Диссертация (Численный метод расчета пологих оболочек на динамические воздействия), страница 3

решение краевой задачи теории упругости сводится крешению системы линейных или нелинейных (в зависимости от выбранного типазадачи) алгебраических уравнений.Иначемоделью,говоря, непрерывнаякотораяявляетсяфункциясовокупностьюаппроксимируетсяконечногочисладискретнойкусочно-непрерывных функций. Каждая такая функция определена на своей некоторойподобласти, которую называют элементом.

В качестве кусочно-непрерывнойфункции в пределах элемента, как правило, принимают полином.Решение поставленной задачи по методу конечных элементов можноразбить на несколько этапов:а) идеализация рассматриваемой конструкции;б) выбор в интерполирующей функции основных неизвестных;в) получение матрицы жесткости элемента;г) формирование разрешающей системы алгебраических уравнений и ее решение.На первом этапе необходимо заменить рассматриваемую конструкциюсистемой конечных элементов (КЭ) определенной формы. Эти элементы должныбыть соединены между собой в узлах и каждый из них должен обладать конечнымчислом узловых связей.Строгих норм и рекомендаций по выполнению этого этапа работы нет, какправило, он выполняется интуитивно на основании логических соображений ипредставлениях о конечном результате, определяющихся опытом исследователя.Несмотря на то, что этот этап не представляет особой трудности, он крайне важендля последующих расчетов: грамотность выбора формы элементов, правильностьнумерации узлов сетки и т.д.

оказывают существенное влияние на объем искорость выполняемых вычислений.16Правильный выбор формы конечного элемента, как и аппроксимация всейконструкции в целом, очень важен, особенно при расчете оболочек. Как показанов работах [126, 132, 137, 144, 208], существенное влияние на точность расчетаоказывает точность аппроксимации конечными элементами криволинейнойповерхности оболочки. С точки зрения расчета оболочек, в МКЭ используютсяконечные элементы плоские, их называют элементами первого порядка, икриволинейные, элементы второго порядка. Форма КЭ также может бытьразличной: треугольной или четырехугольной.

Применение КЭ различных формбыло освещено в работах [38, 40, 47, 104, 120, 125-127, 135, 138, 142, 253, 254].Анализируя результаты указанных работ, можно применять следующее правило:для развертывающихся оболочек (например, конических или цилиндрических)наиболее рациональным будет использование плоских элементов, а для пологихоболочек двоякой кривизны целесообразнее использовать криволинейныеэлементы.

Тем не менее в работах [99, 100, 127, 137, 138] рассмотренааппроксимация оболочек двоякой кривизны плоскими элементами, но показано,что это возможно при довольно густой сетке, что приводит к существенномуувеличению решаемых совместно алгебраических уравнений.Основываясьнарезультатахобширныхисследованийвопросааппроксимации пологих оболочек криволинейными элементами, можно суверенностью применять параболические элементы, так как при прочих равныхточность вычислений с использованием этих элементов выше, посколькугеометрия аппроксимируемой модели воспроизводится наиболее точно.Что касается нумерации узлов сетки, надо отметить, что неграмотноевыполнение этого этапа приведет к значительному увеличению используемыхресурсов ЭВМ, а также замедлит процесс счета.

Связано это с тем, что нумерациянапрямую влияет на структуру матрицы разрешающих уравнений. Этообстоятельство приводит к тому, что задача упорядочивания расчётных узлов(особенно при расчете конструкций сложных форм, в частности, оболочек)становится трудоемкой и сложной. В связи с этим в большинстве современных17расчетных комплексов (Лира, SCAD, Ansys и др.) этот вопрос автоматизирован ине требует участия инженера.Переходя ко второму этапу, необходимо выбрать основные неизвестные винтерполирующей функции.

Это могут быть или перемещения узлов (МКЭпринимает форму метода перемещений), или усилия в узлах (МКЭ принимаетформу метода сил). В некоторых работах [77, 99, 100, 160-162, 172]рассматривается смешанная форма, где в качестве основных неизвестныхиспользованы, как усилия в узлах, так и их перемещения. Далее, если основныминеизвестными являются перемещения узлов, аппроксимирующими функцияминеобходимо выразить составляющие вектора перемещения в точках, находящихсявнутри элемента, и определить неизвестные из условий равновесия узлов. Еслиосновными неизвестными являются усилия в узлах, то аппроксимирующимифункциями необходимо выразить составляющие вектора усилий в точках,находящихсявнутриэлемента,иопределитьнеизвестныеизусловийсовместности перемещений узловых точек [195, 211, 257].Как правило, в расчетах задействуют МКЭ в форме метода перемещений.Аппроксимирующую функцию принимают в виде алгебраического полиномастепени, соответствующей числу степеней свободы КЭ, а также выполнениюусловий неразрывности перемещений и их производных на границах стыковкисмежных КЭ.

Именно это условие, условие неразрывности, представляетосновную трудность при выборе интерполирующего полинома и определяетсложность второго этапа расчета по МКЭ. В зависимости от того, выполняетсяили не выполняется указанное условие, КЭ подразделяются на совместные инесовместные.СовместностьКЭ–важнейшееусловие,определяющеесходимость решения по методу конечных элементов к точному [125, 127]. Тем неменее, получить полностью совместные элементы крайне сложно, поэтому вподавляющем большинстве работ по расчету оболочек применяют несовместныеэлементы. Следствием этого является разрывность усилий на участках стыковкисмежных КЭ и ухудшение результатов по усилиям [125, 143, 216, 254].18Отсутствие строгих требований в выборе формы КЭ как интерполирующегополинома привело к тому, что сейчас существует множество вариантов КЭ,которые своим многообразием существенно усложняют задачу исследователя прирешении вопроса целесообразности использования того или иного элемента.Несмотря на попытки провести сравнительный анализ и оценку рациональностииспользования различных КЭ (работы [99, 100, 120, 125-127, 132, 192]),однозначной методики выбора КЭ все равно не существует, так как одни и те женесовместные элементы, дающие хорошие результаты при решении одних задач,совершенно не подходят для решения других [127, 195].На следующем этапе при расчете конструкций по МКЭ возникаютсложности в формировании матрицы жесткости, выражающей реакции в узлахрассматриваемогоэлементачерезнеизвестныеузловыеперемещения.Затруднения возникают в связи с тем, что появляется необходимостьиспользования и решения системы дифференциальных уравнений напряженнодеформированного состояния конечного элемента (например, с помощьюдвойных тригонометрических рядов или с использованием метода конечныхразностей[202])илиинтегрированияпоплощади(прииспользованиивариационных методов Ритца-Тимошенко [99, 100, 125, 127, 137, 195, 210],Бубнова-Галеркина [126, 195, 196]).

Также возникают сложности интегрированияпри замене реальной нагрузки системой эквивалентных ей узловых сил.Особенно затруднителен вопрос применения МКЭ к расчету оболочек,имеющих отверстия, трещины, зоны разрыва граничных условий, а также зонырезкого увеличения напряжений, что связано с наличием, так называемого,краевого эффекта [216, 254]. Учет особенностей напряженного состояния в этихобластях происходит или за счет применения особых типов КЭ, содержащихуказанные дефекты (например, элементы с трещинами [110]), или введениемдополнительных членов в аппроксимирующие функции [251]. Однако наиболееупотребимый способ учета таких особенностей связан с применением в зонахконцентрации напряжений более мелкого шага разбиения сетки, приводящего к19увеличению количества неизвестных и, таким образом, к увеличению порядкаразрешающей системы алгебраических уравнений [51, 65, 66, 120, 125-127, 144].Также на этом этапе необходимо учитывать краевые условия припостроении матрицы жесткости.

При использовании указанных методовисследователь получает вырожденную матрицу жесткости, т.к. часть уравнений(для плоских систем – три, а для пространственных – шесть) системы уравненийравновесия является взаимозависимой. Для приведения системы линейныхалгебраических уравнений к невырожденной системе требуется корректировкаматрицы жесткости с учетом краевых условий.Четвертый этап – решение полученной системы алгебраических уравнений(линейных или нелинейных). Для этого используются стандартные методы, атакже расчетные программы (наиболее удачными будут те, которые имеютвозможность учета симметричности и структуры матрицы жесткости – ееленточность и редкозаполненность).

Напряжения и деформации определяются поизвестным соотношениям теории упругости после определения перемещенийузлов.Несмотря на описанные выше недостатки и трудоемкость метода конечныхэлементов с точки зрения его применения к решению задач теории оболочек, этотметод обладает рядом несомненных преимуществ, из которых можно выделитьследующие:а) позволяет рассчитывать оболочки произвольной геометрии (с учетомвырезов,промежуточныхопорит.д.);такжемогутбытьрассчитаныкомбинированные системы, состоящие из стержней, пластин и оболочек;б)размерыэлементоврассчитываемойконструкциимогутбытьпеременными; свойства материалов смежных элементов – разными;в) тип оболочки, характер краевых условий, толщина конструкции, законыизменения внешней прикладываемой нагрузки могут быть любыми (т.к.