅V2 ⋅ dS2 = 0S2Раскроем подинтегральные выражения и используем равенствоR1r2− ∫ 3 ⋅ (1 − 2 ) ⋅ 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ dr +R10R2∫V2⋅ 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ dr = 0 , где R1 =0(8)ρ1 = ρ2d1d; R2 = 222(9)Выполним интегрирование:3r2⋅ π ⋅ R12 ⋅ (1 − 2 )22R1R10+ V2 ⋅ π ⋅ R22 = 0Отсюда получаем:V2 =3 ⋅ d123 ⋅ 2502== 1, 0422 ⋅ d 222 ⋅ 3002(10)Задача 4.

В установившемся режиме работы насоса распределение скорости жидкости во всасывающемпатрубке имеет вид:V1 = Vmax1 ⋅ (1 −r 2 m11) ,R12а распределение скорости на выходе из насоса имеет видr 2 m12V2 = Vmax 2 ⋅ (1 − 2 )R2R1 = 100, R2 = 80, Vmax1 =1, m1 = 3, 22; m2 = 3, 42Найти максимальную скорость на выходе из насоса Vmax 2Известно:Схема центробежного насоса с одностороннимподводом жидкости на рабочее колесо: 1 — отверстие для подвода жидкости; 2 — рабочее колесо; 3 —корпус; 4 — патрубок для отвода жидкости(продолжение следует).