Диссертация (Численный метод расчета пологих оболочек на динамические воздействия), страница 6

Поэтому для аппроксимации дифференциального уравнения (2.2.1)используем часть (2.1.17) труда [88].35Прямоугольную область интегрирования (, ) оболочки разобьём наподобласти (I – IV), т.е. на отдельные элементы, имеющие конечные размеры(Рисунок 2.2.). Представим, таким образом, (, ) как дискретную модель. Тогдаобласть изменения и (независимых переменных) заменится дискретныммножеством, состоящим из точек сетки.,= { = ℎ; = ; , = 0, 1, 2, 3, … }, где h и τ – шаги сетки понаправлениям ξ и η.Рисунок 2.2.

Часть расчетной сетки для регулярной точкиПриведемаппроксимациюдифференциальногоуравнения(2.2.1)обобщённым уравнением МКР во внутренней точке i,j. Будем полагать в (2.3.1) = 1, = = = 0, =(с заменой w на u), = = = = 0, =(сзаменой w на v), = = = = 0, = − (оставляя переменную w), = 0.Сетку примем квадратную = = ℎ = ℎ = ℎ.Будем полагать искомые функции непрерывными в пределах элемента.36Окончательно запишем:4+ 2(1 − ) ,,−,+ 4( − 3) , + 2(1 − ) ,+,+ 2ℎ ,,+ 4+,− 2ℎ ,−= 0. (2.3.2),Аналогично аппроксимируем (2.2.2) - (2.2.4):−,4( − 3) , + 4 ,4+ 4 ,,2ℎ ,,+,+ 2(1 − )− 16 , + 4 ,+ 2ℎ ,∆−,= −ℎ+ 2ℎ + +− 4 , + ,++,,+ 2ℎ ,,+ 4,+ 2(1 − )− 2ℎ ,− 2ℎ ,∆ +∆ + − 4 , ,,= −ℎ , .,+= 0; (2.3.3)+ 2ℎ + 2ℎ+ 4 ,,−∆ +(2.3.4)(2.3.5)В (2.3.4): ; ;∆ , ; – значения соответственно в участках I, II, III, IV;∆ , – скачок значений в точке ij между участками I – II иIII – IV соответственно;∆ ,∆ – скачок значений в точке ij между участками I – III иII – IV соответственно.372.4.Краевые условия2.4.1.

Варианты краевых условий для пологой оболочкиСистемаисходныхдифференциальныхуравнений(2.1.4)–(2.1.7)записывается с учетом краевых условий. Рассмотрим четыре основных видавстречающихся в строительной практике типов граничных условий. Допустим,что оболочка (Рисунок 2.3.) закрепляется так, что по стороне OA жесткая заделка,по стороне AB – шарнирно-неподвижная опора, по стороне BC – шарнирноподвижная, сторона CO свободна от опор.Рисунок 2.3. Варианты закреплений краев оболочкиЗамечаниеДля последующих расчётов примем условные обозначения:- жесткая заделка;- шарнирно-неподвижная опора;- шарнирно-подвижная опора;- свободный от закрепления край.38По [181] краевые условия оболочки запишутся таким образом:1.

Сторона OA (x=0) – жесткая заделка:==== 0.Учтем, что в направлении заделки (вдоль оси y) в краевых точках= 0.Т.к. в соответствии с четвертым уравнением разрешающей системы уравненийдля пологих оболочек = − = −, то:+.Тогда краевые условия для жесткой заделки по стороне OA (x=0)представим в виде:==== 0; = −.(2.4.1)Аналогично краевое условие запишется при жесткой заделке по стороне BC(x=a).Если жестко заделаны стороны CO (y=0) или AB (y=b) краевое условиепредставим в виде:==== 0; = −.(2.4.2)2. Сторона AB (y=b) – шарнирно-неподвижная опора: = = = 0; = −+= 0.Учтем, что в направлении опоры (вдоль оси x) в краевых точкахт.о.

из уравнения для получим= 0. Тогда: = −+= 0,= 0.Окончательно краевые условия для шарнирно-неподвижной опоры постороне AB (y=b) представим в виде: = = = 0; = 0.(2.4.3)39Аналогично краевое условие запишется при жесткой заделке по стороне CO(y=0), а также если шарнирно-неподвижные опоры расположены по сторонам OA(x=0) или BC (x=a).3. Сторона BC (x=a) – шарнирно-подвижная опора: = = 0; = − =++= 0;− ( + ) = 0 .Т.к. в направлении опоры (вдоль оси y)получим:= 0. Таким образом, = −= 0.

Тогда из уравнения для += 0.Учтем, что в направлении опоры (вдоль оси y) в краевых точкахтогда из уравнения для с учетом = 0 получим:= 0,= 0.Тогда краевые условия для шарнирно-подвижной опоры по стороне BC(x=a) представим в виде: = = 0; = 0;= 0.(2.4.4)Аналогично краевое условие запишется при шарнирно-подвижной опоре постороне OA (x=0).Если шарнирно-подвижные опоры расположены по сторонам CO (y=0) илиAB (y=b) краевые условия представим в виде: = = 0; = 0;= 0.4.

Сторона CO (y=0) – свободный от закрепления край: ==++− ( + ) = 0;= 0;(2.4.5)40 = − =+= 0;− (1 − )= 0,где – обобщенная поперечная сила [181].Из уравнения для = −(1 − )получим:= −. Тогда = −−. Окончательно краевые условия для свободного отзакреплений края по стороне CO (y=0) представим в виде: =+=+ = −(1 − ) =− ( + ) = 0;(2.4.6)= 0;;− (1 − )= 0.Аналогично краевое условие запишется при шарнирно-подвижной опоре постороне AB (y=b).Если от закреплений свободны стороны OA (x=0) или BC (x=a), то краевыеусловия представим в виде: ==++ = −(1 − ) =− ( + ) = 0;(2.4.7)= 0;;− (1 − )= 0.412.4.2. Приведение рассмотренных краевых условий пологой оболочки кбезразмерному видуПриведем краевые условия (2.4.1) – (2.4.7) к безразмерному виду.1) Жесткое защемление.При = 0: = = = 0; == 0; = −.(2.4.8)При = 0: = = = 0; == 0; = −.(2.4.9)2) Край шарнирно-неподвижный.При = 0 и при = 0: = = = = 0.(2.4.10)3) Край шарнирно-подвижный.При = 0: = = 0; = 0;= 0.(2.4.11)При = 0: = = 0; = 0;= 0.(2.4.12)4) Край свободен от опор.При = 0:()=+=− = 0;+= 0; = −(1 − )()=где (;− (1 − ))=(2.4.13)= 0,- безразмерная обобщённая поперечная сила.42При = 0:()=+=+ = −(1 − )()=где (− = 0;= 0;;− (1 − ))=(2.4.14)= 0,- безразмерная обобщённая поперечная сила.2.4.3.

Аппроксимация рассмотренных краевых условийРассмотрим расчетную схему (Рисунок 2.4.).Рисунок 2.4. Расчетная сетка для краевых точек431. Жесткая заделка.Если сторона пологой оболочки защемляется, допустим, при   0 , тогдаимеем условия в краевых точках: = = = 0; =.= 0; = −Тогда: , = − , . По формуле МКР [88]:, = − , −, +,.С учетом краевых условий = 0; =, =−,= 0, запишем:.Таким образом, для определения краевых неизвестных получим: , = , = , = 0; , = −,.(2.4.15)2. Шарнирно-неподвижное опирание.(2.4.16) , = , = , = 0; , = 0.3.

Шарнирно-подвижное опирание.Если при η=0 сторона оболочки опирается на жесткую в своей плоскости игибкую из плоскости вертикальную диафрагму, то: = = 0; = 0;= 0.По формуле МКР:|,=(−3 , + 4 ,−,) = 0.Таким образом, для определения краевых неизвестных получим: , = , = 0; , = 0; , = (4 ,−,).(2.4.17)444. Край свободен от опор.При = 0:()=+=+ = −(1 − )()=(2.4.18)− = 0;= 0;(2.4.19);(2.4.20)− (1 − )= − (1 − )Рассмотрим первые два условия ()(2.4.21)= 0.= 0 и = 0. По формуле МКР выразимчастные производные:|,|,|,|,−,(2.4.22)=(−3 , + 4 ,);=(−,+,);(2.4.23)=(−,+,);(2.4.24)=(−3 , + 4 ,−,(2.4.25)).Подставляя (2.4.22) и (2.4.23) в (2.4.18); (2.4.24) и (2.4.25) в (2.4.19),получим:( ), =−3 , + 4 ,, =−,+−,,+− 3 , + 4 ,−−,,+= 0.,− , = 0; (2.4.26)(2.4.27)С помощью уравнений (2.4.26) и (2.4.27) определим краевые неизвестные, ,, .Рассмотрим условия (2.4.20) и (2.4.21).По известной формуле МКР [88]:ℎ , = , =,,− 2 + ,.,или(2.4.28)45Таким образом, подставляя выражение для (2.4.28) в (2.4.20), получим: , = −(1 − ) , = −(,− 2 + ,(2.4.29)).Т.к.

в соответствии с (2.2.4) − = + , то = − − .Дифференцируя по , найдем:.= − − (2.4.30)Тогда, подставляя (2.4.30) в (2.4.21):()= − (1 − )()= (2 − ) + (1 − )) = 0 или= − (1 − )(− − (2.4.31)= 0.По известным формулам МКР [88]: ===(−3 , + 4 ,=−,(−3 , + 4 ,(2.4.32)).−,(2.4.33)).Подставим (2.4.32), (2.4.33) в (2.4.31) с учетом того, что = − − .Получим:(),4 ,,=(−3 , + 4 ,) − (− ,+,)+−,)+−,)) =)+(−3 , + 4 ,(3 , − 4 ,(3 , − 4 ,(−3(− , − , ) + 4(− ,+,+,−,)=−)+−(3 , −(3 , − 4 ,+(2.4.34)) = 0.Подставим (2.4.28) в (2.4.34).

Окончательно будем иметь:( ), =−6 , + 8 ,3 , − 4 ,− 2 ,+,+ 3,+− 43,+,− 4,,= 0.+,−(2.4.35)Таким образом, с помощью уравнений (2.4.29) и (2.4.35) определим краевыенеизвестные , .462.5.Выводы по Главе 2Решение задач по статическому нагружению пологих оболочек сприменением обобщенных уравнений МКР сводится к совместному решениюуравнений для каждой регулярной точки сетки с учетом краевых условий.Обобщенные уравнения МКР позволяют рассчитывать пологие оболочки сразличными видами краевых условий на действие таких нагрузок, как равномернораспределенные, локальные и полосовые.Алгоритм расчета и составление программы для ЭВМ, а также результатырешения тестовых и новых задач даются в Главе 4.47ГЛАВА 3.

РАЗРАБОТКА МЕТОДИКИ РАСЧЕТА НА ДИНАМИЧЕСКИЕНАГРУЗКИ ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМОБОБЩЕННЫХ УРАВНЕНИЙ МКР3.1.Система разрешающих дифференциальных уравнений пологихоболочек при динамических воздействияхБудем рассматривать колебания упругой пологой оболочки с размерами a иb в плане и массой единицы площади ν=const. (Рисунок 3.1.).Рисунок 3.1.По [88] малые поперечные колебания прямоугольных в плане пологихоболочек можно описать системой дифференциальных уравнений:++− ( + )= 0;++− ( + )= 0;∆ + ( + + 2 ) − ( + )(3.1.1)+ ( + )− ∗ = 0,48где ∆ =+2+.Под ∗ будем подразумевать: ∗ = −−.Здесь: = (, , ) – внешняя нагрузка, изменяющаяся во времени; – параметр затухания.Будем в дальнейшем применять систему дифференциальных уравнений(3.1.1) при расчете пологих оболочек на динамические воздействия. Компонентыперемещений U, V, W являются основными неизвестными этой системы.По методике аналогичной изложенной в Главе 2 представим третьеуравнение четвертого порядка в виде двух дифференциальных уравнений второгопорядка.

Запишем разрешающую систему дифференциальных уравнений:++− ( + )= 0;++− ( + )= 0;∆ − ( + + 2 ) + ( + )+где ∆=(3.1.2)+ ( + )= ∗;= −,+- оператор Лапласа.Внутренние усилия N, S, M, T вычислим по найденным значениям прогибаW и касательных перемещений U и V по формулам (2.1.8) – (2.1.15).493.2.Выполнение перехода к безразмерным величинамАналогично задачам расчета пологих оболочек на статические нагрузки дляупрощения численного решения задачи приведем систему уравнений (3.1.2) кбезразмерному виду:++−= 0;(3.2.1)++−= 0;(3.2.2)+++= −,+= −( −−с̅̅) + ;(3.2.3)(3.2.4)где безразмерные величины:==(); =;=(; =)();;= ;= ;(3.2.5) = 12 ; = 12 ; = 12 ; = ; = ,a - характерный размер оболочки в плане; - значение в фиксированной точке.

= + ; = + = + + 2 ;,(3.2.6) = ; = .Также будем иметь в виду: = (; ; ̅) =( , , ); ̅ =;с=где: – масса единицы площади; – коэффициент поглощения энергии.√,(3.2.7)50Система уравнений (3.2.1) – (3.2.4) решается с учетом краевых условий, атакже с учетом начальных условий, а именно:̅ = 0; = (, ); ̅ = ̅ (, ).Формулы (2.1.8) - (2.1.15) для решения задачи на динамические воздействияв безразмерном виде аппроксимируются аналогично формулам (2.2.7) с учетом:()((=; (=; ()); (=3.3.));==);; (=); (=);=(3.2.8).=Аппроксимация системы дифференциальных уравнений обобщеннымиуравнениями МКРДифференциальные уравнения (3.2.1), (3.2.2), (3.2.4) аппроксимируются поформулам (2.3.2), (2.3.3), (2.3.5) соответственно с постановкой возле каждой( )переменной аппроксимированной величины индексадля обозначениясоответствующего временного слоя.