Lektsia__3_Konspekt (лекции мжг Харитонов pdf), страница 2

Получим основное уравнение гидростатикииз дифференциальных уравнений Эйлера для покоящейся жидкости.Для этого рассмотрим равновесие жидкости вгравитационном поле Земли. Поместим начало координат вцентр тяготения Земли и рассмотрим точку M ( x, y , z ) впокоящейся жидкости на поверхности Земли. Силатяготения действует по радиусу по направлению к центрутяготения, проекции массовой силы на оси координатравны:X = − g ⋅ cos αY = − g ⋅ cos βZ = − g ⋅ cos γ5(29)(30)(31)Уравнения Эйлера примут вид:1 ∂p⋅ρ ∂x1 ∂p− g ⋅ cos β = ⋅ρ ∂y1 ∂p− g ⋅ cos γ = ⋅ρ ∂z− g ⋅ cos α =(32)(33)(34)Введём замену переменныхr = x 2 + y 2 + z 2 и вычислим частные производные в уравнениях(32-34):∂p∂p2x∂p xdp=⋅=⋅ =⋅ cos α(35)222∂x∂r 2 x + y + z∂r rdr∂p∂p2y∂p ydp=⋅=⋅ =⋅ cos β(36)∂y∂r 2 x 2 + y 2 + z 2∂r rdr∂p∂p2z∂p zdp=⋅=⋅ =⋅ cos γ(37)∂z∂r 2 x 2 + y 2 + z 2∂r rdrПосле подстановки получаем три одинаковых обыкновенных дифференциальных уравнения,которые интегрируем при следующих граничных условиях:dp= −ρ⋅gdrприr = r0 ( x = x0 , y = y0 , z = z0 )p( r0 ) = p0(38)После интегрирования и определения постоянной интегрирования получаем:p = − ρ ⋅ g ⋅ r + constp0 = − ρ ⋅ g ⋅ r0 + constconst = p0 + ρ ⋅ g ⋅ r0(39)(40)p = p0 + ρ ⋅ g ⋅ (r0 − r )(41)Уравнение (41) и есть основное уравнение гидростатики.

Оно справедливо и для жидкости, идля газа, например, воздушного пространства Земли. Очень часто удобно и допустимо заменятьразность радиусов (r0 − r ) разностью координат по вертикали h = ( z0 − z ) . В этих случаяхосновное уравнение гидростатики применяется в виде:p = p0 + ρ ⋅ g ⋅ ( z0 − z )(42)p = p0 + ρ ⋅ g ⋅ hСвободной поверхностью жидкости называют поверхность раздела между жидкостью игазовой средой, например, между водой в сосуде или в море и атмосферным воздухом. Докажитесамостоятельно, что разность давлений в точках A( rA ) и B (rB ) , лежащих под свободнойповерхностью на различной глубине, можно вычислить по формуле:p A − pB = ρ ⋅ g ⋅ (rB − rA )(43)Умножим три уравнения Эйлера (25,26,27) соответственно на dx, dy, dz и сложим:61 ∂p∂p ∂p⋅ ( dx + dy dz )ρ ∂x∂y ∂zстоит выражение полногоX ⋅ dx + Y ⋅ dy + Z ⋅ dz =В правой части уравнениягидростатического давления :(44)(44)дифференциалаот1⋅ dp(45)ρВыражение (45) называют Пфаффовой формой уравнений гидростатики.

С его помощьюудобно отыскать поверхности постоянного давления – изобары.p = const , dp = 0 иДействительно, вдоль поверхности постоянного давленияуравнение (45) принимает вид:X ⋅ dx + Y ⋅ dy + Z ⋅ dz = 0(46)Равенство (46) можно рассматривать как скалярное произведение двух векторов: векторарезультирующей массовой силы F { X ; Y ; Z } и вектора перемещений, лежащего в касательнойX ⋅ dx + Y ⋅ dy + Z ⋅ dz =dl { dx, dy, dz} .

Равенствоплоскости к поверхности постоянного давления в данной точкескалярного произведения двух векторов нулю означает, что эти векторы ортогональны.Следовательно,вектор результирующей массовой силы нормален к поверхности постоянного давления.4.Гидростатическое давление, гидростатический напор, вакуум, пьезометрическая высота идругие понятия гидростатики.Эпюра давления, абсолютное и избыточное давление. Пренебрегая кривизной свободнойповерхности, воспользуемся формулой (42):p = p0 + ρ ⋅ g ⋅ h и построим график распределениядавления по высоте (глубине погружения отсвободной поверхности).Полное давление,отсчитываемое от абсолютного вакуума, называетсяабсолютным давлением.Именноегоследуетиспользоватьвтермодинамических формулах и диаграммах.Превышениеабсолютногодавлениянадатмосферным называют избыточным давлением,это давление часто измеряют с помощью наиболеераспространённыхпружинныхманометров.Поскольку атмосферное давление меняется вшироких пределах в зависимости от погоды и места измерения, для точного определенияабсолютного давления приходится измерять не только избыточное давление с помощьюманометра, но и барометрическое давление с помощью барометра (анероида).Гидростатический напор и пьезометрическая высота.Раскроем уравнение (42) и запишем его в следующем виде: p + ρ ⋅ g ⋅ z = p0 + ρ ⋅ g ⋅ z0ppz+= z0 + 0 = H = constПоделим обе части равенства на ρ ⋅ g :(47)ρ⋅gρ⋅gВеличина H называется гидростатическим напором.

Гидростатический напор складывается изpдвух величин: геометрического напора z и пьезометрической высотыρ⋅gПьезометрическую высоту можно измерить с помощью пьезометра. Пьезометр представляетсобой вертикальную трубку малого диаметра (несколько миллиметров), которая одним концомсоединяется с сосудом, в котором измеряется давление, а другой конец открыт в атмосферу.7Пьезометрической высотой называетсяразностьвысотмеждууровнемжидкости в пьезометре и нижнейточкой его присоединения к сосуду. Влабораторнойпрактикепьезометробычно изготавливают либо полностьюстеклянным или в месте наблюдения зауровнем жидкости.

Геометрическоеместо уровней в пьезометре называютпьезометрической плоскостью илипьезометрической линией.Вакуум и предельная глубина всасывания.Рассмотрим эпюру давления в трубке Торричелли.Верхняя «пустая» часть трубки Торричеллизаполнена насыщенными парами жидкости, давлениездесь равно pн.п.В нижней части трубки, на уровне свободнойповерхности в сосуде, давление равно атмосферному.Давление по высоте трубки внутри неё меняетсялинейнымобразом,оставаясьменьшиматмосферного. На рисунке показано абсолютноедавление в произвольном среднем сечении трубки:pатм = pабс + VПоложительная разность между атмосфернымдавлением и абсолютным давлением называется вгидравлике вакуумом и обозначается V .В криогенике, в космических технологиях, под вакуумом принято понимать другое - остаточноедавление (абсолютное давление) и измерять его в торах (мм.рт.столба).8Свободное пространство в трубке Торричелли(1643 г.) шокировало всех учёных и грамотных людей XVIIвека.«Природа не терпит пустоты !» - эти словапринадлежат Аристотелю, великому мыслителю, учёному,ученику Платона, учителю Александра Македонского,непререкаемому авторитету.Аристотель (384-322 до н.э.) был первым учёным,создавшим всестороннюю систему философии.

Аристотельохватил почти все доступные для его времени отраслизнания. Аристотель дал науке и образованию чрезвычайномного полезного. Но у него были и ошибки, заблуждения,о которых никто и не подозревал до поры, до времени.Например, Аристотель считал, что определяющимфактором в плавании тел является их форма. АргументыАристотеля: свинцовый шарик тонет в воде, а тот жесвинцовый шарик, раскатанный в тончайший лист, плаваетна поверхности воды.Итак, по Аристотелю в трубке Торричелли не должно быть пустоты, но тогда, что же там ?И этот вопрос возник лишь спустя 2000 лет после Аристотеля !Вопрос не был праздным или чисто теоретическим: во дворце герцога Медичи во Флоренциипускали фонтаны, но вода, вопреки Аристотелю, не поднималась по всасывающей трубе насосавыше 10,3 м.

Обратились за помощью к Галилею. Ученики Галилео Галилея будущие знаменитыеучёные Торричелли и Вивиани, а затем и Блез Паскаль во Франции решили эту проблему.Применим основное уравнение гидростатики дляопределения предельной глубины всасывания насоса:pатм = pн .п . + ρ ⋅ g ⋅ hпред ,где pн.п. - давление насыщенных паров откачиваемойжидкости, hпред - предельная глубина всасывания.pатм − pн .п.ρ⋅gНесложные вычисления показывают, что предельнаяглубина всасывания для воды близка к 10 м, а для ртути –к 760 мм рт. столба.hпред =Докажите самостоятельно с помощью основного уравнения гидростатики (доказательство отпротивного):1. В сообщающихся сосудах жидкость устанавливается на одном уровне.2. Поверхность раздела несмешивающихся жидкостей различной плотности естьгоризонтальная плоскость (в общем случае – сфера с центром, совпадающим с центромтяготения Земли).Конец лекции № 39.