Lektsia__6_Konspekt (лекции мжг Харитонов pdf), страница 2

Более того, эти совпадающие поверхности называютповерхностями уровня трёхчлена Бернулли.Докажите самостоятельно очевидное: теорема Бернулли справедлива и для поверхности тока(вихревой поверхности).3.3. Теорема Бернулли для пространства.Мы видим, что трёхчлен Бернулли сохраняет постоянное значение при условиях теоремыБернулли либо вдоль линии тока, либо вдоль вихревой линии, либо вдоль поверхности тока. Дляразных линий и поверхностей значения трёхчлена Бернулли могут быть разными.

Есть, однако,условия, при которых значение трёхчлена Бернулли одинаково для любой точки потока жидкости.Рассмотрим установившееся движение жидкости, для которого справедливо равенство:(44)rotV × V = 0При движении жидкости равенство (44) может выполняться в двух случаях:1) rotV = 0 - угловая скорость равна нулю, так называемое «безвихревое» движение жидкости, очень важный и распространённый вид движения жидкости в природе;2) rotV V - векторы скорости и угловой скорости совпадают по направлению, а линия токасовпадает с вихревой линией. Это тоже очень важный вид движения жидкости и газа, наблюдаемый,например, при обтекании потоком воздуха или воды элементов крыла или корпуса («свободныевихри», «спутный след»).И в том, и в другом случае уравнение (29) принимает вид:grad (B ) = 0(45)и справедливость теоремы Бернулли для всего пространства становится очевидной.4.

Уравнение Бернулли для идеальной жидкостиРассмотрим движение идеальной жидкости на нашей планете Земля. Ограничимсярассмотрением движения несжимаемой жидкости – жидкости с постоянной плотностью. В этомслучае функция давления будет равна следующему выражению:7pP (p) =∫p0dpp=ρ ( p)ρp=p0p+ constρ(46)Потенциал гравитационных сил на Земле найдём из определения потенциала объёмных сил,см. формулы (18,19):X = 0; Y = 0; Z = −Отсюда∂П= −g∂z(47)Π = g ⋅ z + const(48)Следовательно, на основании теоремы Бернулли можно утверждать, что при установившемсядвижении несжимаемой идеальной жидкости в гравитационном поле Земли трёхчлен Бернуллисохраняет постоянное значение вдоль траектории:V2p+ g ⋅ z + = const(49)2ρИными словами, для двух произвольных точек 1 и 2 одной траектории трёхчлен Бернуллиодинаков:V12p1V22p+ g ⋅ z1 +=+ g ⋅ z2 + 2(50)2ρ2ρгде индексами 1 и 2 отмечены значения физических величин в точках 1 и 2 одной траектории.Уравнение (50) получило название уравнения Бернулли для идеальной несжимаемой жидкости.B =5.

Уравнение Бернулли, физический смысл, интерпретация уравненияРазмерность каждого слагаемого в уравнении (50) равнаДжи совпадает с размерностьюкгудельной массовой механической энергии.2V2м ⋅ м ⋅ кг м ⋅ НДж м- удельная массовая кинетическая энергия, размерность:   = 2==2с ⋅ кгкгкгсg ⋅ z - удельная массовая энергия положения, размерность: м2 ⋅ м = м ⋅2м ⋅ кг = м ⋅ Н = Джсс ⋅ кгкгкг3pН мН ⋅ м Дж- удельная массовая энергия давления, размерность:⋅==2ρм кгкгкгpg ⋅ z + - удельная массовая потенциальная энергия жидкости.ρТаким образом, физический смысл теоремы и уравнения Бернулли можно сформулироватьиными словами: полная удельная массовая механическая энергия жидкости при её движенииостаётся неизменной.Умножим обе части уравнения (50) на плотность жидкости и получим:ρ⋅8V12V2+ ρ ⋅ g ⋅ z1 + p1 = ρ ⋅ 2 + ρ ⋅ g ⋅ z2 + p222(51)Размерность каждого слагаемого в уравнении (51) равна Па и совпадает с размерностьюдавления или удельной объёмной механической энергии.V2ρ⋅2динамическое давление, удельная объёмная кинетическая энергия,2кг  м м ⋅ м ⋅ кг м ⋅ НДж= 3 = 2 3 =3 3м сс ⋅мммρ⋅g⋅z весовое давление, удельная объёмная энергия положения,кг мм ⋅ м ⋅ кг м ⋅ НДж⋅ 2 ⋅м = 2 3 == 3размерность:33м сс ⋅мммp гидромеханическое давление, удельная объёмная энергия давления,НН ⋅ м ДжПа = 2 == 3размерность:мм3мρ ⋅ g ⋅ z + p - удельная объёмная потенциальная энергия жидкости.Таким образом, физический смысл теоремы и уравнения Бернулли можно сформулироватьиными словами: полная удельная объёмная механическая энергия жидкости при её движенииостаётся неизменной.размерность:Разделим обе части уравнения (50) на ускорение земного тяготения:p1V12p2V22z1 ++= z2 ++(52)ρ ⋅ g 2⋅ gρ ⋅ g 2⋅ gРазмерность каждого слагаемого в уравнении (52) равна м и совпадает с размерностью длины(высоты столба жидкости).z pρ⋅gгеометрический напор (геометрическая высота), размерность: мпьезометрический напор (пьезометрическая высота),размерность:V22gПа ⋅ м3 ⋅ с 2Н ⋅ м3 ⋅ с2кг ⋅ м ⋅ м3 ⋅ с2= 2= 2 2=мкг ⋅ мм ⋅ кг ⋅ м с ⋅ м ⋅ кг ⋅ мскоростной напор (динамический напор),22 м сразмерность:  ⋅ =мс мТаким образом, физический смысл теоремы и уравнения Бернулли можно сформулироватьиными словами: при установившемся движении идеальной несжимаемой жидкости вгравитационном поле Земли гидравлический напор H , равный сумме геометрического,пьезометрического и скоростного напоров, сохраняет свою величину вдоль линии тока (траектории)и вдоль вихревой линии.В качестве примера рассмотримдвижение жидкости в трубопроводепостоянного диаметра.9В любом из отмеченных сечений 1-1, 2-2 и 3-3 скорость жидкости одинакова, скоростной напортоже сохраняется постоянным.Геометрические высоты указаны на рисунке.

Полный гидравлический напор Н равен суммескоростного напора, геометрического напора и пьезометрической высоты.Примером практического применения теоремы Бернулли может служить общепринятыйспособ измерения скорости воздуха с помощью трубки Прандтля.Трубка Прандтляустанавливается впоток воздуха так,чтобы лобовоеотверстиедиаметром d былонаправлено строгонавстречу потоку.К измерительномудифференциальномуманометруоттрубкиПрандтляподходятдваканала: от лобовогоотверстия d и отбокового отверстия(щели) S.Применяя уравнение Бернулли к двум сечениям, соответствующим отверстию d и отверстию S, ипринимая геометрическую высоту z для обоих сечений одинаковой, получаемpd Vd2pS VS2+=+(53)ρ2ρ2В этом уравнении скорость Vd равна нулю, а скорость VS равна измеряемой скорости потока.Искомая измеряемая скорость потока определяется по формуле:VS =2 ⋅ ( pd − pS )ρ(54)Попробуйте самостоятельно объяснить с помощью уравнения Бернулли парадокс ДонатаБанки (1909 г.), о котором он написал в инженерно-техническом журнале.10Обычно мы привыкли к тому, что если повышать давление в эластичной, например, резиновойоболочке или шланге, то она расширяется.

Если же давление снаружи эластичной оболочкиповышается, то оболочка сжимается, её размеры уменьшаются. Парадокс Доната Банки заключаетсяв том, что резиновая трубка в его опытах ведёт себя прямо противоположным образом: приповышении давления вокруг неё она расширяется, увеличивается в диаметре, а при снижениидавления – сжимается.Опыт Доната Банки очень прост: в сосуде 6 поддерживается постоянный уровень воды,которая вытекает в атмосферу через жёсткую трубку 1.

Трубка 1 помещена в стеклянную колбу 2, вкоторой она частично заменена резиновой эластичной трубкой 3. Стеклянная колба 3 заполненаводой, а давление снаружи трубок 1 и 3 внутри колбы 2 может меняться с помощью бюретки 4,соединённой с внутренней полостью колбы 2 шлангом 5.Если уменьшать высоту h1 , опуская бюретку, то давление снаружи резиновой трубкиуменьшается, но она , вопреки нашим ожиданиям, сжимается ! И наоборот, стоит поднять бюреткуповыше, поднять давление в колбе 2, как трубка 3 расширяется, увеличивается в диаметре.Конец лекции № 611.