Lektsia__8_Konspekt (лекции мжг Харитонов pdf), страница 2

Конкретные значения этого коэффициента дляконкретных условийтечения Вы можете найти в книге И.Е.Идельчика (Справочник погидравлическим сопротивлениям».4. Кинематика ламинарного потокаЛаминарным (от лат. lamina — пластинка, полоска) называется ровное, спокойное, слоистоетечение, при котором жидкость или газ перемещается слоями без перемешивания и пульсаций (тоесть без беспорядочных быстрых изменений скорости и давления). Ламинарное течение являетсяустойчивым, так как при случайном возмущении картина течения вскоре восстанавливается.С примером ламинарного течения Вы уже познакомились, наблюдая в лотке Хил Шоутраектории обтекания различных моделей: окрашенные струйки воды медленно и степенно огибалипрепятствия, нигде не пересекая друг друга и не толкаясь, как бы тесно им не было в узких местах.Ламинарное течение является устойчивым до некоторого критического значения числа Рейнольдса,после которого оно переходит в турбулентное.Осборн Рейнольдс (Osborne Reynolds; 1842–1912), английский инженер и физик.

Родился в Белфасте в семье священнослужителя. С 18 лет работал в механической мастерской, поступил в Кембриджский университет, где изучал математику имеханику. Окончил университет в 1867 г. В 1868–1905 гг. —профессор кафедры строительной механики Манчестерскогоуниверситета. С 1888 г. возглавлял Витвортовскую инженерную лабораторию. Работы Рейнольдса посвящены механике,гидродинамике, теплоте, электричеству, магнетизму. В 1883 г.Рейнольдс установил, что ламинарное течение переходит в турбулентное, когда введенная им безразмерная величина (числоРейнольдса) превышает критическое значение.Для течения жидкости внутри круглых труб числоРейнольдса вычисляют по формуле:Re =(27)V ⋅dνгде V - средняя скорость, d - внутренний диаметр трубы, ν - коэффициент кинематическойвязкости.Критическое число Рейнольдса для круглых труб равно 2300.

При числах, меньших 2300,наблюдается устойчивое ламинарное течение.Ламинарное течение внутри круглой трубы изучено очень подробно, основные закономерностиламинарного течения удалось установить аналитически.6Выделим внутри горизонтальной трубы диаметром d = 2 ⋅ r0 соосный цилиндр радиусадлиной l .r иНа выделенный объём жидкости действуютследующие силы:2- в сечении 1-1 сила давления, равная π ⋅ r ⋅ p1 ;всечении2-2силадавления,равная2;π ⋅ r ⋅ p2 ( p2 = p1 − ∆pтр )- вдоль боковой поверхности выделенного цилиндраповерхностная сила сопротивления, вызваннаякасательными напряжениями τ :dV2 ⋅π ⋅ r ⋅ l ⋅ µ ⋅dyгде касательное напряжение τ для ньютоновскойжидкостипрямопропорциональноградиентупоперечной скорости течения:τ = µ⋅dVdy(28)Из уравнения равновесия сил следует:π ⋅ r 2 ⋅ p1 − π ⋅ r 2 ⋅ ( p1 − ∆pтр ) = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ l ⋅τ ⇒ τ =∆pтр2⋅l⋅r(29)Из уравнений (28) и (29) следует:µ⋅∆pтрdV=⋅rdy2⋅l(30)Обратите внимание, что, исходя из рисунка, dy = − dr , и уравнение (30) можно переписать:∆pтрdV= −⋅rdr2⋅ µ ⋅l(31)Интегрируем уравнение (31), полагая, что вдоль стенки трубы ( r = r0 ) скорость равна нулю:∆PтрV =⋅ (r02 − r 2 )(32)4⋅ µ ⋅lМы видим, что распределение скорости в круглом трубопроводе при ламинарном течении имеетпараболический вид, а максимальное значение скорости достигается на оси трубы и равно∆Pтр ⋅ r02Vmax =(33)4⋅ µ ⋅lРаспределение скорости при ламинарном течении в круглой трубе можно выразить и так:r2 V = Vmax ⋅  1 − 2 (34)r0 Используя уравнения (2) и (32), можно вычислить расход в трубопроводе круглого сечения приламинарном режиме:7∆Pтр∆Pтр∆Pтрr0r0 ( r 2 − r 2 )2 Q = ∫⋅ (r − r ) ⋅ dS =⋅ ∫ (r − r ) ⋅ 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ dr =⋅ − 04⋅ µ ⋅l4⋅ µ ⋅l 04⋅ µ ⋅l 20S202202(35)Подставив значения верхнего и нижнего пределов интегрирования получаем уравнениерасхода:∆Pтр ⋅ π 4Q =⋅ r0(36)8⋅ µ ⋅lСреднее значение скорости определим по формулам (1) и (36):∆Pтр ⋅ π 4 1∆Pтр ⋅ r02QVср ==⋅ r0 ⋅=(37)S8⋅ µ ⋅lπ ⋅ r028⋅ µ ⋅lСреднее и максимальное значения скорости отличаются в два раза (см.

формулы (24) и (28):Vmax = 2 ⋅Vср ;Vср = 0.5 ⋅ VmaxВычислим коэффициент Кориолиса для ламинарного режима.уравнения (10,12 и 13).V 3 ⋅ dS∫Eα == S 3EсрVср ⋅ SВ уравнение (30) используем соотношения (38) и (34):(38)Используем для этого(40)3r 2 V⋅1−∫r  max  r02  ⋅ 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ drEα === 23Eср( 0.5 ⋅Vmax ) ⋅ Sr0(41)5. Гидравлические потери при ламинарном течении.

Закон ПуазейляУравнение (27) можно разрешить относительно гидравлических потерь.8⋅ µ ⋅l ⋅Q∆Pтр =(42)π ⋅ r04Полученное выражение получило название закона Пуазейля. Оно позволяет вычислитьгидравлические потери при ламинарном течении жидкости или газа внутри круглого трубопровода(воздуховода).Разделив обе части уравнения (42) на ρ ⋅ g , выразим гидравлические потери в метрах столбарабочей жидкости:∆Pтр8⋅ µ ⋅l ⋅Qhпот ==(43)ρ⋅gπ ⋅ r04 ⋅ ρ ⋅ gПерейдём в уравнении (43) от радиуса r к диаметру d и используем соотношение коэффициентаµдинамической вязкости µ и коэффициента кинематической вязкости ν (ν = ) :ρhпот =128 ⋅ν ⋅ l ⋅ Qπ ⋅ g ⋅d4(44)Перейдём в уравнении (44) от расхода Q к средней скорости V и перегруппируем сомножителив правой части уравнения:8hпот128 ⋅⋅l ⋅ V ⋅ π ⋅ d 2ν l V264 l V 2== 64 ⋅⋅ ⋅=⋅ ⋅π ⋅ g ⋅d4 ⋅4V ⋅d d 2⋅ gRe d 2 ⋅ g(45)Уравнение (45) является частным случаем уравнения Вейсбаха-Дарси, в которомкоэффициент сопротивления трения по длине трубопровода для ламинарного режима равенλ =64Re(46)6.

Турбулентное течение. Кинематика турбулентного потокаТурбулентным течением (или турбулентным режимом течения) называют течение жидкостиили газа с интенсивным перемешиванием жидкости, с пульсацией скоростей и давлений.Турбулентный режим напорного (вынужденного) течения в трубопроводах наступает при числахРейнольдса, превышающих критическое числоРейнольдса. Для круглых трубопроводовкритическое число Рейнольдса равно 2300. Однако, правильнее сказать, что начиная с критическогочисла Рейнольдса, ламинарный режим течения начинает терять устойчивость: то там, то здесь впотоке возникают завихрения, которые могут развиваться и далее, либо исчезать. Чем больше числоРейнольдса превышает критическое значение, тем больше и чаще нарушается спокойноеламинарное течение.

Такое неустойчивое течение наблюдается при числах Рейнольдса от 2300 до4000. Эти границы, конечно, не строги. И всё же можно с уверенностью считать, что при числахРейнольдса свыше 10000 мы можем наблюдать только развитый турбулентный режим.Турбулентный режим по своей сути, со всей очевидностью, является неустановившимсятечением: в любой точке пространства непрерывно изменяется и направление, и величина скоростии давление.И всё-таки в инженерной практике нашёл применение парадоксальный термин«установившийся турбулентный режим». Чтобы почувствовать физическую сущность этоготермина, понаблюдайте некоторое время за какой-нибудь гидравлической системой, внешниевоздействия на которую не меняются в течение Вашего наблюдения.

Например, это может бытьработа системы полива, или водопад, или горная речка с водяной мельницей, или работа системыотопления, работа ветряка на берегу моря и т.д. За время Вашего наблюдения поток жидкостихарактеризуется локальной нестабильностью, шум потока отражает завихрения и перемешиваниежидкости, столкновение струек друг с другом и со стенками трубопровода, летят брызги и т.д. и т.п.Но в целом всё одинаково: и расход жидкости, и средняя скорость, и показания манометров, ипотребляемая насосами мощность, и развиваемая гидравлической турбиной или ветрякоммощность. Опыт показывает, что если внешнее воздействие на турбулентный поток жидкостиостаётся неизменным, то осреднённый во времени турбулентный потокможно считатьустановившимся, так как осреднённые во времени величины скоростей и давлений в каждой точкеостаются неизменными.Итак, модель турбулентного течения, полученная усреднением по времени локальныхпараметров (скоростей и давлений) является установившимся течением.Другими особенностями турбулентного течения являются:- траекториями частиц являются сложные пространственные кривые,- эпюра скоростей имеет более выровненный характер,- касательные напряжения имеют более сложную природу, чем при ламинарном течении:τ турб = τ лам + τ обмена ; τ обмена ? τ лам ; τтурб : Vср2(47)Швейцарскийинженер-гидравликАндерсенобработалбольшоеколичествоэкспериментальных данных по кинематике турбулентного потока в круглых трубах и получилаппроксимационную зависимость вида:9V = Vmax ⋅ (1 −m = 1+где6r 2 m1)R2(48)Re50(49)Вычислим среднюю скорость турбулентного потока:RQ11r 2 m1mVср == ⋅ ∫ V ⋅ dS =⋅V⋅(1−) ⋅ 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ dr =⋅ Vmax2 ∫ max2SS Sπ ⋅R 0Rm +1На рисунке показано распределение скорости в кругломтрубопроводе при одном и том же расходе жидкости (средняяскорость для всех потоков одинакова).Красным цветом выделено параболическое распределениескорости при ламинарном течении.Остальные кривые соответствуют турбулентным течениямс разными числами Рейнольдса : 2300, 10000, 100000 и 1000000.Чем выше число Рейнольдс, тем более пологой является криваяраспределения скорости.График построен мной в Mathcad по формулам (48,49).2.52.52.2521.75V0( r)V1( r)V2( r)1.51.25V3( r)V4( r)(50)10.750.50.2500− 0.56− 0.448− 0.336− 0.56− 0.224− 0.11200.1120.224r0.3360.4480.560.56Вычислим теперь коэффициент Кориолисадля турбулентного течения при условиисправедливости формулы Андерсена.

Используем уравнение (40), (48) и (50)31r2 m V⋅(1−)V⋅dS ⋅ 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ dr∫0  max∫SR2 Eα ===3EсрVср3 ⋅ S m⋅Vmax  ⋅ π ⋅ R 2 m +1R3(51)Выполните интегрирование, подставьте пределы интегрирования и получите следующуюформулу для коэффициента Кориолиса:3m m +1 α = (52) ⋅ m  m+3Некоторые численные значения коэффициента Кориолиса для турбулентного теченияприведены в таблице:Reα23001,19610 0001,15100 0001,0941 000 0001,05510 000 0001,031100 000 0001,017Мы видим, что при больших числах Рейнольдса коэффициент Кориолис можно приближённопринимать равным 1.Конец лекции № 810.