Lektsia__10_Konspekt (лекции мжг Харитонов pdf), страница 2

На этом жерисунке удобно прочитать значения потерь напора на каждом из этих участков h1 и h4 .Перенесём полученный ответ Q1 = Q4на рисунок II и найдём на кривой 2+3 точку,которой по условиям построения этой кривойсоответствуют потери напора в параллельныхтрубопроводах 2 и 3.По найденным потерям напора можнопрочитать по гидравлическим характеристикамтрубопроводов 2 и 3 расходы в этихтрубопроводах Q2 и Q3 .Таким образом, с помощьюграфического метода мы получили все восемьответов: значения потери напора и расходы вкаждом их четырёх участков сложноготрубопровода.2.

Уравнение Бернулли для неустановившегося течения идеальной жидкостиИнтеграл Лагранжа-Коши.Ранее мы получили уравнение Эйлера динамики жидкости в форме Громека-Ламба для условийбаротропного движения идеальной жидкости в потенциальном поле массовых сил :∂VV21+ grad ( ) + rotV × V = F − grad p∂t2ρ(4)Для потенциального движения жидкости это уравнение существенно упрощается.

Действительно,при существовании потенциала скорости ϕ ( x, y, z , t ) выполняются соотношения:Vx =∂ϕ∂ϕ∂ϕ; Vy =; Vz =∂x∂y∂z(5)Это означает, что вектор скорости является градиентом потенциала поля скоростей:V = grad ϕ(6)Кроме того, известно, что потенциальное движение является безвихревым, то-есть, вихрь или роторвектора скорости равен нулю во всех точках наблюдаемого движения: ∂V ∂VrotV = rot (Vx ⋅ i + Vy ⋅ j + Vz ⋅ k ) =  z − y∂z ∂y ∂Vx ∂Vz−⋅i + ∂x ∂zДля того, чтобы убедиться в этом, подставьте в уравнение ( 7 ) ∂Vy ∂Vx−⋅ j + ∂y ∂xсоотношения ( 5 ), например:∂Vz ∂Vy∂  ∂ϕ  ∂  ∂ϕ ∂ 2ϕ∂ 2ϕ−=−=−=0∂y∂z∂y  ∂z  ∂z  ∂y  ∂y ⋅ ∂z ∂z ⋅ ∂y7 ⋅ k = 0 (7)(8)(результат вычисления смешанной частной производной не зависит от порядка дифференцирования).Рассмотрим неустановившееся баротропное потенциальное движение идеальной жидкости впотенциальном поле массовых сил с потенциалом Π = Π ( x, y, z , t ) при условии существования функцииpдавления P(p) =dp∫ ρ ( p) .По доказанному ранее, в этих условиях справедливо:p0grad P ( p ) =1⋅ grad pρF = − grad Π(9)(10)И, наконец, отметим очень важное обстоятельство:∂V ∂ϕ = grad ∂t ∂t (11)Для того, чтобы убедиться в этом, достаточно вспомнить определение градиента и проследитьцепочку соотношений:∂V∂ ( gradϕ )  ∂  ∂ϕ  ∂  ∂ϕ  ∂  ∂ϕ    ∂  ∂ϕ  ∂  ∂ϕ  ∂  ∂ϕ  == ; ;  =  ; ; ∂t∂t ∂t  ∂x  ∂t  ∂y  ∂t  ∂z    ∂x  ∂t  ∂y  ∂t  ∂z  ∂t  Подставим в уравнение ( 4 )приведенные выше соотношения: ∂ϕ V 2grad ++ Π + P ( p)  = 02 ∂t ∂ϕgrad +B  = 0 ∂tилигде символом(12)B обозначен трёхчлен БернуллиV2B =+ Π + P ( p)2Умножим скалярно слева на вектор(13)(14)(15)V обе части уравнения ( 14 ) ∂ϕV ⋅ grad +B  = 0 ∂t(16)V ∂ϕ⋅ grad +B  = 0V ∂t(17)илиили ∂ϕl ⋅ grad +B  = 0(18) ∂tгде единичный вектор l направлен по направлению вектора скорости – вдоль линии тока.

По определениюпроизводная от функции Φ ( x, y, z , t ) по заданному направлению l равна:dΦ= l ⋅ grad ΦdlСопоставляя (18 ) и (19), получаем:8(19)d  ∂ϕ+B  = 0dl  ∂t(20)Интегрируем уравнение ( 20 ) и получаем уравнение, которое называют интегралом Лагранжа-Коши икоторое выполняется вдоль линии тока:∂ϕ+ B = const (t )∂t(21)∂ϕ V 2++ Π + P ( p ) = f (t )∂t2(22)В разные моменты времени постоянные интегрирования могут совпадать или быть разными.В развёрнутом виде:Для потенциального движения идеальной несжимаемой жидкости в поле земного тяготения:∂ϕ V 2 p++ + g ⋅ z = f (t )∂t2 ρ(23)Интеграл Лагранжа-Коши играет в теории нестационарного движения жидкости такую же роль, и теоремаБернулли для установившегося движения, и является её обобщением.Уравнение Бернулли для неустановившегося движения идеальной жидкости.Рассмотрим в данный момент временитрубке тока):t = t0 два сечения на одной линии тока (на одной элементарной1 ∂ϕV12p⋅++ 1 + z1 = f ( t0 )g ∂t 1 2 ⋅ g ρ ⋅ g1 ∂ϕ⋅g ∂t2(24)V2p+ 2 + 2 + z2 = f ( t0 )2⋅ g ρ ⋅ gОтсюда получаем уравнение Бернулли для неустановившегося течения идеальной жидкости дляэлементарной трубки тока:2V12p1V22p1 ∂ϕ++ z1 =+ 2 + z2 + hin ; hin = ⋅2⋅ g ρ ⋅ g2⋅ g ρ ⋅ gg ∂t 1Слагаемое(25)hin называют инерционными потерями напора.3.

Уравнение Бернулли для неустановившегося течения вязкой жидкости.Для потока конечных размеров с неравномерным распределением скорости по поперечномусечению трубопровода при наличии потерь напора на трение по длине трубы и на местныхсопротивлениях уравнение Бернулли для неустановившегося движениявязкой жидкостипринимает вид:α1 ⋅Здесь9V12pV2p+ 1 + z1 = α2 ⋅ 2 + 2 + z2 + hin + h2⋅ g ρ ⋅ g2⋅ g ρ ⋅ gh включает в себя потери напора на трение и потери напора на местных сопротивлениях.(26)Примеры.Пример 1.

Вычислить инерционные потери при ускоренном движении несжимаемой жидкости втрубопроводе постоянного сечения.Решение.Прежде всего, следует обратить внимание на то обстоятельство, что в данном случае скоростьжидкости в данный момент времени в любом сечении трубопровода одинакова. Если, например, прикрытьзадвижку на входе в трубопровод, то мгновенно скорость жидкости одинаково изменится по всей динетрубопровода, каким бы протяжённым он не был.Следовательно, скорость и ускорение жидкости в данном случае являются функцией тольковремени и не зависят от координаты . Отметим также, что мы рассматриваем одномерное движениежидкости.Vx ≡ V =∂ϕ dϕ=; ⇒ ϕ = V ⋅x∂xdx(27)Вычислим инерционные потери напора между сечениями 1 и 2 по формуле (25):2221 ∂ϕ1 ∂ (V ⋅ x)x ∂Va 2a ⋅ (l2 − l1 )(l − l ) ∂Vhin = ⋅= ⋅= ⋅= ⋅x1 == 2 1 ⋅g ∂t 1g∂t 1g ∂t 1ggg∂t(28)Пример 2.

Определить время стабилизации истечения жидкости из резервуара с постоянным уровнемпосле открытия задвижки на раздаточном трубопроводе.Перед открытием задвижки скорость жидкости в трубопроводе равна нулю, а через некоторое время послеоткрытия задвижки скорость движения жидкости примет постоянное значение V0 .Требуется определить закон изменения скорости (и расхода) во времени от момента открытия задвижки.Дано: напорH и все параметры трубопровода.Решение.Напишем уравнение Бернулли для неустановившегося движения жидкости, выбрав два сечения: 1-1 и 2-2:V12pV2p+ 1 + z1 = α2 ⋅ 2 + 2 + z2 + hin + h(26)2⋅ g ρ ⋅ g2⋅ g ρ ⋅ gВ этом уравнении символом h обозначена сумма потерь напора на всех местных сопротивленияхα1 ⋅трубопровода и потерь напора на трение по длине всех его участков. i=n ςh = 0, 0826 ⋅  ∑ мi4 + i =1 dмij =m∑λj =1j⋅lj  2⋅Qd 5j Очень часто уравнение (29) упрощают, приводя его к виду10(29)h = ς* ⋅гдеV222⋅ g(30)ς * - приведенный коэффициент сопротивления.Примем для упрощенияα1 = 1, α 2 = 1 и учтём, что для данного примераV1 = 0, z2 = 0, p1 = 0, p2 = 0, z1 = H(31)Уравнение (26) принимает вид:2V22l dV* V2H =+ς ⋅+ ⋅2⋅ g2 ⋅ g g dt2(32)1Напишем уравнение Бернулли для установившегося движения жидкости, выбрав два сечения: 1-1 и 2-2:α1 ⋅V12pV2p+ 1 + z1 = α2 ⋅ 2 + 2 + z2 + h2⋅ g ρ ⋅ g2⋅ g ρ ⋅ gОбозначим скорость движения жидкости в трубопроводе в установившемся режиме черезиспользуем (30) и (31):V02H = (1 + ς ) ⋅2⋅ gV0 =*2⋅ g ⋅ H1+ ς *(33)V0 и(34)Объединяя уравнения (32) и (34), получаем:V22V2l dV+ ς* ⋅ 2 + ⋅2⋅ g2 ⋅ g g dt2= (1 + ς * ) ⋅1V022⋅ g(35)или(V 2 − V 2 )dVgH ⋅g= ⋅ (1 + ς * ) ⋅ 0= 2 ⋅ (V02 − V 2 )dtl2⋅ gV0 ⋅ l(36)Уравнение (36) представляет собой обыкновенное дифференциальное уравнение сразделяющимися переменными:dt =V02 ⋅ ldV⋅ 2H ⋅ g (V0 − V 2 )Интегрируем с начальными данными: при(37)t = 0 скорость в трубопроводе V = 0V0 ⋅ l⋅ [ ln(V0 + V ) − ln(V0 − V ) ] + const(38) ⋅ dV =2⋅H⋅gИспользуя начальные условия, получим значение постоянной интегрирования: const = 0Обозначим через T 0 постоянный коэффициент:V ⋅lT0 = 0(39)2⋅ H ⋅ gt =V02 ⋅ l1⋅∫H ⋅ g 2 ⋅ V0 11⋅+ V0 + V V0 − VОкончательный результат представим в двух формулах:t = T0 ⋅ lnV0 + VV0 − V t exp   −1 T0 V = V0 ⋅ t exp   + 1 T0 11(40)(41)Рассмотрим конкретный числовой пример.H = 5 м ; длина трубопровода l = 1800 м ;приведенный коэффициент сопротивления ς * = 300Исходные данные: располагаемый напорРезультаты вычислений:V0 =T0 =2⋅ g ⋅ H=1+ ς *2⋅ g ⋅5= 0,5709 м/с1 + 300V0 ⋅ l0,5709 ⋅1800== 10, 475 с2⋅ H ⋅ g2 ⋅ 5 ⋅ 9,81График изменения скорости в зависимости от времени с момента открытия задвижки показан ниже:11V( t )00.80.60.40.2000102030t405050Можно сделать вывод, что через 10 секунд с момента открытия задвижки расход составляет менееполовины от максимального, а установившийся режим истечения наступает приблизительно через минуту.Коней лекции № 1012.