Диссертация (Численный метод расчета пологих оболочек на динамические воздействия), страница 4

процессприменения МКЭ не зависит от указанных параметров);20г) при использовании МКЭ нет необходимости составлять и решатьдифференциальные уравнения;д) расчет сводится к действиям над матрицами (что крайне удобно впроцессе использования ЭВМ);е) матрица коэффициентов для разрешающей системы алгебраическихуравнений симметрична и обладает ленточной структурой.ЭтидостоинстваМКЭ(методаконечныхэлементов)иявлялисьпредпосылками такого широкого использования метода в расчетах строительныхконструкций.Однако надо иметь в виду, что этот метод удобен в применении, еслирешаемая задача может быть рассчитана готовым программным комплексом,разработанным на основании алгоритмов МКЭ.

Если же рассматриваемаяпроблема новая, то недостаточная точность при малом шаге разбиения,трудоемкость алгоритма и сложность метода являются предпосылкой кприменению других известных численных методик.1.2.2. МПА - Метод последовательных аппроксимацийВ [86] показано, что метод последовательных аппроксимаций (МПА) имееттри формы: дифференциальную, интегральную и разностную.1.2.2.1. МПА в дифференциальной или интегральной формеМетодпоследовательныхаппроксимацийвдифференциальнойиинтегральной формах является развитием трудов Смирнова А.Ф.

и АлександроваА.В.21Смирнов А.Ф. в трудах [224-226] изложил способ численного решениядифференциальных уравнений в частных производных, названный им методоминтегрирующихматриц.Идяпредложенногометодазаключаласьвинтегрировании дифференциальных уравнений при помощи числовой матрицы(интегрирующей). Эта матрица позволяла выражать младшие производные черезстаршие.

Для построения интегральной матрицы Смирнов А.Ф. производилаппроксимацию функции по всему интервалу, а аппроксимирующие кривыестроил при помощи интерполяционных полиномов Лагранжа. Развитием этогометода занимались Вахитов М.Б. [70-72], Габбасов Р.Ф. [80, 81, 85, 86],Лащеников Б.Я. [152-154] и др.Аналогичным образом, используя полиномы Лагранжа, Александров А.В.

в[16] разработал метод дифференцирующих матриц. В основе метода – построениематрицы дифференцирования, которая при последовательном применениипозволяет переводить функцию в ее первую производную, а младшиепроизводные – в старшие. Разработанная методика хорошо себя зарекомендовала,так как была более гибкой с точки зрения учета краевых условий, а такжеблагодаря сравнительно высокой точности. Развитием этого метода занималисьГаббасов Р.Ф. [81, 86], Смирнов В.А.

[228-230] и др.Поскольку указанным методом решение дифференциального уравнениясводится к решению матричного, Габбасов Р.Ф. в [81] предложил условноеназвание «метода последовательных аппроксимаций (МПА) в матричной форме».Суть его заключается в том, что некоторой функцией аппроксимируют функциюисходную (относительно которой записано дифференциальное уравнение) или еепроизводные, причем значения аппроксимирующего полинома выражаются череззначения функции в узлах, а полином (того же порядка), аппроксимирующийпроизводную искомой функции, выражается через узловые значения этойпроизводной.

Затем ее интегрируют или дифференцируют, получая основныеформулывзависимостидифференцирующихотматриц),выбранноготемсамымметодасвязывая(интегрирующихзначенияилимладших22производныхилисамойаппроксимирующейфункциисостаршимипроизводными или значения старших производных с младшими. В работе [154] вкачестве аппроксимирующего полинома рассматривались тригонометрическиеполиномы, в исследовании [114] – полиномы Чебышева, в трудах [17, 152, 153,224 и др.] – интерполяционные полиномы Лагранжа, в трудах [42, 45, 70-72] –кусочно-полиномиальные функции.Таким образом, метод, основы которого были заложены Смирновым А.Ф.

в1958г. и Александровым А.В. в 1961г., нашел свое применение, в том числе, и вработах Смирнова В.А. [228] 1978г., где показано его применение к расчетупластин на динамические нагрузки, а также в работах Габбасова Р.Ф. [85] в 1976г.и Шрамко В.В. [269] в 1979г., где он был применен для расчета оболочек. В этихже работах была подтверждена высокая точность указанного метода (придостаточно небольшом количестве разбиений).Заметим, что использование в качестве аппроксимирующих полиномовтригонометрическихполиномов,атакжеполиномовЧебышевазаметноусложняет получение матриц интегрирования / дифференцирования, даже еслишаг сетки постоянный.

Эти недостатки были рассмотрены в трудах [44, 46, 52, 7072], где был предложен способ их устранения в виде использования «скользящихпарабол» для построения матриц интегрирования. В этом случае матрицы прощеформируются и имеют много нулевых элементов. Однако поскольку алгоритмрасчета достаточно сложен, особенно если рассматривать его применительно кзадачам с разрывами, то описываемый способ используется, в основном, длярешения одномерных задач.Надо отметить также, что, несмотря на сравнительно высокую точностьрешения краевых задач теории упругости, использование для аппроксимацийполиномов Лагранжа при сравнительно малом числе разбиений, тоже вызываетопределенные затруднения:а) получение при переменном шаге разбиения матриц интегрирования /дифференцирования довольное трудоемкое и громоздкое;23б) при изменении шага разбиения, а, соответственно, количества участковрассматриваемой конструкции, необходимо получать матрицы интегрирования /дифференцирования заново;в) получаемые матрицы интегрирования / дифференцирования полностьюзаполнены;г) если интерполируемая функция недостаточно гладкая [154], полиномЛагранжа выше шестой степени значительно отклоняется от нее, поэтому егоприменение нецелесообразно на грубой сетке [152].Более простой, но в то же время обладающий высокой точностью, а такжеприводящий к сходящимся решениям способ – последовательная аппроксимацияфункции и ее производных кусочно-полиномиальными функциями (сплайнами)или функциями, обобщающими понятие сплайн.

Теория сплайнов быларазработана во многих трудах ученых-математиков, а также в трудах [13, 67, 124,231, 234]. Свое применение в инженерных трудах эта теория нашла в [62, 73, 137,207, 263, 264, 269 и др.]. Вероятно, первое использование сплайна применительнок задачам строительной механики отражено в [227], хотя термин этот там неупотребляется.В трудах [86, 269] изложено применение кусочно-полиномиальныхфункций (сплайнов) для построения матриц интегрирования к решениюдвумерных задач теории упругости и строительной механики.

В указанныхработах рассматриваются претерпевающие конечные разрывы искомая функция иее производные, а построение матриц интегрирования / дифференцированиявыполнено с учетом этого факта. Также в [86, 269] для учета конечных разрывовна границах смежных участков при построении матриц дифференцирования былииспользованы функции, обобщающие понятие сплайн. Их применение оказалосьболее удобным, что отражено в указанных выше работах.Однако заметим, что для решения практических задач следует обратитьвнимание на модификацию описанной методики, которая приводит к уравнениям,24близким по структуре к уравнениям метода конечных разностей повышеннойточности [63, 191].Однако разностные уравнения МПА более общие, так как учитываютупомянутые выше разрывы.1.2.2.2.

МПА в разностной формеЕсли говорить о численной реализации, учете областей интегрирования,краевых условий, нагрузок – наиболее универсальной является разностная формаметода последовательных аппроксимаций. Она была предложена ГаббасовымР.Ф. в работах [79-96, 274-278].При использовании разностной формы МПА, как было показано в работе[86], результаты практически идентичны получаемым методом последовательныхаппроксимаций в дифференциальной и интегральной формах. Преимуществомразностной формы, однако, является удобство и простота использования.В работах [79-96] проведена аппроксимация разностными уравнениямиМПА дифференциальных уравнений второго порядка, в том числе с переменнымикоэффициентами.

Таким образом, разработанную методику можно применять прирешении задач, сводящихся к системам дифференциальных уравнений второгопорядка или уравнений в частных производных.Также отметим, что использование разностных уравнений МПА позволяетрешать задачи с разрывными искомыми функциями, а также с разрывами ихпроизводных. Для расчета плит и оболочек Габбасовым Р.Ф. были полученыразностные уравнения МПА, аппроксимирующие уравнение Пуассона. Этиуравнения учитывают возможные разрывы искомой функции, ее первой и второйпроизводных в двух взаимно перпендикулярных направлениях сетки разбиения.Заметим, что, как показано в этих работах, не требуется использованиезаконтурных точек для описания краевых условий задачи, а также нет25необходимости сгущать сетку или использовать вблизи разрывов усредненныезначения (что необходимо делать при использовании МКР).Разностные уравнения МПА могут быть с успехом применены для решениязадач строительной механики или теории упругости.