Диссертация (Расчет ортотропных пластин на динамические нагрузки), страница 7

Следует иметь в виду, чторешение [78] неточно и может служить лишь приближенной оценкой полученныхв [116] и здесь результатов.55Таблица 2.2n4816wm ax0,0047700,0048610,0048850,0045770,0048610,004889Четвертаязадача:прямоугольнаяортотропнаяпластиназагруженаполосовой нагрузкой, две стороны плиты жестко заделаны, две другие шарнирнооперты (рис. 2.5).Рис. 2.5В таблице 2.3 даются величины m , m , w в характерных точках плиты А и В(рис. 2.5) полученные по нашему алгоритму (верхние значения и по [116] –56нижние значения), n – число разбиений большей стороны пластины. Результатыполучены при указанных выше величинах  ,  ,  .Таблица 2.3n4816mA0,08410,08510,08540,08620,08560,08550,14360,14590,014640,14030,14510,014620,013510,013860,013950,014540,014130,01402-0,0840-0,0866-0,0872-0,0862-0,0871-0,0873mAwAmBПятая задача: квадратная ортотропная плита загружена по оси симметрииполосовой нагрузкой, одна сторона пластины свободна от закреплений, три другиешарнирно оперты (рис.

2.6).57рис. 2.6В таблице 2.4 даются результаты расчетов на ЭВМ, полученные поразработанному нами алгоритму и по [116] с учетом указанных выше величин, ,  .Таблица 2.4n4816mA0,18600,18910,19060,18570,18890,19050,05800,05740,05710,05820,05750,05720,01350,01380,01390,01360,01390,01400,18400,19970,20870,18390,19970,20870,01780,01930,01990,01780,01920,0200mAwAmBwВ58Приведенные в таблицах результаты, полученные на трех сетках,свидетельствуют о сходимости решений.

Они иллюстрируют также, чторазработанные здесь и в [116] алгоритмы приводят к практически одинаковымрешениям рассмотренных выше задач.2.6. Расчет изгибаемых плит с использованием обобщенных уравненийМКР.ЗапишемобобщенноеуравнениеМКР[25],аппроксимирующеедифференциальное уравнение 2m  2m+= −p, 2  2(2.6.1)на равномерной сетке. Будем учитывать лишь разрывы m , m , pij :4 mi −1, j +hhh h + 4 mi , j −1 − 8 + mi , j + 4 mi , j +1 +h  (2.6.2)+ 4 mi +1, j +hI − II + 2  mi , j +  III − IV mi, j + h I − III mi, j + h II − IV mi, j =(()= −h pi , j + pi , j +IIII)+ II pi , j + IV pi , j .Рассмотримk =членуравнения  I − II mi, j =k~ , k I − II mi, j =  k  I − II mi, jгдеI − II ~ I − II mi , j .

Пусть k >1 – произвольное число; поскольку m ;  mi , j = kk~ . Поскольку k >1, то  <  . Пусть  произвольно, можно обозначить km = mkkотрезок на котором распределена линейная нагрузка (см. рисунок 2.6.1 в плане)59Рис.2.6.1.Действие, приложенной в точке i,j сосредоточенной силы, заменимучастками полосовой нагрузки вдоль осей ξ и η. Распределение локальнойнагрузки принимаем по закону треугольника в каждом из координатныхнаправлений. Равнодействующая этой нагрузки должна равняться безразмернойсосредоточенной силе P :1~  + 1   III − IV m~  + 1 h  I − III m~ + 1 h  II − IV m~ = P ; k  I − II mi, jki, jki, jki, ji, j2222отсюда:~  +   III − IV m~  + h  I − III m~ + h  II − IV m~ = k  I − II mi, jki, jki, jki, j=  I − II mi, j +  III − IV mi, j + h I − III mi, j + h II − IV mi, j = 2Pi , j .Подставляя (2.6.3) в (2.6.2) и поделив на 4, получим:(2.6.3)60hmi−1, j +hh h + mi , j −1 − 2 + mi , j + mi , j +1 +h  (2.6.4)(+ mi+1, j = −Pi , j − h I pi , j + III pi , j +h+ II pi , j + IV pi , j .)При  = h и отсутствии разрывов p:mi −1, j ++ mi , j −1 − 4mi , j + mi , j +1 +(2.6.5)+ mi +1, j = −Pi , j − h 2 pi , j .Дифференциальное уравнение для определения безразмерных прогибовследует из (2.6.1) с заменой m, p на w, m.

Тогда (при Pi , j = 0 ), из (2.6.5) следуетразностное уравнение для определения w:wi −1, j ++ wi , j −1 − 4 wi , j + wi , j +1 +(2.6.6)+ wi +1, j = − h mi , j .2ПримерРассчитаемквадратнуюшарнирнососредоточенной безразмерной силыw= m = 0.опертуюпластинунадействиеPi , j = 1 с учетом краевых условий61Рис. 2.6.2Запишем уравнения (2.6.5) и (2.6.6) на минимальной расчетной сетке приh=12(см. рис. 2.6.2а):w11 = 0.015625− 4m11 = −1 ;(погрешность34.5%).− 4w11 = −По1mi , j .

Откуда22[120]аналитическоеm11 = 0.25 ,решениеw11 = 0.01160.Запишем указанные выше уравнения при h =1(рис. 2.6.2б) с учетом4симметрии− 4m11 + 2m21 = 0 ;− 4m21 + 2m11 + m22 = 0 ;− 4m22 + 4m21 = −1.Из решения системы уравнений m11 = 0.0625 ; m21 = 0.125; m22 = 0.375 .− 4 w11 + 2 w21 = −10.0625 ;42− 4w21 + 2w11 + w22 = −10.125 ;4262− 4w22 + 4w21 = −10.375 .42Получим w11 = 0.004883; w21 = 0.007813; w22 = 0.013672 (погрешность 17%).Получим второй вариант разностного уравнения, аппроксимирующего(2.6.1) при действии сосредоточенной силы. Для этого рассмотрим четыреграничащих друг с другом участка, как показано на рисунке 2.6.3.Рис.

2.6.3.Запишем обобщенные уравнения МКР [25] для точек контура выделеннойобласти.Для точки i-1,j-1:− hmi−1, j −1 −− hmi−1, j −1 − 2mi −1, j −1 + mi −1, j ++ mi , j −1 = 0 .Для точки i-1,j:(2.6.7)63− 2hmi−1, j +mi −1, j −1 − 4mi −1, j + mi −1, j +1 +(2.6.8)+ 2mi , j = 0 .Для точки i-1,j+1:− hmi−1, j +1 ++ mi −1, j − 2mi −1, j +1 + hmi−1, j +1 +(2.6.9)+ mi , j +1 = 0 .Для точки i,j+1:mi −1, j +1 ++ 2mi , j − 4mi , j +1 + 2hmi, j +1 +(2.6.10)+ mi +1, j +1 = 0 .Для точки i+1,j+1:mi , j +1 ++ mi +1, j − 2mi +1, j +1 + hmi+1, j +1 +(2.6.11)+ hmi+1, j +1 = 0 .Для точки i+1,j:2mi , j ++ mi +1, j −1 − 4mi +1, j + mi +1, j +1 +(2.6.12)+ 2hmi +1, j = 0 .Для точки i+1,j-1:mi , j −1 ++ hmi+1, j −1 − 2mi +1, j −1 + mi +1, j +(2.6.13)+ hmi+1, j −1 = 0 .Для точки i,j-1:mi −1, j −1 −− 2hmi, j −1 − 4mi , j −1 + 2mi , j ++ mi +1, j −1 = 0 .(2.6.14)64Рис.2.6.4.Численно интегрируя функции поперечных сил по направлениям ξ и η вдолькраев выделенного фрагмента с использованием формулы Симпсона, составимуравнение равновесия всех сил на ось Z (рис.

2.6.4.)(2h− mi−1, j −1 − 4mi−1, j − mi−1, j +1 −6− mi−1, j −1 − 4mi, j −1 − mi+1, j +1 ++ mi+1, j −1 + 4mi+1, j + mi+1, j +1 +(2.6.15))+ mi−1, j +1 + 4mi, j +1 + mi+1, j +1 + P = 0.Умножая (2.6.15) на 3 и подставляя значения m  , m из (2.6.7) – (2.6.14)окончательно получим:− 2mi −1, j −1 + 6mi −1, j − 2mi −1, j +1 ++ 6mi , j −1 − 16mi , j + 6mi , j +1 −− 2mi +1, j −1 + 6mi +1, j − 2mi +1, j +1 + 3P = 0(2.6.16)65Решим ранее рассмотренную задачу с использованием уравнения (2.6.16)при h =31: −16m1,1 + 3P = 0 . Откуда m1,1 = = 0.1875 .216По (4.6) − 4w1,1 = −1m1,1 ; w1,1 = 0.01172 (погрешность 1%).22Сгустим расчетную сетку и найдем решение при h =1с учетом симметрии.4Для этого запишем уравнение (2.6.16) для точек 11, 21, 22 (рис.

2.6.2б), полагая,что сила P=1 приложена в точке 22.− 16m1,1 + 12m2,1 − 2m2,2 = 0 ;12m1,1 − 20m2,1 + 6m2, 2 = 0 ;− 8m1,1 + 24m2,1 − 16m2, 2 + 3 1 = 0 .Решая систему уравнений, получим m1,1 = 0.0714, m2,1 = 0.1607 , m2, 2 = 0.3929 .Для тех же точек запишем уравнение (2.6.6)− 4w1,1 + 2w2,1 = −10.0714;422w1,1 − 4w2,1 + w2, 2 = −4 w2,1 − 4 w2, 2 = −Откуда10.1607 ;4210.3929.42w1,1 = 0.00572,значительно возросла (32.3%).w2,1 = 0.00921,w2, 2 = 0.0153.Погрешность66Запишем для точек 11, 21 обычные уравнения МКР, а для точки 22 –(2.6.16):− 4m1,1 + 2m2,1 = 0 ;2m1,1 − 4m2,1 + m2, 2 = 0 ;− 8m1,1 + 24m2,1 − 16m2, 2 + 3 1 = 0 .Решив систему, получим m1,1 = 0.0536, m2,1 = 0.1071, m2,2 = 0.3214 . Вновьрешая систему уравнений относительно прогибов− 4w1,1 + 2w2,1 = −10.0536 ;422w1,1 − 4w2,1 + w2, 2 = −4w2,1 − 4w2, 2 = −10.1071;4210.3914 , получим w1,1 = 0.00419 , w2,1 = 0.0067 , w2, 2 = 0.0117 .42Выше нами продемонстрировано два подхода к расчету пластин на действиесосредоточенной нагрузки.

В первом случае действие сосредоточенной силызаменялось локальной полосовой нагрузкой типа «крест», во втором случае дляполучения алгебраического уравнения, аппроксимирующего (4.1) в точкеприложения нагрузки, рассматривалось равновесие локальной области.При реализации второго подхода, увеличивая число разбиений расчетнойсетки, мы одновременно повышаем степень сосредоточения нагрузки. Т.е. числоразбиений не только будет увеличивать точность, но и приближать к абстракциисосредоточенной силы.

Это интересно с точки зрения сопоставления саналитическим решением. Но сосредоточенной силы (в понимании точечнойсилы, силы приложенной в точку) в природе нет. Поэтому для численного метода67не меньший интерес представляет разработка алгоритма на действие локальныхнагрузок с большой степенью сосредоточения.2.6Выводы по главе 2.В главе 2 разработан алгоритм расчета по МПА ортотропных пластин настатические нагрузки с одновременным определением безразмерных погибов w иих вторых частных производных w = 2 w   2 w; w = 2 . Тестовых задачи по расчету 2пластин с различными краевыми условиями иллюстрируют быструю сходимостьрешений и достаточную для практического применения точность разработанногоалгоритма.

Эти обстоятельства позволяют распространить разработанный здесьалгоритм на решений задач по расчету ортотропных пластины на свободные ивынужденные колебания, что выполнено в 3 главе настоящей диссертации.Отдельным параграфом рассмотрен вопрос локализации поперечной нагрузки спривлечением обобщенных уравнений МКР.68Глава 3: Численное решение задач о свободных и вынужденных колебанияхортотропных пластин.3.1. Алгоритм расчета ортотропных пластин по определению частот и формсобственных колебаний: примеры расчета.Материал пластин в отношении своих упругих свойств обладает тремяплоскостями симметрии.