Диссертация (792752), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Они позволяют решатьзадачи плоской и пространственной теории упругости и термоупругости [86],задачи расчета стержневых систем [86], задачи расчета плит на устойчивость [86]и прочность [86, 89, 93], включая плиты переменной толщины и плиты наупругом основании, расчета сферических, цилиндрических и пологих оболочек[86, 95], а также могут быть применены к решению задач расчета оболочек спроизвольным законом изменения срединной поверхности. В работе [86] такжепоказано применение разностных уравнений МПА к решению некоторыхдинамических задач строительной механики.Основные преимущества МПА (метода последовательных аппроксимаций)заключаются в том, что он, несомненно, проще МКЭ (поскольку нетнеобходимости составления матрицы жесткости) и проще МКР (это связано с тем,чтонетнеобходимостивзаконтурныхточках,атакжеможнобезпервоначального формирования матрицы коэффициентов организовать решениеуравнений итерационным методом).1.2.3.
МКР - Метод конечных разностейМКР (метод конечных разностей) широко освещен в работах таких ученых,как Абовский Н.П. [1-8], Абрамов Г.Д. [9], Березовский Л.Ф. [33-35], Варвак П.М.[61, 63], Длугач М.И. [117-119, 121], Маркус Г. [159], Мизин Б.М., РекшинскийВ.С. [203], Назаров А.А. [180, 181], и др. [22, 48, 59, 122, 123, 150, 151, 165, 201,236, 259].Этот метод характеризуется заменой дифференциальных уравнений(обыкновенных или в частных производных) уравнениями (или системой26уравнений) в конечных разностях.
Эти разностные уравнения получаютсявыражением дифференциальных операторов – приближенными выражениями,являющимися разностными отношениями и значениями функций в отдельныхточках. Точки (так же, как и в других описанных методах) определяются узламисетки, наложенной на область задания функций [191].
В узловых точках прирешении краевой задачи удовлетворяются и дифференциальное уравнение, играничные условия. Также МКР требует выполнения условий по функции и еепроизводным (или, если задача смешанного типа, и того, и другого) как награнице, так и вблизи нее.Таким образом, решение дифференциальных уравнений приводится крешению системы линейных алгебраических уравнений.Для формирования алгебраических уравнений и приближенного выраженияпроизводных в рассматриваемой точке, используют разности вперед (секущаяпроводится через рассматриваемую точку и последующую), центральныеразности (через предыдущую и последующую) и разности назад (черезпредыдущую и рассматриваемую).
Для второй и более высоких производныхаппроксимирующие выражения получаются так же, как и для первой.Заметим, что применение аппроксимации функции интерполяционнымполиномом и последующее его дифференцирование, как показано в [136, 191],дают аналогичные разностные выражения. Дифференцирование снижает порядокаппроксимирующего полинома, что можно отнести к основному недостатку МКР.В решении задач теории пологих оболочек он проявляется незначительнымснижением точности при определении изгибающих моментов, внутренних усилийи прогибов – составляющих вектора касательных перемещений [48, 150, 165, 181,203, 232, 236]. Объясняется это тем, что, как правило, разрешающие уравнениятеории пологих оболочек записываются в перемещениях, а нормальные исдвигающиеусилия,атакжеизгибающиемоменты,определяютсядифференцированием составляющих векторов касательных перемещений ипрогибов.27Есть несколько методов исключения этого недостатка:а) записывать разрешающие уравнения задачи в усилиях [237];б) вводить составляющие вектора усилий в число неизвестных (это повлечетза собой увеличение количества решаемых совместно дифференциальныхуравнений первого порядка до 13) [166];в) использовать для аппроксимации краевых условий и исходныхдифференциальных уравнений полиномы более высокого порядка [191].Эти подходы приводят к увеличению точности метода, но влекут за собойувеличение количества разбиений [166] или к существенным сложностям приучете кинематических граничных условий [237].Заметим также, что при использовании разрешающих уравнений вперемещениях, трудности возникают и при учете граничных условий (особенностатических), так как появляется необходимость использования значенийискомых функций в законтурных точках для замены дифференциальногооператора точки контура.
Эту проблему решает применение вариационной формыМКР, изложенной в работах Абовского Н.П. [2-4] и Вайнберга Д.В. [54, 55, 59].Из недостатков МКР, таким образом, отметим:а) медленную сходимость (из-за использования аппроксимирующегополинома низкой степени);б) невысокую точность (по сравнению с другими методами).Точность МКР зависит от точности вычисления через узловые значенияпроизводных функций, шага разбиения и от степени аппроксимации заданнойформы конструкции.Именно поэтому в трудах [107, 176, 191, 203, 204] авторы используютаппроксимирующие полиномы более высоких степеней, что приводит кувеличению точности методики. Получаемые при этом конечные разностиназывают уточненными, поскольку, например, для задания первой производнойиспользуются значения искомой функции в четырех соседних точках (вместо28двух).
Повышение точности метода таким образом делает его более громоздким ине избавляет от трудностей учета граничных условий.Отметим метод прямых как частный случай МКР. Он был изложен в трудахАлександрова А.М. [14], Федорова Ю.П. [246, 247], Шаишмелашвили В.Н. [259262] и др. [177, 193]. Суть метода прямых состоит в том, что частныепроизводныенаправлению.выражаютсяТогдаразностнымипроисходитуравнениямипереходоттолькокраевойпоодномузадачидлядифференциальных уравнений в частных производных к краевой задаче дляобыкновенных дифференциальных уравнений.
В случае пологих оболочек этимметодом можно аналитически получить решение по одному из направлений врядах. Однако надо понимать, что его применение при сложных граничныхусловиях становится весьма затруднительным.Наряду с описанными выше недостатками МКР, необходимо отметитьнесомненные достоинства этого метода:а) его простота как для счета вручную, так и для программирования;б) возможность использования типового разностного уравнения;в) структура матрицы коэффициентов – ленточная.Еще большей простотой и универсальностью обладают предложенныеГаббасовым Р.Ф.
обобщенные уравнения МКР.1.2.3.1. Обобщенные уравнения МКРВ [86] Габбасовым Р.Ф. были получены обобщенные уравнения методаконечных разностей. Отличие обобщенных уравнений МКР от классическихзаключается в возможности учета разрывов искомой функции, а также ее первыхдвух производных. Аналогичным образом можно учитывать и разрывы правыхчастей исходных дифференциальных уравнений, кроме разрывов их первыхпроизводных.29Несомненным преимуществом использования обобщенных уравнений МКРявляется отсутствие необходимости в законтурных точках, так как все расчетныеточки располагаются в пределах области интегрирования дифференциальныхуравнений, а также в отсутствии необходимости сгущать сетку или использоватьусредненные значения вблизи разрывов, как в случае классических уравненийМКР.Несложно заметить, что классические уравнения МКР являются частнымслучаем обобщенных уравнений при отсутствии разрывов.Обобщенные уравнения МКР от уравнений МКЭ и МПА отличаютсясущественной простотой, хотя и меньшей точностью.
Заметим, однако, что сточки зрения точности при решении поставленной задачи на сетке с небольшимшагом, т.е. при большом числе разбиений с использованием МПА и обобщенныхуравнений МКР разница в результатах будет незначительная.1.3.Выводы по Главе 1Поскольку в упомянутых выше работах, где рассмотрены примерыиспользования метода конечных разностей, точность полученных результатовдостаточно высока, а также в связи с простотой этого метода, можно использоватьМКР, а точнее, обобщенные уравнения МКР, для решения задач по расчетупологих оболочек с различными краевыми условиями на динамическиевоздействия. Также несомненным достоинством этого метода является егопростота для ручного счета при небольшом числе разбиений.Такимобразом,разрабатываетсявметодиканастоящемрасчетадиссертационномпологихоболочеквоздействия с использованием обобщенных уравнений МКР.наисследованиидинамические30ГЛАВА 2.
РАЗРАБОТКА МЕТОДИКИ РАСЧЕТА НА СТАТИЧЕСКИЕНАГРУЗКИ ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМОБОБЩЕННЫХ УРАВНЕНИЙ МКР2.1.Система разрешающих дифференциальных уравнений пологихоболочекПологой оболочкой, в соответствии с [181], будем называть оболочку, укоторой угол между касательной плоскостью к срединной поверхности игоризонтальной плоскостью, над которой она возвышается, всюду мал.Применительно к практическим задачам, говорят о том, что этот угол не долженбыть более 18°. Или, переходя к оболочкам, прямоугольным в плане, имеющимнулевую или положительную Гауссову кривизну, отношение наибольшей стрелыподъема срединной поверхности к наименьшему размеру в плане должно бытьменее 1/5.Будем далее рассматривать пологие оболочки прямоугольные в плане,двоякой кривизны, т.к.
согласно [181] подобные оболочки лучше, чем пологиеоболочки с одной кривизной, сопротивляются деформациям разрушительногоизгиба (Рисунок 2.1.).Рисунок 2.1.31Следуя [181] представим систему разрешающих дифференциальныхуравнений пологих оболочек прямоугольных в плане, работающих подвоздействием нормальных к поверхности оболочки нагрузок:++− ( + )= 0;(2.1.1)++− ( + )= 0;(2.1.2)∆ + ( + + 2 ) −− ( + )где ∆ =+2++ ( + )− = 0,(2.1.3);U, V – касательные перемещения по направлению соответственно x и y;W – прогиб (вертикальное перемещение по оси z);μ – коэффициент Пуассона; – произвольная распределённая нагрузка по поверхности;=()– изгибная жесткость;– жесткость при растяжении-сжатии;=d – высота поперечного сечения пологой оболочки;δ – стрела подъема оболочки; =−; =−; , – радиусы кривизны;E – модуль упругости материала.Будем в дальнейшем применять систему дифференциальных уравнений(2.1.1) – (2.1.3) при расчете пологих оболочек.
Компоненты перемещений U, V, Wявляются основными неизвестными этой системы.Два первых уравнения системы (2.1.1) и (2.1.2) являются уравнениямивторого порядка, а уравнение (2.1.3) – четвертого. Для применения обобщенных32уравнений метода конечных разностей по [88] необходимо представить третьеуравнение как два дифференциальных уравнения второго порядка.Введем выражение обобщённого изгибающего момента: =.Тогда (2.1.1) – (2.1.3) приводится к следующему виду:++− ( + )= 0;(2.1.4)++− ( + )= 0;(2.1.5)∆ − ( + + 2 ) + ( + )+где ∆=+ ( + )= − ; (2.1.6)(2.1.7)= −,- оператор Лапласа.+Внутренние усилия N, S, M, T вычисляются по найденным значениямпрогиба W и касательных перемещений U и V [181].Продольные силы соответственно по осям x и y: =+− ( + ) ;(2.1.8) =+− ( + ) .(2.1.9)Сдвигающая сила:=+.(2.1.10)Изгибающие моменты соответственно по осям x и y: = −+;(2.1.11) = −+.(2.1.12)Крутящий момент:= −= (1 − ).(2.1.13)33Поперечные силы соответственно по осям x и y: = −+=;(2.1.14) = −+=.(2.1.15)2.2.Выполнение перехода к безразмерным величинамДля численного решения задачи расчета пологих оболочек удобнееперевести систему разрешающих дифференциальных уравнений (2.1.4) – (2.1.7) кбезразмерному виду:++−= 0;(2.2.1)++−= 0;(2.2.2)+++= −,+(2.2.3)= − + ;(2.2.4)где безразмерные величины:==(); =;=(); =();;= ;= ; = 12 ; = 12 ; = 12(2.2.5) ; = ; = ;a - характерный размер оболочки в плане; - значение в фиксированной точке; = + ; = + = ; = .; = + + 2 ;(2.2.6)34Формулы (2.1.8) - (2.1.15) в безразмерном виде:()==()=−)(()=−Где ())); (=; (; (==+− ;))=);==; (==−; (=));+(2.2.7);= (1 − )+=2.3.; (+= −());+((− ; (+)=−+=,;; (=)=;(2.2.8).Аппроксимация разрешающей системы дифференциальных уравненийс применением обобщенных уравнений МКРВ [88] приведено дифференциальное уравнение второго порядка в общемвиде:+++++∑= −.++++(2.3.1)Дифференциальные уравнения (2.2.1) – (2.2.4) представляют собой частныеслучаи (2.3.1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
