Lektsia__3_Konspekt (лекции мжг Харитонов pdf)

Лекция № 3. Уравнение динамики жидкости «в напряжениях».Водопады Игуасу на границеБразилии и Аргентины расположенына реке Игуасу шириной 2,7 км, воданизвергается с двух базальтовыхступеней общей высотой более 70 м.Этот водопад на 20 м выше и в двараза шире Ниагарского водопада.Игуасу – каскад из 275 водопадов,разделенных скалами, покрытымитропической растительностью. Весьпоток сбрасывает вниз 1800 куб. м.воды в секунду. На моём фотокрупнейший водопад Игуасу «Горло Дьявола» — U-образныйобрыв шириной 150 и длиной 700метров. Земля гудит и подрагиваетот грохота. Голос водопада слышенза 20-25 км.План лекции.1. Уравнение динамики жидкости "в напряжениях"2.

Уравнение Эйлера для покоящейся жидкости.3. Основное уравнение гидростатики, поверхности постоянного давления4. Гидростатическое давление, гидростатический напор, вакуум, пьезометрическая высота1. . Уравнение динамики жидкости "в напряжениях"Теория гидродинамики развивалась эволюционным путём: от простого к сложному, отчастного к общему. Можно сказать, что уравнение динамики жидкости начинает свою историю отвторого закона Ньютона:(1)m⋅a = FЕсли мы отнесём это уравнение к единице объёма и выразим ускорение через скорость, тоуравнение (1) можно записать в виде:dV1= ⋅F(2)dtρгде F - результирующая внешняя сила, отнесённая к единице объёма.Уравнение движения идеальной жидкости (жидкости, лишённой вязкости) впервыеполучил Леонард Эйлер. Когда Вы познакомитесь с уравнением Эйлера, вспомните уравнение (2).Уравнения движения вязкой жидкости впервые получил французский учёный и инженерАнри Навье.

Для этого ему потребовалось ввести тензор напряжений, то есть учесть не тольконормальные силы, но и касательные силы давления жидкости. В правую часть уравнения Навьеввёл дополнительный член, ответственный за проявление вязкости.Нам удобнее не повторять историю гидродинамики, а применить принцип «от общего кчастному». Мы познакомимся с выводом наиболее общего уравнения движения жидкости,известного под названием «уравнение динамики жидкости «в напряжениях», а из него в качествечастных случаев, получим уравнения Эйлера для покоящейся жидкости, уравнения Эйлерадвижения идеальной жидкости, уравнение Эйлера в форме Громеко-Ламбе, уравнение НавьеСтокса1Вывод уравнения динамики жидкости «в напряжениях» выполним, используя теорему обизменении главного вектора количества движения.Применительно к механике жидкости и газа эта теорема формулируется следующимобразом:производная по времени от главного вектора количества движения жидкости вобъёме контрольного элемента равна главному вектору внешних объёмных иповерхностных сил, приложенных соответственно к частицам контрольногоэлемента внутри него и на ограничивающей его поверхности.dK = FW + F S(3)dtЗдесь K - главный вектор количества движения, F W - главный вектор внешних объёмных сил,F S - главный вектор поверхностных сил.Анри Навье (1785—1836) — французский инженер и учёный.В 1802 году Навье поступил в политехническую школу, а в1804 продолжил свое обучение в Национальной школе мостови дорог, которую закончил в 1806 году.

Он руководилстроительством мостов в городах Франции, а также построилпешеходный мост на Остров Сите в Париже, был главныминспектором в Корпусе мостов и дорог. В 1824 году Навьепринят во Французскую Академию наук. В 1830 зачислен надолжность профессора в Национальной школе мостов и дорог,а в следующем году сменил на посту профессора математики имеханики Коши в Политехнической школе.

Автор ряда трудовпо строительной механике, сопротивлению материалов, теорииупругости, гидравлике и гидромеханике. Автор курсасопротивления материалов. Навье сформулировал теориюупругости в математическом виде (1821 г.), сделав еёпригодной для применения в строительстве с достаточнойточностью. Его основной вклад (1822) – уравнение движениявязкой жидкости, играющее ключевую роль в гидродинамике (уравнение Навье-Стокса).Вывод уравнения динамики жидкости «в напряжениях».Выделим в потоке жидкости контрольный элемент жидкости произвольных размеров иформы, находящийся под действием внешних объёмных сил (например, сил гравитации) и поддействием поверхностных сил (сил давления жидкости на поверхности контрольного элемента состороны внешних частиц жидкости).Главный вектор количества движенияW,жидкости в объёмеограниченномповерхностью S , может быть вычисленследующим образом:K = ∫∫∫ ρ ⋅ V ⋅ dWГлавный вектор объёмныхWсил F W в объёмеW:FW =∫∫∫ ρ ⋅ F ⋅ dWWГлавный вектор поверхностных силS:действующих на поверхностиF S = ∫∫ P n ⋅ dSS2FS ,Подставив выражения K , F W и F S в уравнение (3), получим:dρ ⋅ V ⋅ dW = ∫∫∫ ρ ⋅ F ⋅ dW + ∫∫ P n ⋅ dS(4)dt ∫∫∫WWSПреобразуем левую часть уравнения (4), помня о том , что:- результат вычисления производной по времени от пространственного интеграла не зависит отпоследовательности действий – знак производной можно внести под знак интеграла;- производная по времени от массы контрольного элемента равна нулю – масса ( ρ ⋅ dW ) остаётсянеизменной в течение всего периода наблюдений.dddVddVρ ⋅ V ⋅ dW = ∫∫∫ ( ρ ⋅ V ) ⋅ dW = ∫∫∫ ρ ⋅⋅ dW + ∫∫∫ V ⋅ ( ρ ⋅ dW ) = ∫∫∫ ρ ⋅⋅ dW(5)∫∫∫dt WdtdtdtdtWWWWВоспользуемся уравнением (32) из конспекта лекции № 2P n = P x ⋅ cos α + P y ⋅ cos β + Pz ⋅ cos γи подставим это выражение во второй интеграл правой части уравнения (4).применим формулу Остроградского (см.

уравнение (21) из конспекта лекции № 2) :∂ P y ∂ Pz+) ⋅ dW(6)∂y∂zSSWОбъединим пространственные интегралы в уравнениях (4,5,6) и перенесём их в левую частьуравнения:∫∫ Pn⋅ dS =∫∫ ( Px⋅ cos α + P y ⋅ cos β + Pz ⋅ cos γ ) ⋅ dS =∂PxПосле этого∫∫∫ ( ∂x+∂ P x ∂ P y ∂ Pz−−) ⋅ dW = 0(7)∂x∂y∂zWВ силу произвольности выбора формы и размеров контрольного элемента W , то-есть всилу произвольности области интегрирования, равенство пространственного интеграла (7) нулюозначает равенство нулю подинтегральной функции всюду в этой области. Отсюда мы получаемуравнение динамики жидкости «в напряжениях»:dV∫∫∫ ( ρ ⋅ dtρ⋅−ρ⋅F −dV∂ P x ∂ P y ∂ Pz= ρ ⋅F +++dt∂x∂y∂z(8)Другие формы представления этого уравнения:dV1dV1= F + ⋅ divP n= F + ⋅∇ P nили(9)dtρdtρВ дальнейшем нам потребуется развёрнутая форма уравнения динамики жидкости «внапряжениях» в проекциях на оси координат.

Воспользуемся для этого уравнениями (18) излекции № 1dV ( x, y , z , t ) ∂V ∂V dx ∂V dy ∂V dz ∂V∂V∂V∂V=+⋅ +⋅ +⋅=+ Vx ⋅+ Vy ⋅+ Vz ⋅(10)dt∂t ∂x dt ∂y dt ∂z dt∂t∂x∂y∂zЗдесь через Vx , Vy , Vz обозначены проекции вектора скорости V { Vx ;Vy ;Vz } на оси координат,причём,dxdydzVx =; Vy =; Vz =(11)dtdtdtа результирующий вектор объёмных сил F имеет проекции на оси координат X , Yи Z :F { X ;Y ; Z}3С учётом сделанных замечаний уравнение динамики жидкости «в напряжениях» впроекциях на оси координат представим в виде:∂P∂Vx∂V∂V∂V∂P1 ∂P+ Vx ⋅ x + Vy ⋅ x + Vz ⋅ x = X + ⋅ ( xx + yx + zx )∂t∂x∂y∂zρ ∂x∂y∂z∂Vy∂P∂P1 ∂Pxy⋅(+ yy + zy )ρ ∂x∂y∂z(13)∂P∂Vz∂V∂V∂V1 ∂P∂P+ Vx ⋅ z + Vy ⋅ z + Vz ⋅ z = Z + ⋅ ( xz + yz + zz )∂t∂x∂y∂zρ ∂x∂y∂z(14)∂t+ Vx ⋅∂Vy∂x+ Vy ⋅∂Vy∂y+ Vz ⋅∂Vy(12)∂z=Y +Уравнение динамики жидкости «в напряжениях» вместе с уравнением неразрывностисоставляют основу математической модели механики жидкости.2.

Уравнение Эйлера для покоящейся жидкости.Мы переходим к большому и важному разделу «Гидростатика». Для покоящейся жидкости(газа) уравнения, которые мы получили, чрезвычайно упрощаются. Анализ этих уравнений дляслучая, когда скорость равна нулю, даёт впечатляющие результаты. Заметим, что до сих пор мы неиспользовали ни одного экспериментального факта, и не рассматривали свойств конкретнойжидкости или газа.Вспомним, что мы ограничились рассмотрением только ньютоновских жидкостей. В такихжидкостях касательные напряжения прямо пропорциональны скоростям угловых деформаций, илиградиенту скорости.

В покоящейся текучей ньютоновской жидкости скорости, а следовательно, иугловые деформации и градиенты скорости равны нулю. Следовательно, равны нулю ипропорциональные им величины – касательные напряжения:Pxy = 0; Pxz = 0; Pyx = 0; Pyz = 0; Pzx = 0; Pzy = 0(15)В силу этого обстоятельства уравнение (29) лекции № 2P nx = P xx ⋅ cos α + P yx ⋅ cos β + Pzx ⋅ cos γпримет следующий вид:(16)P nx = P xx ⋅ cos αС другой стороны проекция вектора напряжения P n на ось 0х может быть вычислена и другимпутём:(17)P nx = P n ⋅ cos αСледовательно,(18)P xx = P n и P xx = P nАналогичными рассуждениями, используя уравнения (15), можно получить:P yy = P n и P yy = P nP zz = P n иP zz = P n(19)(20)Отсюда следует закон, открытый Блезом Паскалем в XVII веке:три нормальных напряжения, приложенные к трём взаимно перпендикулярнымплощадкам, произвольно ориентированным в пространстве, равны по величине.Значение нормальных напряжений в конкретной точке покоящейся жидкости, взятое сознаком минус, называют гидростатическим давлением в этой точке (или просто давлением) иобозначают буквой p :P xx = P yy = P zz = − p(21)4Знак минус подчёркивает, что нормальное напряжение направлено внутрь объёма жидкости,в сторону, прямо противоположную внешней нормали:(22)Pn = − p ⋅ nГидростатическое давление является скалярной функцией трёх переменных – координат:ρ = ρ ( x, y, z ) , измеряется в Па (Н/м2).Тензор напряжения покоящейся жидкости принимает вид:−p 000 −p 0(23)00 −pПерейдём к выводу дифференциальных уравнений Эйлера для покоящейся жидкости.

Дляэтого воспользуемся уравнением (8) и следующими значениями векторов в покоящейсяжидкости:V { 0;0;0)}F { X ;Y ; Z}P x { − p;0;0}(24)P y { 0; − p;0)}P z { 0;0; − p}После подстановки получаем дифференциальное уравнение Эйлера для покоящейсяжидкости:1 ∂p⋅ρ ∂x1 ∂pY = ⋅ρ ∂y1 ∂pZ = ⋅ρ ∂zX =(25)(26)(27)Векторная форма этих уравнений:F =1⋅ grad pρ(28)3. Основное уравнение гидростатики, поверхности постоянного давленияОсновным уравнением гидростатики называют закон распределения гидростатическогодавления в покоящейся жидкости на планете Земля.