Lektsia__6_Konspekt (лекции мжг Харитонов pdf)

Лекция № 6. Теорема Бернулли.План лекции.1. Уравнение Эйлера динамики идеальной жидкости в форме Громека-Ламба2. Теорема Бернулли для линии тока3. Теорема Бернулли для вихревой линии, поверхности тока, пространства.4. Уравнение Бернулли для идеальной жидкости5. Уравнение Бернулли, физический смысл, интерпретация уравнения1. Уравнение Эйлера динамики идеальной жидкости в форме Громека-ЛамбаГромека Ипполит Степанович (1851 – 1889 ), математик,гидромеханик, выпускник физико-математического факультетаМосковского университета. В возрасте 30 лет защищаетдокторскуюдиссертациюистановитсяпрофессоромКазанского университета по кафедре аналитической механики.Своими трудами Ипполит Степанович заложил основысовременной математической теории капиллярности (1879 г.),исследовал неустановившееся движение вязкой жидкости (1882г.), распространение ударных волн жидкости в упругих трубках(1883 г.), вихревые движения жидкости на поверхности сферы(1885 г.), ряд случаев равновесия идеального газа, механикукровообращения.Н.Е.

Жуковский: «Работы профессора Казанскогоуниверситета Громеки И.С., к сожалению, малоизвестны, амежду тем в них разрешаются многие вопросы гидромеханики.Он дал оригинальное изложение теории капиллярных явлений,исследовал движение вихрей на сфере, исследовал движение капель, движение вязкой жидкости втрубах, причем нашел интересный тип движения жидкости, который он назвал винтовым.Некоторые из теорем об установившемся движении жидкости, обыкновенно приписываемые Ламбу,раньше найдены Громекой».В уравнениях Эйлера динамики идеальной жидкости, полученные на прошлой лекции (см.уравнения 29-31), добавим и вычтем слагаемые, выделенные жирным шрифтом:∂V∂V∂Vx∂V∂V∂V∂V∂V1 ∂p+ Vx ⋅ x + Vy ⋅ x + V y ⋅ y - V y ⋅ y + Vz ⋅ x + Vz ⋅ z - Vz ⋅ z = X − ⋅∂t∂x∂y∂x∂x∂z∂x∂xρ ∂x∂Vy∂V∂V∂V x∂V∂V∂V1 ∂p- V x ⋅ x + Vy ⋅ y + Vz ⋅ y + Vz ⋅ z - Vz ⋅ z = Y − ⋅∂y∂y∂y∂z∂y∂yρ ∂y(2)∂V∂V∂Vz∂V∂V∂V∂V∂V1 ∂p+ Vx ⋅ z + V x ⋅ x - V x ⋅ x + Vy ⋅ z + Vy ⋅ y - Vy ⋅ y + Vz ⋅ z = Z − ⋅∂t∂x∂z∂z∂y∂z∂z∂zρ ∂z(3)∂t+ Vx ⋅∂Vy(1)∂x+Vx ⋅Заметим, что в уравнении (1) присутствуют слагаемыеVx ⋅1∂V∂Vx∂V, Vy ⋅ y и Vz ⋅ z∂x∂x∂x(4),сумма которых может быть представлена в виде:Vx ⋅где∂V∂Vx∂V+ Vy ⋅ y + Vz ⋅ z =∂x∂x∂xV2Vx2V2V2) ∂( y ) ∂( z ) ∂( )2 +2 +2 =2∂x∂x∂x∂x∂(V = Vx2 + Vy2 + Vz2(5),(6)В уравнении (1) разностиVy ⋅∂V∂V ∂V∂Vx− Vy ⋅ y = − Vy ⋅ ( y − x )∂y∂x∂x∂y(7)∂Vx∂V∂V∂V− Vz ⋅ z = Vz ⋅ ( x − z )∂z∂x∂z∂x(8)иVz ⋅представляют собой проекции вектора rotV ×V на ось 0x .

Убедитесь в этом сами:ijk ∂V ∂V   ∂V ∂V   ∂V ∂V rotV ×V =  z − y   x − z   y − x ∂z   ∂z∂x   ∂x∂y  ∂yVxVyVz(9)С учётом сказанного уравнения (1-3) можно записать в следующем виде:V2)2 + V ⋅  ∂Vx − ∂Vz  − V ⋅  ∂Vy − ∂Vx  = X − 1 ⋅ ∂pz y ∂x∂x ∂y ρ ∂x ∂z ∂x(10)V2)2 + V ⋅  ∂Vy − ∂Vx  − V ⋅  ∂Vz − ∂Vy  = Y − 1 ⋅ ∂px z ∂y∂y ∂z ρ ∂y ∂x ∂y(11)∂Vx+∂t∂(∂Vy∂(∂t+V2) ∂V ∂V ∂Vz1 ∂p ∂V ∂V (12)2++ Vy ⋅  z − y  − Vx ⋅  x − z  = Z − ⋅∂t∂z∂z ∂x ρ ∂z ∂z ∂yУравнения динамики идеальной жидкости в виде уравнений (10-12) впервые были полученыИ.С.Громекой и независимо от него английским учёным Г. Ламбом (1879).В векторной форме уравнение Громека-Ламба записывается более компактно:∂(∂VV21+ grad ( ) + rotV × V = F − grad p∂t2ρ2(13)2. Теорема Бернулли для линии токаДании́лБерну́лли(1700 -1782),выдающийсяшвейцарский физиолог и математик, врач по образованию, одиниз создателей кинетической теории газов, гидродинамики иматематической физики.В 1725 году вместе с братом Николаем Бернулли онприехал по приглашению работать в Российскую Академиюнаук, где плодотворно трудился 8 лет.

По признанию многихиностранцев, Российская Академия наук, котораябылаучреждена в 1724 году, уже через несколько лет после еёсоздания по своему оснащению и по уровню научной работыне только не отставала от подобных учреждений Европы, ночасто и превосходила их. Наша Академии наук с самого началасоздавалась государством и находилась на его содержании. Встранах Западной Европы подобные учреждения сами искалисредства для своего существования, в России же по приказуПетра I на содержание Академии выделялась достаточнобольшая по тем временам сумма - 25000 золотых рублей в год, а академики должны были получать"довольное жалованье".

Петр I требовал, чтобы в Российскую Академию были приглашены самыеизвестные ученые Европы.Отправляя своих сыновей Даниила и Николая в Россию, Иоганн Бернулли напутствовал ихследующими словами: "...лучше несколько потерпеть от сурового климата страны льдов, в которойприветствуют муз, чем умереть от голода в стране с умеренным климатом, в которой муз обижают ипрезирают".Даниил Бернулли был очень добрым человеком. Он жертвовал университету, в которомпреподавал, крупные суммы денег, построил дешевую гостиницу для путешествующих студентов,помогал нуждающимся и т.п.

Он был чужд зависти и радовался научным достижениям, полученнымдругими. Научный авторитет Даниила Бернулли был очень высок. Свидетельством этого былоизбрание его членом многих иностранных академий наук (помимо Петербургской) - Берлинской(1747г.), Парижской (1748г.), Лондонского королевского общества (1750г.).

До последних днейжизни он занимался научной деятельностьюВ 1738 году Даниил Бернулли написал книгу «Гидродинамика или записки о силах идвижении жидкости». По его словам повод для написания этой книги дало постановлениеРоссийской Академии наук, в котором «первых профессоров, собравшихся для её создания, обязалии затем определённо побуждали, чтобы они писали рассуждения на какую-нибудь полезную и,насколько возможно, новую тему. Теория о силах и движениях жидкостей не является нибесполезной, ни тривиальной». В этой книге Даниил Бернулли доказал теорему, которую мы сейчасформулируем следующим образом:«При установившемся баротропном движении идеальной жидкости под действиемпотенциальных объёмных сил сумма кинетической энергии единицы массы, функции давленияи приведенного к единице массы потенциала объёмных сил сохраняет вдоль линии тока(траектории) постоянное значение»Познакомимся с терминологией.Установившимся движением жидкости, или установившимся режимом движения жидкости,называют движение жидкости, при котором за весь период наблюдения в каждой точкенаблюдаемого пространства все физические величины остаются неизменными.

С математическойточки зрения это означает, что частные производные по времени от физических величин, например,скорости , равны нулю:∂Vy∂V∂V∂V(14)= 0 ( x = 0;= 0; z = 0)∂t∂t∂t∂t3Баротропным движением называют движение жидкости, при котором плотность являетсяфункцией только давления. Примером такого движения может служить движение жидкости спостоянной плотностью:ρ = const(15)или изотермическое движение идеального газа:pρ =R ⋅Tили политропный процесс движения газа:ρ = const ⋅ p n(16)(17)Потенциальными объёмными (массовыми) силами называют силы, действующие впотенциальном поле объёмных сил, то-есть в таком силовом поле, для которого существуетпотенциал – скалярная функция П, удовлетворяющая условию:(18)F = − gradП∂П∂П∂ПX = −; Y = −; Z = −то-есть :(19)∂x∂y∂zПод функцией давления P (p) понимают скалярную функцию, определяемую формулой:pP (p) =dp∫ ρ ( p)(20)p0Следует учитывать, что функция давления – это функция одного переменного – давления,которое в свою очередь является функцией координат, и в установившемся движении не зависит отвремени.

Далее будут полезны следующие соотношения (убедитесь в их справедливостисамостоятельно):Градиент функции давления – это вектор: ∂P ( p ) ∂P ( p ) ∂P ( p) grad P ( p ) ;;(21)∂y∂z  ∂x∂P ( p )d P ( p ) ∂p ∂P ( p)d P ( p ) ∂p ∂P ( p )d P ( p ) ∂p=⋅ ;=⋅ ;=⋅(22)∂xdp∂x∂ydp∂y∂zdp∂zpd P ( p)d  dp 1=∫ =(23)dpdp  p0 ρ ( p) ρ ( p)1grad P ( p ) = ⋅ grad p(24)ρКинетическая энергия E единицы массы жидкости равнаV2(25)E =2Подставим в уравнение (13) соотношения (18) и (24) и используем правило сложениявекторов: при сложении векторов их координаты (компоненты) складываются.∂VV2+ grad ( ) + rotV × V = − gradП − grad P (p )(26)∂t2∂VV2(27)+ grad (+ Π + P ( p ) ) + rotV ×V = 0∂t2Сумму трёх слагаемых в круглых скобках называют трёхчленом Бернулли и обозначаютбуквой B :V2(28)B =+ Π + P ( p)24Таким образом, уравнения Эйлера динамики идеальной жидкости в форме Громека-Ламбаможно представить в следующем виде:∂V(29)+ grad (B ) + rotV × V = 0∂tДокажем теорему Бернулли, используя уравнение (29).

В установившемся движениижидкости уравнение (29) упрощается: первое слагаемое в левой части уравнения равно нулю.Умножим обе части уравнения скалярно на вектор скорости V :(30)(V ⋅ grad (B )) + (V ⋅ rotV × V ) = 0Второе слагаемое левой части уравнения (30) равно нулю: векторное произведение rotV × Vесть вектор, перпендикулярный вектору скорости V , а скалярное произведение двух взаимноперпендикулярных векторов равно нулю. Поэтому можно утверждать, что(31)V ⋅ grad (B ) = 0Поделим обе части равенства (31) на модуль вектора скорости и заметим,что компонентывектораV Vx Vy Vz (32) ; ; V V V V представляют собой отношения отрезков, пройденных частицей жидкости за время dt внаправлении координатных осей, к длине пути, пройденногоэтой частицей жидкости внаправлении вектора скорости, то-есть, вдоль линии тока:V dtVxV dtdx Vydy VzV dtdz(33)= x⋅=;= y⋅=;= z⋅=VV dtdS VV dtdS VV dtdSРаскроем скалярное произведение (31) с учётом (32,33), пользуясь одним из правил еговычисления :∂B dx ∂B dy ∂B dz⋅+⋅+⋅= 0(34)∂x dS∂y dS∂z dSЛевая часть выражения (34) представляет собой производную от функции B понаправлению, совпадающему с направлением вектора скорости, то-есть вдоль линии токаdB∂B dx ∂B dy ∂B dz=⋅+⋅+⋅= 0(35)dS∂x dS∂y dS∂z dSОтсюда следует, что вдоль линии тока трёхчлен Бернулли B сохраняет своё значениепостоянным.

Таким образом, теорема Бернулли доказана:вдоль линии токаB =V2+ Π + P ( p ) = const2(36)3. Теорема Бернулли для вихревой линии, поверхности тока, пространства.3.1. Теорема Бернулли для вихревой линии.В отличие от линии тока, которая в установившемся движении жидкости совпадает страекторией и может быть выделена в потоке жидкости краской, мельчайшими метками (например,крупинками алюминиевой пудры), и сохранена в результатах экспериментльных наблюденийвижде фото или видео, вихревая линия – это воображаемая линия, которую нельзя увидеть, нельзявизуализировать в реальном движении жидкости.

Даже в торнадо и водоворотах мы видим5траектории, а вихревые линии можем лишь вычислить и нарисовать. Тем не менее, вихревая линия- это объективная реальность. Через каждую точку пространства проходит воображаемая вихреваялиния, и длина элементарного отрезка dl вдоль прямой, касательной к вихревой линии вконкретной точке пространства, прямо пропорциональна dt ⋅ rotV : dt ⋅ ω .Умножим обе части уравнения (29) скалярно на ротор вектора скорости:(rotV ⋅ grad (B )) + (rotV ⋅ rotV × V ) = 0(37)Заметим, что скалярное произведение двух взаимно перпендикулярных векторов равно нулю:(rotV ⋅ rotV × V ) = 0Поэтому можно утверждать, чтоrotV ⋅ grad (B ) = 0(38)(39)Поделим обе части равенства (39) на модуль ротора вектора скорости и заметим,чтокомпоненты вектораrotV  ω x ω y ω z (39) ; ; rotV  ω ω ω представляют собой отношения отрезков, пропорциональных по величине dt и ориентированныхсоответственно в направлении координатных осей и вдоль касательной прямой к вихревой линии:ωyω y dtωxω dtdxdyωzωz dtdz= x ⋅ =;=⋅=;=⋅=вдольвдольωω dtdl вдольωω dtdl вихревойωω dtdl вихревойвихревойлиниилинии(40)линииРаскроем скалярное произведение (39) с учётом (39,40), пользуясь одним из правил еговычисления :∂B dx ∂B dy ∂B dz⋅+⋅+⋅= 0 вдоль(41)вихревой∂x dl∂y dl∂z dlлинииЛевая часть выражения (41) представляет собой производную от функции B понаправлению, совпадающему с направлением вектора угловой скорости, то-есть вдоль вихревойлинии :dB∂B dx ∂B dy ∂B dz=⋅+⋅+⋅= 0(42)dl∂x dl∂y dl∂z dlОтсюда следует, что вдоль вихревой линии трёхчлен Бернулли B сохраняет своё значениепостоянным.

Таким образом, теорема Бернулли доказана и для вихревой линии:вдоль вихревой линииB =V2+ Π + P ( p ) = const2(43)3.2. Теорема Бернулли для поверхности тока (вихревой поверхности).Выделимтраекторию,проходящуючерезпроизвольную точку пространства, и проведём черезмножество точек этой траектории вихревые линии. Придостаточно большом числе вихревых линий онисформируют вихревую поверхность.Вычислимипостроимвихревуюлинию,проходящую через произвольную точку пространства, и6проведём через множество точек этой вихревой линии ещё и линии тока. При достаточно большомчисле линий тока они сформируют поверхность тока.Очевидно, что поверхность тока и вихревая поверхность, имеющие хотя бы одну общуюточку пространства, совпадают в целом.