Lektsia__15_Konspekt (лекции мжг Харитонов pdf)

Лекция № 15. Уравнение Навье-СтоксаПлан лекции1. Гипотеза Стокса2. Уравнение Навье-Стокса, концепция вывода3. Уравнение Навье-Стокса для изотермического течения несжимаемой жидкости4. Уравнение Навье-Стокса в безразмерном виде. Числа и критерии подобия.1. Гипотеза СтоксаЗакон трения Стокса или обобщённый закон Ньютона обычно применяют в следующемвиде:∂Vy ∂Vz∂Vx∂V+ λ ⋅( x ++)∂x∂x∂y∂z∂V∂V∂V∂V= − p + 2⋅ µ ⋅ y + λ ⋅( x + y + z )∂y∂x∂y∂z∂Vy ∂Vz∂V∂V= − p + 2⋅ µ ⋅ z + λ ⋅( x ++)∂z∂x∂y∂z ∂V ∂V = p yx = µ ⋅  y + x ∂y  ∂x ∂V ∂V = pzy = µ ⋅  y + z ∂y  ∂zpxx = − p + 2 ⋅ µ ⋅(1)p yy(2)pzzpxyp yz ∂V ∂V pxz = pzx = µ ⋅  z + x ∂z  ∂x(3)(4)(5)(6)Если применять закон трения Стокса для жидкостей и газов, для которых дивергенциявектора скорости не равна тождественно нулю, то возникает серьёзная проблема: каковфизический смысл коэффициента λ ? Как его определить ? Более ста лет эти вопросы оставалисьбез ответа.

Сейчас, в эпоху высоких скоростей, сверхзвуковых полётов, многое прояснилось, хотяважные вопросы, связанные с коэффициентом λ , включая терминологию, продолжаютобсуждаться в научных кругах.Чаще всего коэффициент λ называют второй вязкостью или объёмной вязкостью. Втораявязкость проявляется в сжимаемых средах и характеризует превращение механической энергии втепловую при объёмных деформациях.

Коэффициент λ ответственен за интенсивностьпоглощения звуковых колебаний, и для определения его используют экспериментальные данныепо поглощению и дисперсии звука. Величина λ зависит от температуры и давления, в жидкостяхона больше, чем в газах, на 1—3 порядка.Стокс был первым, кто рассмотрел проблему второй вязкости. Он в совершенстве зналтеорию упругости и гидродинамику и обладал научной интуицией.Он первым связалλкоэффициентс особенностями распространения звука. В своих выводах он опирался и нааналогию теории упругости и гидродинамики, и на свои физические представления.

И всё же егогипотеза, чрезвычайно востребованная временем, была скорее гениальной догадкой, нежелинаучно обоснованным результатом.В 1845 году Джордж Стокс опубликовал свою гипотезу: коэффициент λ жёстко связан сдинамической вязкостью µ соотношением:23⋅ λ + 2⋅ µ = 0λ = − ⋅µ(7)31Гипотеза Стокса в громадном количестве практических ситуаций оправдана, иподтверждается опытом, хотя существует и множество ситуаций, когда она не верна, или несовсем точна.В случае подтверждения гипотезы Стокса закон трения Стокса становится применимым идля несжимаемых, и для сжимаемых жидкостей и газов в следующем виде.2 ∂Vpxx = − p + µ ⋅  2 ⋅ x − ⋅ divV 3 ∂x ∂V2p yy = − p + µ ⋅  2 ⋅ y − ⋅ divV 3 ∂y2 ∂Vpzz = − p + µ ⋅  2 ⋅ z − ⋅ divV 3 ∂z ∂V ∂V pxy = p yx = µ ⋅  y + x ∂y  ∂x ∂V ∂V p yz = pzy = µ ⋅  y + z ∂y  ∂z ∂V ∂V pxz = pzx = µ ⋅  z + x ∂z  ∂x(8)(9)(10)(11)(12)(13)Именно в этом виде, с учётом гипотезы Стокса, мы используем закон трения Стокса привыводе уравнения Навье-Стокса.2.

Уравнение Навье-Стокса, концепция выводаИсходными уравнениями для вывода уравнения Навье-Стокса являются уравнениядинамики в напряжениях и закон трения Стокса. Концепция вывода проста: достаточноподставить в уравнения движения соотношения закона трения, который связывает компонентытензора напряжений со скоростями деформаций. В результате из уравнений движения исчезнутчастные производные от нормальных и касательных напряжений, и число неизвестных величинрезко сократится.Вспомним, как выглядят уравнения динамики в напряжениях в проекции на оси координат:∂PdVx∂P1 ∂P= X + ⋅ ( xx + yx + zx )dtρ ∂x∂y∂zdVy∂P∂P1 ∂P= Y + ⋅ ( xy + yy + zy )dtρ ∂x∂y∂z∂PdVz1 ∂P∂P= Z + ⋅ ( xz + yz + zz )dtρ ∂x∂y∂z2(14)(15)(16)Подставим уравнения (8-13) в уравнения (14-16) и получим уравнения Навье- Стокса.:∂V ∂V  1 ∂ dVx∂V 21 ∂p 1 ∂ ∂V ∂V  1 ∂ = X − ⋅ + ⋅  µ ⋅ (2 ⋅ x − ⋅ divV )  + ⋅  µ ⋅ ( y + x )  + ⋅  µ ⋅ ( z + x )  (17)dtρ ∂x ρ ∂x ∂x 3∂x∂y  ρ ∂z ∂x∂z  ρ ∂y dVy∂V ∂V  1 ∂ ∂V 2 1 ∂ 1 ∂p 1 ∂ ∂V ∂V = Y − ⋅ + ⋅  µ ⋅ ( y + x )  + ⋅  µ ⋅ (2 ⋅ y − ⋅ divV )  + ⋅  µ ⋅ ( z + y )  (18)dtρ ∂y ρ ∂x ∂x∂y  ρ ∂y ∂y 3∂y∂z  ρ ∂z ∂V ∂V  1 ∂ dVz1 ∂p 1 ∂ ∂V ∂V  1 ∂ ∂V 2= Z − ⋅ + ⋅  µ ⋅ ( z + x )  + ⋅  µ ⋅ ( y + z )  + ⋅  µ ⋅ (2 ⋅ z − ⋅ divV )  (19)dtρ ∂z ρ ∂x ∂x∂z  ρ ∂y ∂z∂y  ρ ∂z ∂z 3В этих уравнениях коэффициент динамической вязкости, которая в общем случае, зависитот температуры и давления, является в неизотермических течениях жидкости и газа функциейчетырёх переменных ( x , y , z , t ) и не может быть вынесен за знак производной.

Но визотермических течениях, в силу слабой зависимости динамической вязкости от давления, еёможно считать постоянной величиной и вынести за знак производной. В этом случае обычнозаменяют частное от деления динамической вязкости µ на плотность ρ коэффициентомкинематической вязкости ν , м2/с:µν =(20)ρ3. Уравнение Навье-Стокса для изотермического течения жидкостиПолагаякоэффициент µуравнении (17):постоянной величиной, выполним дифференцирование в∂ 2VydVx∂ 2Vx 2∂2V∂2 V1 ∂p∂∂ 2Vz= X − ⋅ + 2 ⋅ v ⋅ 2 − ⋅ν ⋅divV + v ⋅+ v ⋅ 2x + v ⋅+ v ⋅ 2x(21)dtρ ∂x∂x3∂x∂y ⋅ ∂x∂y∂z ⋅ ∂x∂zили ∂ 2V ∂ 2V ∂ 2V  2dVx1 ∂p∂∂= X − ⋅ + v ⋅  2x + 2x + 2x  − ⋅ν ⋅divV + v ⋅divV(22)dtρ ∂x∂y∂z  3∂x∂x ∂xИспользуем обозначение дифференциального оператора Лапласа (лапласиан, оператор дельта)∂ 2Vx ∂ 2Vx ∂ 2Vx∆ 2Vx =++ 2(23)∂x 2 ∂y 2∂zОкончательная форма уравнения:dVx1 ∂p1∂= X − ⋅ + v ⋅ ∆ 2Vx + ⋅ν ⋅divV(24)dtρ ∂x3∂xВыполним аналогичные действия с уравнением (18) :dVy∂ 2V∂2 V 2∂2 V∂ 2Vx1 ∂p∂∂ 2Vz= Y − ⋅ + v ⋅ 2y + v ⋅+ 2 ⋅ v ⋅ 2y − ⋅ν ⋅divV + v ⋅+ v ⋅ 2y(21)dtρ ∂y∂x∂x ⋅ ∂y∂y3∂y∂z ⋅ ∂y∂zили ∂ 2Vy ∂ 2Vy ∂ 2Vy  2dVy1 ∂p∂∂= Y − ⋅ + v ⋅  2 + 2 + 2  − ⋅ν ⋅divV + v ⋅divV(22)dtρ ∂y∂y∂z  3∂y∂y ∂x()()(()()Окончательная форма уравнения в проекции на ось 0 y :dVy1 ∂p1∂= Y − ⋅ + v ⋅ ∆ 2Vy + ⋅ν ⋅divVdtρ ∂y3∂y(3()()))(23)И ещё раз выполним аналогичные действия с уравнением (19)∂ 2Vy∂ 2VxdVz1 ∂p∂ 2Vz∂2 V∂2 V 2∂=Z − ⋅ +v⋅ 2 +v⋅+v⋅+ v ⋅ 2z + 2 ⋅ v ⋅ 2z − ⋅ν ⋅divVdtρ ∂y∂x∂x ⋅ ∂z∂y ⋅ ∂z∂y∂z3∂zили ∂ 2V ∂ 2V ∂ 2V  2dVz1 ∂p∂∂= Z − ⋅ + v ⋅  2z + 2z + 2z  − ⋅ν ⋅divV + v ⋅divVdtρ ∂z∂y∂z  3∂z∂z ∂xОкончательная форма уравнения в проекции на ось 0z :dVz1 ∂p1∂= Z − ⋅ + v ⋅ ∆ 2Vz + ⋅ν ⋅divVdtρ ∂z3∂zВекторная форма записи уравнения Навье-Стокса для изотермического течения:(()(()))dV11= F − ⋅ grad ( p) + ν ⋅ ∆ 2V + ⋅ν ⋅ grad (divV )dtρ3(24)(25)(26)(27)Уравнение Навье –Стокса для изотермического течения несжимаемой жидкости.Вы уже знаете, что для несжимаемой жидкости дивергенция вектора скорости равна нулю.Уравнение Навье-Стокса для изотермического течения несжимаемой жидкости ещё болееупростится:dV1= F − ⋅ grad ( p) + ν ⋅ ∆ 2V(28)dtρИли в проекциях на оси координат: ∂ 2V ∂ 2V ∂ 2V dVx1 ∂p= X − ⋅ + v ⋅  2x + 2x + 2x (29)dtρ ∂x∂y∂z  ∂x ∂ 2Vy ∂ 2Vy ∂ 2Vy1 ∂p=Y − ⋅ + v ⋅ 2 + 2 + 2 ∂xdtρ ∂y∂y∂z222∂ V ∂ V ∂ V dVz1 ∂p= Z − ⋅ + v ⋅  2z + 2z + 2z dtρ ∂z∂y∂z  ∂xdVy4.(30)(31)Уравнение Навье-Стокса в безразмерном виде.

Числа и критерии подобия.Рассмотрим в качестве примера уравнение Навье-Стокса в проекции на ось 0x (29): ∂ 2V ∂ 2V ∂ 2V ∂Vx∂V∂V∂V1 ∂p+ Vx ⋅ x + Vy ⋅ x + Vz ⋅ x = X − ⋅ + v ⋅  2x + 2x + 2x (32)∂t∂x∂y∂zρ ∂x∂y∂z  ∂xВведём относительные, безразмерные величины следующим образомVVVV%x = x , V%y = y , V%z = z , где V - характерная скорость ;VVVxyzx% = , y% = , z% =, где L - характерный размер, например, диаметр;LLLX % Y %ZX% =, Y =, Z =, где F0 - характерная массовая сила, например, g , Н/кг (33)F0F0F0pp% =, где p0 - характерное давление, например, атмосферное,p0tt% =, где T - характерное время, например, период колебаний.T4Заметим, что справедливы соотношения типа :∂Vx V ∂V%x ∂ 2VxV ∂ 2V%x= ⋅;= 2⋅ 2∂tT ∂t%∂x 2L ∂x%Перейдём в уравнении (32) к относительным величинам:(34)p ∂p% v ⋅ V  ∂ 2V% ∂ 2V% ∂2V% V ∂V%x V 2 % ∂V%x % ∂V%x % ∂V%x⋅+⋅ (Vx ⋅+ Vy ⋅+ Vz ⋅) = F0 ⋅ X% − 0 ⋅ + 2 ⋅  2x + 2x + 2x (35)T ∂t%L∂x%∂y%∂z%ρ ⋅ L ∂x% L  ∂x%∂y%∂z% Все члены этого уравнения имеют одну и ту же размерность, в данном случае, м/с2 (Н/кг) .Каждый член этого уравнения представляет собой произведение двух комплексов величин:- относительных, безразмерных величин:∂V%x  % ∂V%x % ∂V%x % ∂V%x  % ∂p%  ∂ 2V%x ∂ 2V%x ∂ 2V%x ,  Vx ⋅+ Vy ⋅+ Vz ⋅, ++ 2 (36), X ,∂t% ∂x%∂y%∂z% ∂x%  ∂x% 2 ∂y% 2∂z% - размерных коэффициентов; в данном случае размерность коэффициентов м/с2 (Н/кг):p0 v ⋅VV V2,, F0 ,,(37)T Lρ ⋅ L L2Очень важно отметить, что размерность каждого коэффициента одна и та же.Следовательно, если мы поделим всё уравнение на один из этих коэффициентов, то получимV2уравнение в безразмерном виде.

Разделим уравнение на коэффициент:L∂V%∂V%∂V%F ⋅LpL ∂V%x∂p%v  ∂ 2V%x ∂ 2V%x ∂2V%x ⋅+ (V%x ⋅ x + V%y ⋅ x + V%z ⋅ x ) = 0 2 ⋅ X% − 0 2 ⋅ +⋅++ 2  (38)V ⋅ T ∂t%∂x%∂y%∂z%Vρ ⋅ V ∂x% V ⋅ L  ∂x%2 ∂y%2∂z% Введём общепринятые обозначения:∂V%∂V%∂V%∂V%1∂p% 1  ∂ 2V%x ∂ 2V%x ∂ 2V%x Sh ⋅ x + (V%x ⋅ x + V%y ⋅ x + V%z ⋅ x ) = ⋅ X% − Eu ⋅ +⋅++ 2 (39)∂t%∂x%∂y%∂z%Fr∂x% Re  ∂x% 2 ∂y% 2∂z% Мы получили очень важную форму уравнения Навье-Стокса - уравнение в безразмерномвиде, коэффициентами которого являются степенные безразмерные комплексы физическихвеличин, определяющих все закономерности движения жидкости и газа.

Коэффициентыуравнения (по-другому, числа и критерии подобия), названы в честь имени учёных, внёсшихсвоими работами основной вклад в изучение процессов, связанных с данным безразмернымкомплексом.Число Струхала Sh ( или Sr , St )– безразмерный параметр, равный отношению характерногоLвременидвижения частиц к характерному времени T нестационарного процесса.VL(40)Sh =V ⋅TЧисло Струхала - один из критериевподобия нестационарных течений жидкостей игазов, характеризующий постоянство протеканияпроцессов во времени.