Диссертация (Расчет ортотропных пластин на динамические нагрузки), страница 5

Для случая однородных условий, в частности, будемиметь по §2.1 для края  = 0 следующее.Шарнирно опертый край:w = 0;2w 2w== 0. 2  2(2.2.6)Жестко заделанный край:2www = 0; 2 = 0;= 0.Свободный от закреплений край рассмотрим в общем случае:(2.2.7)32m( )q0 av 0yww ==−− (2 −  ).q0 a = m0 ( )v0( )=M y0;2(2.2.8)При  = 0 для свободного края имеем:0 vww = x =−− (2 −  ).q0 a m ( ) = 0 m ( ) =0 ( )vM x0;q0 a 2(2.2.9)Если пересекающиеся под прямым углом стороны пластинки шарнирнооперты или жестко заделаны, то в угловой точке:2w2ww = 0; 2 = 0; 2 = 0 .(2.2.10)Если обе стороны плиты в угловой точке свободны от закреплений, то вугловой точке:2w 2w= 2 = r = 0;2Rr=.q0 a 2(2.2.11)Если в угловой точке одна сторона плиты свободна, другая – шарнирнооперта, то справедливо выражение (2.2.10).Если в угловойточке одна сторона плиты свободна, другая – жесткозакреплена, то:w = 0;или:2ww= 0;= 0;2(2.2.12)33w = 0;2ww= 0;= 0.2(2.2.13)Введем обозначения:w = 2 w   2 w   2 w;w =;w = 2 . 2(2.2.14)С учетом (2.2.14) из дифференциального уравнения четвертого порядка(2.2.1) получим дифференциальное уравнение в частных производных второгопорядка относительно двух неизвестных w ; w : 2 w 2 w 2 w  2 w+++=p . 2 2 2 2(2.2.15)При учете (2.2.14) формулы (2.2.3); (2.2.4) примут следующий вид:m( ) = −( w +  w );( )m = −( w +  w ); (2.2.16)m( ) =  w ;(2.2.17)( w +  w );=−( w +  w ); q ( ) = −q( )(2.2.18)краевые условия при  = 0 запишутся так:Шарнирно опертый край:w = 0; w = w = 0 .(2.2.19)Жестко заделанный край:w = 0; w = 0; w = 0 .(2.2.20)34где w =w.Свободный от закреплений край:m( )0 ( )vq0 a0vyww ==−− (2 −  ).q0 a = m0( )=M y0;2(2.2.21)При  = 0 для свободного края имеем:0 vww = x =−− (2 −  ).q0 a m ( ) = 0 m ( ) =0 ( )vM x0;q0 a 2(2.2.22)Вместо (2.2.10); (2.2.12) с учетом введенных новых неизвестных получимсоответственно (2.2.19) и (2.2.20).Условия (2.2.11); (2.2.13) запишутся так:w = w = r = 0 ;(2.2.23)w = 0; w = 0; w = 0; .(2.2.24)где w =w.352.3.Аппрокцимациядифференциальныхуравненийикраевыхусловий разностными уравнениями МПА.В [25] дается разностнаяаппроксимация дифференциального уравнениявторого порядка общего вида:2ww2ww2w+++++ 2 2n+ ( ii =1 2 wiwi 2 wiwi 2 wi++++) = − p.iiii 2 2(2.3.1)Дифференциальное уравнение (2.2.15) является частным случаем (2.3.1).Роль неизвестных w; wi в (2.2.15) играют подлежащие определению величиныw ; w .

Поэтому для оппроксимации (2.2.15) разностным уравнением МПАсогласно §2.5 [25] необходимо записать в левой части (2.1.21) работы [25] еёлинейную комбимацию с заменей: w на w при  =  =  = 0 и w1 на w при1 =  ; 1 = 1 =  1 = 0;  1 = 1, а второй части (2.1.2) [25] p следует заменить на − p . Витоге получим разностное уравнение относительно неизвестных w и w .Запишем это уравнение на равномерной сетке с шагами h и  , полагая, что p впределах элементов I, II, III, IV (рис.

2.2) постоянно, но на границах терпит разрывI рода.36Рис.2.2При записи разностной аппроксимации дифференциального уравнения(2.2.15) будем полагать также, что функции w и w непрерывны; возможныконечные разрывы частных производных этих функций:37(+h−2(+ (hhhh− 5+ h− h  ) wi−1, j −1 + 2(5h−h) wi, j −1 − 20() wi+1, j −1 + 2(5wi, j −1 − (2I − IIhhhh+−+) wi−1, j + (hhh+h) wi, j − 2() wi+1, j + ()( I − II wi,j +hhh) wi−1, j +1 −− 5+III − IVhh) wi, j +1 +) wi+1, j +1 −wi,j )+III − IV+ II − IV wi,j ) +h −  I − III wi+ 2 )( I − III wi−1, j − (,jh hIII − IVI − III+4 ( I − II wiwiwi, j −1/ 2 +, j +1/ 2 ) + 4 h(−1/ 2, j +wi, j +1  −wi+1, j  +hII − IVwi+1/ 2, j ) +h h  h+ ) wi− ) wi −1, j + ( + ) wi−1, j −1 + 2(5−1, j +1 −h h h h h h−(2 − 5 ) wi+ ) wi , j − 2( − 5 ) wi+, j −1 − 20(hh h , j +1 h h  h+ ( + ) wi− ) wi +1, j + ( + ) wi+1, j −1 + 2(5+1, j +1 −h h h  h I − II  III − IV hh− h  I − II wi+ )( wi , j +wi , j ) +, j −1 − (2h + (hII − IVIII − IVwi , j +1  −h II − IV   II − IV−  I − III wi+ 2 )( I − III wiwwi +1, j  +−1, j − (,j +i, j ) + hh hI − IIIII − IVI − IIIII − IV+4 ( wi , j −1/ 2 +wi , j +1/ 2 ) + 4 h(wi −1/ 2, j +wi +1/ 2, j ) == 3 h( I pij +pij +IIIIIpij +IV(2.3.2)pij ),При  = h уравнение (2.3.2) упрощается и запишется в виде (2.3.3):( +  ) wi−1, j −1 + 2(5 −  ) wi−1, j + ( +  ) wi−1, j +1 −−(2 − 5 ) wi, j −1 − 20( +  ) wi, j − 2( − 5 ) wi, j +1 ++( +  ) wi+1, j −1 + 2(5 −  ) wi+1, j + ( +  ) wi+1, j +1 ++( + 1) wi−1, j −1 + 2(5 − 1) wi−1, j + ( + 1) wi−1, j +1 −−2( − 5) wi, j −1 − 20( + 1) wi, j − 2( − 5) wi, j +1 +(2.3.3)+( + 1) wi+1, j −1 + 2(5 − 1) wi+1, j + ( + 1) wi+1, j +1 ++h I − IIqi(,j)−1 − 4 I − II qi(,j)−1/2 − (2 + )  I − II qi(,j) + III − IV qi(,j)  − 4 III − IV qi(,j)+1/2 +III − IVqi(,j)+1  +)))II − IV I − III qi(,j) + II − IV qi(+1/2, II − IV qi(+1/2,+ h  I − III qi(−1,) j − 4 I − III qi(−1/2,qi(+1,) j =j − (2 +  ) j−4j += 3h 2 ( I pij + II pij + III pij + IV pij ).В (2.3.2):I − IIIIwi, j = wi , j − wi , j ;I − IIIIIIIwiwi, j = wi , j −,j ;38w =3w; 3w =3w. 2 аналогичный смысл.

Например,Остальные величины подобного вида имеютI − IIIwi , j = wi , j −IIIIwi , j ; w3w= 3.Верхний левый индекс означает принадлежность разрывной величины томуили иному элементу. Например,Ipij - принадлежащее I элементу (рис. 2.2)значение p в точке ij, в которой p может претерпевать конечный разрыв. ИлиI − IIwi , j −1 = wi , j −1 − wi , j −1 ; wIII3 w= 2 ; IIwiв точке i, j – 1;, j −1 - значение wпринадлежащее элементу II. Величины w будут отличны от нуля только в томслучае, если в плите имеется цилиндрический шарнир, расположенныйпараллельно оси  .Будем полагать, что упомянутые выше шарниры отсутствуют. Тогда в (2.3.2)все w = 0; аналогично все w = 0.

Если же считать, что имеются полосовыенагрузки, расположенные вдоль осей координат, то из (2.2.18) следует:1w = − q ( ) ; w = −q ( ) .2(2.3.4)В [22] со ссылкой на [25] приводится дополнительное уравнение дляопределения упомянутых вышеw ,w ,и алгоритм расчета строитсяотносительно этих двух неизвестных.Имея в виду, что в динамических задачах одновременно с w , wпроходится определять на каждом временном слое и w , здесь алгоритм решениястатической задачи также построим относительно трёх неизвестных: w , w и w .Увеличение числа неизвестных в каждой внутренней точке сетки до трёх напервый взгляд усложняет задачу. Но этот алгоритм открывает путь решениядинамической задачи. Кроме того, применяемые нами уравнения, за исключением(2.3.2), будут не сложнее предложенных в [22].39Для определения безразмерных прогибов wвоспользуемся уравнением,полученным с использованием результатов [25] на равномерной сетке с шагом hпри непрерывных w , w и w :wi , j −1 − 2wij + wi , j +1 =h 2 h3 ( )(w i , j −1 + 10 w+w)+qij .i, ji , j +11212(2.3.5)Уравнение (2.3.5) можно записать в направлении оси  ; для этогодостаточно в (2.3.5)  , i, j заменить соответственно на  , i, j :wi −1, j − 2wij + wi +1, j =h 2 h 3 ( )(w i −1, j + 10 w +w)+qij .i, ji +1, j1212(2.3.6)Уравнение (2.3.5) справедливо для всех линий сетки, параллельных оси  (втом числе для свободных от закреплений краев, на которых w  0 ); уравнение(2.3.6) – для линий, параллельных оси  .Если плита шарнирно оперта по всему контуру, поскольку на краях в этомслучае w = w = w = 0 , уравнения (2.3.4), (2.3.5), (2.3.6) образуют замкнутуюсистему линейных алгебраических уравнений для определения трех неизвестныхw , w и w во всех внутренних точках сетки.

Разумеется, эти уравнения должныбыть записаны для всех расчетных точек с учетом краевых условий.Если хотя бы одна из сторон пластины жестко заделана или свободна отзакреплений, упомянутую выше систему уравнений следует решать совместно суравнениями для краевых точек, которые следуют из разностной аппроксимациикраевых условий.Здесь мы при решении статических задач воспользуемся теми уравнениямидля краевых точек, которые получены в [22] для ортотропных пластин сиспользованием результатов работы [25].

В частности, в случае квадратной сеткидля точки ij левого жестко заделанного края прямоугольной плиты справедливоследующее уравнение [22], полученное с учетом (2.2.20):407 wi−1, j + 6 wi−1, j +1 − wi−1, j + 2 + 2 wi −1, j +1 − wi −1, j + 2 −−14wi, j − 12 wi , j +1 + 2 wi , j + 2 − 28wi , j +1 + 2 wi , j + 2 +7 wi+1, j + 6 wi+1, j +1 − wi+1, j + 2 + 2 wi +1, j +1 − wi +1, j + 2 ++2(2.3.7)h  III − IV ( ) III − IV ( ) qij −qi , j +1  = 0Для точкиij верхнего заделанного края плиты (2.3.7) записывается поаналогии с заменой  ,  , i, j соответственно на  , , j, i при  = 1 .Для точки ij левого ( = 0 ) свободного от закреплений края ортотропнойпластины справедливо следующее уравнение [22]:( −  ) w2i −1, j++2   ( 2 +  ) −  − 2  wij + 2 ( 2 −  ) wi, j +1 + 2wi, j +1 ++ ( −  2 ) wi+1, j − h 2 pij +(2.3.8)+2h 0 ij( ) −  0 mi(−1,) j + 2 (1 +  ) 0 mi(, j) −  0 mi(+1,) j = 0причем: wij = −  wij − 0 mij( ) (2.3.9)Для точки ij верхнего ( = 0 ) свободного края уравнение [22] имеет вид:  2       2  − 1 − 2  wij + 1 −1 −w +2  2+w +  i , j −1      i , j +1+2(2 −  ) wi+1, j + 2 wi+1, j − h 2 pij ++2h 0 ij( ) −(2.3.10) 0 ( ) mi , j −1 + 2 1 +  0 mi(,j) − 0 mi(,j)+1 = 0 В расчетных точках свободного края величина wij при ( = 0 ) вычисляется поформуле: wij = − wij −0mij( ).(2.3.11)В уравнениях (2.3.8) – (2.3.11): 0 ( ) , 0 ( ) , 0 m( ) , 0 m( ) - соответственно заданные(в частности, нулевые) значения обобщенных поперечных сил и изгибающихмоментов на свободных от закреплений краях плиты.При  = 1,  =  , =  , i = j, j = i уравнения (2.3.8) и (2.3.10) совпадают.

Дляточка ij правого края и соответственно для точки ij нижнего края уравнения41(2.3.7), (2.3.8) и (2.3.10) записываются в «зеркальном отображении» при этом 0 ( )и 0 ( ) меняют знак на обратный.2.4.Составление с алгоритма расчета и программы для ЭВМ.Для решения алгебраических уравнений используем итерационный методЗейделя. В этом случае упрощается программа: нет необходимости в составленииматрицы коэффициентов при неизвестных и хранении её в памяти ЭВМ.Уравнения представляются в виде, удовлетворяющем необходимому условиюсходимости итерационного процесса, т.е. так, чтобы коэффициенты принеизвестных в правой части уравнений, формально разрешенных относительнонеизвестного в точке ij сетки, не превышали по абсолютному значению единицы.Запишем уравнения (2.3.5) и (2.3.6) в следующем виде:wi , j −1 − 2wij + wi , j +1 = wi, j −1 + 10 wi , j + wi , j +1 + hqij ;(2.4.1)wi −1, j − 2wij + wi +1, j = wi−1, j + 10wi, j + wi+1, j + hqij ;(2.4.2)где w =12w.h2(2.4.3)Вычитая (2.4.1) из (2.4.2), исключим wij :wij −− wi , j −1 − wi , j +1 ++ wi +1, j −−wi−1, j ++ wi, j −1 − 10wij + 10wij + wi , j +1 −− wi+1, j = h  qij( ) − qij( )  .(2.4.4)Далее запишем (2.4.4), умножая соответственно на 2( + 1) и на −2( +  ) , вследующем виде:−2( + 1) wi−1, j ++2( + 1)wi, j −1 + 20( + 1)( wij − wij ) + 2( + 1) wi , j +1 −42−2( + 1) wi+1, j +()−2( + 1) wi −1, j − wi , j −1 − wi , j +1 + wi +1, j == h (  + 1)   I − II qij( ) +  III − IV qij( ) − I − III qij( ) − II − IV qij( )  ;(2.4.5)2( +  ) wi−1, j +−2( +  )wi, j −1 + 20( +  )( wij − wij ) − 2( +  ) wi , j +1 ++2( +  ) wi+1, j −()−2( +  ) wi −1, j − wi , j −1 − wi , j +1 + wi +1, j == h ( +  )   I − II qij( ) +  III − IV qij( ) − I − III qij( ) − II − IV qij( )  .(2.4.6)При записи (2.4.5) и (2.4.6) принято:qij( ) =1  I − II ( )qij +2III − IVqij( )  ; qij( ) =1  I − III ( )qij +2II − IVqij( )  .(2.4.7)Уравнение (2.3.4) суммируем отдельно с (2.4.5) и (2.4.6):( +  ) wi−1, j −1 + 2(5 − 2 − 1) wi−1, j + ( +  ) wi−1, j +1 −−2( − 5 ) wi, j −1 − 20( + 2 + 1) wi, j − 2( − 5 ) wi, j +1 ++( +  ) wi+1, j −1 + 2(5 − 2 − 1) wi+1, j + ( +  ) wi+1, j +1 ++( + 1) wi−1, j −1 + 2(5 − 1) wi−1, j + ( + 1) wi−1, j +1 ++12wi, j −1 +12 wi , j +1 ++( + 1) wi+1, j −1 + 2(5 − 1) wi+1, j + ( + 1) wi+1, j +1 +()+2 (  + 1) wi −1, j − wi , j −1 − wi , j +1 + wi +1, j ++h +h I − III − IIIqi(,j)−1 − 4 I − II qi(,j)−1/2 −  3 + +    I − II qij( ) + III − IV qij( )  − 4 III − IV qi(,j)+1/2 + ))I − IIIqi(−1,) j − 4 I − III qi(−1/2,qij( ) − II − IV qij( ) − 4 II − IV qi(+1/2,j −j +II − IVIII − IVqi(,j)+1  +qi(+1,) j == 3h 2 ( I pij + II pij + III pij + IV pij );(2.4.8)43( +  ) wi−1, j −1 + 12 wi−1, j + ( +  ) wi−1, j +1 −−2( − 5 ) wi, j −1 −2( − 5 ) wi, j +1 ++( +  ) wi+1, j −1 + 12 wi+1, j + ( +  ) wi+1, j +1 ++( + 1) wi−1, j −1 + 2(5 − 1) wi −1, j + ( + 1) wi −1, j +1 −+2(2 +  − 5) wi, j −1 + 20(2 +  + 1) wij − 2(2 +  − 5) wi , j +1 ++( + 1) wi+1, j −1 + 2(5 − 1) wi +1, j + ( + 1) wi +1, j +1 −()−2( +  ) wi −1, j − wi , j −1 − wi , j +1 + wi +1, j ++h +h I − III − IIIqi(, j)−1 − 4 I − II qi(, j)−1/2 +   +  − − 2   I − II qij( ) +) I − III qij( ) +qi(−1,) j − 4 I − III qi(−1/2,j − (2 + 2 +  ) = 3h 2 ( I pij + II pij +IIIpij +IVII − IVIII − IVqij( )  − 4 III − IV qi(, j)+1/2 +)qij( )  − 4 II − IV qi(+1/2,j +II − IVIII − IV qi(, j)+1  +qi(+1,) j =pij );(2.4.9)При  = 1;  =  ; =  ; i = j; j = i коэффициенты при w , w в (2.4.8) и (2.4.9)совпадают.Далее суммируем уравнения (2.4.2), (2.4.1) с учетом (2.4.7):wi −1, j ++wi , j −1 − 4wi , j + wi , j +1 ++ wi +1, j == wi−1, j ++ wi, j −1 + 10( wij + wij ) + wi , j +1 ++ wi+1, j + .h+  I − II qij( ) +2III − IVqij( ) +I − IIIqij( ) +II − IVqij( )  .(2.4.10)Решая (2.4.8), (2.4.9) формально относительно wij , wij и преобразуя (2.4.10),получимвыражениядляитерационногорешенияэтихуравненийнепревышающими единицы коэффициентами при неизвестных в правой части:с44wij = ( +  )( wi−1, j −1 + wi−1, j +1 + wi+1, j −1 + wi+1, j +1 ) ++2(5 − 2 − 1)( wi−1, j + wi+1, j ) + 2( + 5 )( wi, j −1 + wi, j +1 ) ++(1 +  )( wi−1, j −1 + wi −1, j +1 + wi +1, j −1 + wi +1, j +1 ) ++2(5 − 1)( wi−1, j + wi +1, j ) + 12( wi , j −1 + wi , j +1 ) ++5(1 +  )( wi −1, j − wi , j −1 − wi , j +1 + wi +1, j ) + I − II ( ) III − IV ( )1 +  I − II ( ) III − IV ( )qi , j −1 +qi , j +1  − 4h  I − II qi(,j)−1/2 + III − IV qi(,j)+1/2  − h(3 + )qij +qij  + )II − IV) I − III qij( ) + II − IV qij( )  −+ h  I − III qi(−1,) j + II − IV qi(+1,) j  − 4h  I − III qi(−1/2,qi(+1/2,j +j  −h+h− 3h 2 ( I pij +IIpij +IIIpij +IVpij ) / 20a;(2.4.11)wij = ( +  )( wi−1, j −1 + wi−1, j +1 + wi+1, j −1 + wi+1, j +1 ) ++12 ( wi−1, j + wi+1, j ) + 2(5 −  )( wi, j −1 + wi, j +1 ) ++(1 +  )( wi−1, j −1 + wi −1, j +1 + wi +1, j −1 + wi +1, j +1 ) ++2(5 − 1)( wi−1, j + wi +1, j ) + 2 ( 5 −  − 2 ) ( wi , j −1 + wi , j +1 ) −−5( +  )( wi −1, j − wi , j −1 − wi , j +1 + wi +1, j ) + I − II ( ) III − IV ( ) −1qi , j −1 +qi , j +1  − 4h  I − II qi(,j)−1/2 + III − IV qi(,j)+1/2  − h( + − 2)  I − II qij( ) + III − IV qij( )  +I − III( )II − IV( )I − III( )II − IV( )+ h qi −1, j +qi +1, j  − 4h qi −1/2, j +qi +1/2, j  − h ( 2 + 2 +  )  I − III qij( ) + II − IV qij( )  −+h− 3h 2 ( I pij +IIpij +IIIpij +IVpij ) / 20a;(2.4.12)где  = 1 +  + 2 ;()wij = 0, 25 wi −1, j + wi , j −1 + wi , j +1 + wi +1, j −−0,1( wi−1, j + wi+1, j + wi , j −1 + wi , j +1 ) − wij − wij −(2.4.13)−0, 05h  I − II qij( ) + III − IV qij( ) + I − III qij( ) + II − IV qij( )  ;В этих уравнениях w =w 24 w=.2,5 5 h 2(2.4.14)Уравнения, описывающие краевые условия, также можно представить в видеподготовленном для итерационного решения задачи.45Из (2.3.7) для точки ij левого жестко заделанного края плиты имеем:wij = 7 wi−1, j + 6 wi −1, j +1 − wi −1, j + 2 + 2 wi −1, j +1 − wi −1, j + 2 −−14wi, j − 12 wi , j +1 + 2 wi , j + 2 − 28wi , j +1 + 2 wi , j + 2 +7 wi+1, j + 6 wi +1, j +1 − wi +1, j + 2 + 2 wi +1, j +1 − wi +1, j + 2 ++2(2.4.15)h  III − IV ( ) III − IV ( )  qij −qi , j +1   / 28.Для точки ij верхнего заделанного края плиты (2.4.15) записывается с заменой ,  , i, j соответственно на  , , j , i .