Диссертация (Численный метод расчета пологих оболочек на динамические воздействия), страница 7

Присвоим этим уравнениям номера,соответственно (3.3.1), (3.3.2), (3.3.4).Запишем аппроксимацию уравнения (3.2.3) обобщённым уравнением МКР врегулярной точке ij на квадратной сетке (τ=h):4( )( ),+ 4 ,( )( )( )2ℎ ,+ 2ℎ ,2ℎ∆4̅( )− 4с( )( )̅( )− 16 , + 4 ,+ 2ℎ+− 4 ∆∆( )+ 4;( )( )= −ℎ( ),− 2ℎ +( )∆+ ( ),( )( )++ 2ℎ ( ),−+( )+( )−51где h – шаг квадратной сетки;k=2, 3, 4… – номер слоя по времени;i=2, 3, 4…(m-1) – номер шага вдоль оси ;j=2, 3, 4…(n-1) – номер шага вдоль оси .( )Для вычисления̅( )ивоспользуемся формулами (4.2.1.1) и (4.2.1.2)̅(см.

Главу 4, §4.2.1). Окончательно будем иметь:4( )( )( )+ 4 ,,( )( )2ℎ ,+ 2ℎ ,2ℎ∆= −ℎ4̅()( )+( )− 16 , + 4 ,( )+ 2ℎ++ ( )(∆+)−( )( )3.4.+ 4∆( )=+( )− 4 ( )( )− 2ℎ ++ ( ),̅(∆)+( ),+ 2ℎ ( )+()−( )( ).,−+(3.3.3)Учет краевых условийУчет краевых условий при расчете пологих оболочек на динамическиенагрузки производится аналогично задачам расчета на статические нагрузки.Таким образом:- для жесткой заделки будем использовать (2.4.15);- для шарнирно-неподвижного опирания будем использовать (2.4.16);- для шарнирно-подвижного опирания будем использовать (2.4.17);- для края, свободного от закрепления (2.4.26), (2.4.27), (2.4.29), (2.4.35); будемиметь в виду, что в (2.4.35) для расчета пологих оболочек на динамические52нагрузки ()=- безразмерная обобщённая поперечная сила, - значение вфиксированной точке.3.5.Выводы по Главе 3Задачи по расчету пологих оболочек на динамические воздействия пообобщенным уравнениям МКР приводятся к совместному решению уравненийдля каждой регулярной точки сетки с учетом краевых условий.Обобщенные уравнения МКР позволяют рассчитывать пологие оболочки сразличными видами краевых условий на действие различных динамическихнагрузок.Алгоритм расчета и составление программы для ЭВМ, а также результатырешения тестовых и новых задач даются в Главе 4.53ГЛАВА 4.

РАЗРАБОТКА ПРОГРАММ ДЛЯ ЭВМ ПО РАСЧЕТУ ПОЛОГИХОБОЛОЧЕК НА СТАТИЧЕСКИЕ И ДИНАМИЧЕСКИЕ НАГРУЗКИ4.1.Разработка алгоритма расчета пологих оболочек на статическиенагрузки. Составление программы для ЭВМЧтобы решить систему линейных алгебраических уравнений, воспользуемсяитерационнымметодомЗейделя.МетодЗейделяупрощаетпроцесспрограммирования: не нуждается в формировании матрицы коэффициентов принеизвестных и хранении данных в памяти ЭВМ. Для соответствия необходимомуусловию конвергенции итерационного процесса преобразуем уравнения так,чтобы все коэффициенты их правой части были не больше единицы.Преобразуем уравнения (2.3.2) – (2.3.5) в разрешенном относительно , , , виде и, умножив левую часть на(1 + ) = 1, после1−преобразований получим:, =∙, −−,∙()−,4,+ 2(1 − ) ,+,+ 2(1 − ) ,+ 2ℎ ,,+ 4− 2ℎ где = 30., =2ℎ ,,(4.1.1)∙, −,+,∙(+ 2(1 − ), где = 30.),+ 4 ,,−+ 4 ,,−+ 2(1 − ),,++ 2ℎ ,−(4.1.2),54, =2ℎ ∙, +− 2ℎ ,,2ℎ∙∆ +4,+ 4 ,+ 4 ,+ 2ℎ ,+ 2ℎ∆ + ++ℎ+ 4∆ + +,− 2ℎ ∆, =++ − 4 ,где = 780.,,(4.1.3),+,+,+,+ℎ , .(4.1.4)Аналогично запишем уравнения для краевых точек в разрешенном виде.1.

Жесткая заделка.Выразим из (2.4.15), умножим левую часть на 1 −(1 + ) = 1,после преобразований получим:, =, ∙где =−∙,,(4.1.5).2. Шарнирно-неподвижное опирание.(4.1.6) , = , = , = 0, , = 0.3. Шарнирно-подвижное опирание.Из (2.4.17) с учетом преобразований, получим:, =, ∙где = .+∙ (4 ,−,),(4.1.7)554. Край свободен от опор.Из (2.4.26) выразим:, =, ∙+∙ (4 ,−,+ −,+,(4.1.8)− 2ℎ , ),где = .Из (2.4.27) найдем:, =, ∙+∙−,+,+ 4 ,,−,(4.1.9)где = .Из (2.4.29) получим:, =, ∙где =(−)∙(,− 2 + ,(4.1.10)),.Из (2.4.35) найдем:, =, ∙++ 8 ,,где =∙ [− 2 ,−3 , + 4 ,+ 3,− 4−,,++ 3,,− 4],,+(4.1.11).Вычисляем неизвестные путем совместного решения уравнений (4.1.1) –(4.1.4), а также (4.1.5) – (4.1.11).

Объем занимаемой оперативной памяти ЭВМ,таким образом, определяется только числом неизвестных, а не размерамиматрицы коэффициентов.Прииспользованииитерационногопроцессарешенияразностныхуравнений МКР сходятся достаточно быстро. Конкретные задачи будутрассмотрены в следующем разделе. При небольшом числе разбиений может бытьрекомендовано применение микрокалькулятора в расчетах.По указанным выше уравнениям получим результаты для , , , ; а поэтим значениям – определим внутренние усилия, вычислив предварительнопроизводные искомых функций.56По формулам МКР запишем выражения производных для регулярныхточек: =| =|=(− ,=(−+,,+,);(4.1.12));(4.1.13)Производные , , , , , для регулярных точек определяютсяпо формулам, аналогичным (4.1.12), (4.1.13) с заменой на , и соответственно.Запишем выражения производных для краевых точек: =| =|=(−=(−3 + 4 ,,+,(4.1.14));−,(4.1.15));Производные , , , , , для краевых точек определяются поформулам, аналогичным (4.1.14), (4.1.15) с заменой на , и соответственно.Послеопределениявсе , , , , , , ,безразмерныевнутренние силы определяются по формулам (2.2.7).4.2.Разработка алгоритма расчета пологих оболочек на динамическиенагрузки.

Составление программы для ЭВМ4.2.1. Об аппроксимации по времениДляанализаиспользуютисследованияуравненийметодыдляпрямогодинамическогоинтегрирования.аппроксимацииповременирассмотрены квадратный сплайн и кубический.равновесия,Врамкахискомыхкакправило,проведенногофункцийбыли57На основании проведенного анализа, можно сформулировать следующиевыводы:- при аппроксимации искомых функций во времени по квадратной параболес увеличением числа разбиений получается сходящееся решение;- для аппроксимации по кубической параболе необходимо большее, посравнению с предыдущим вариантом, число разбиений.В связи с этим в текущем исследовании был применен параболическийсплайн.Будем рассматривать искомую функцию как функцию трех переменных F(x,y, t).

Таким образом, численное решение динамической задачи можно получить,представив ее как двумерную задачу, так и как трехмерную.Представим ось времени t, как одну из координатных осей. Тогда будемиметь трехмерную задачу, где:0 ≤ ≤ ; 0 ≤ ≤ ; 0 ≤ ≤ .Если же рассматривать область 0 ≤ ≤ ; 0 ≤ ≤ в каждый моментвремени (т.е. на каждом временном слое), перейдем к двумерной задаче. Зададим:0 ≤ ≤ ∞.Поскольку двумерная постановка задачи не ограничивает время изучениядинамического процесса, а также, в отличие от трехмерной, используетдвумерные матрицы, остановимся на этом варианте.Таким образом, используя аппроксимацию по квадратной параболе,запишем рекуррентные формулы для вычисления на каждом временном слоескорости и ускорения:̅( )( )= −̅(=− ̅)̅(− ̅ ( ()−̅( ()− ( ) );)− ( ) ),(4.2.1.1)(4.2.1.2)где k=2, 3, 4… – номер временного слоя, за начало отсчета шагов по временипринята точка 1.584.2.2.

Разработка алгоритма расчета пологих оболочек на динамическиенагрузки. Составление программы для ЭВМЗапишем уравнение (3.3.3) в разрешенном относительно виде наквадратной сетке (шаг сетки h, шаг по времени ̅):( )( ), =2ℎ ∙, +( )( ),2ℎ̅)4( )( )∆̅+()−( )( )( )+ 4 ,+ 4 ,+ 2ℎ∆( )+ 2ℎ ,+( ),− 2ℎ ,∆̅(∙+ℎ+ 4̅()( )++ ̅(+ 4( )( )− 2ℎ ,++)( )−∆( )( )( )( )+− 4 ( )++( )+,,(4.2.1)где = 780;k=2, 3, 4… – номер слоя по времени;i=2, 3, 4…(m-1) – шаг вдоль оси ;j=2, 3, 4…(n-1) – шаг вдоль оси .Для регулярных точек сетки будем совместно использовать уравнения(4.1.1), (4.1.2), (4.2.1), (4.1.4).Для учета граничных условий воспользуемся уравнениями (4.1.5) – (4.1.11).Будем иметь в виду, что уравнения (4.1.1), (4.1.2), (4.1.4), (4.1.5) – (4.1.11)записываются с постановкой возле каждой переменной аппроксимированнойвеличины индексаДля( )для обозначения соответствующего временного слоя.определениявнутреннихбезразмерныхусилийвоспользуемсяформулами (4.1.12) – (4.1.27) с подстановкой полученных в (2.2.7) результатов сучетом (3.2.8).Построение численного решения пологих оболочек выполнено в полномобъеме.594.3.Примеры расчета пологих оболочекДля иллюстрации применения обобщенных уравнений метода конечныхразностей и демонстрации отличий указанного метода от МКР, рассмотримрасчет шарнирно-опертой однопролетной балки длиной L=1м на действиесосредоточенной нагрузки.

Шаг разбиения принимаем h=0.5м. Величинусосредоточенной нагрузки примем P=1кН (Рисунок 4.1.).Рисунок 4.1.Примем = 0.5кНм. Тогда Δ ==кН.кН∙мм= 2.Запишем обобщенные уравнения МКР для срединной точки:−2 + ∙ 2 = 0.Таким образом, найдем = . Вычислим размерный момент: = = ∙ 0.5кНм∙ (1м) = кН ∙ м.По известным формулам строительной механики для рассматриваемойзадачи ==кН∙ м= кН ∙ м.Нетрудно заметить, что в результате применения обобщенного уравненияМКР для расчета однопролетной балки при минимальном числе разбиенийполучается точное значение момента в центральной точке.