Диссертация (Расчет ортотропных пластин на динамические нагрузки), страница 8

При отсутствии динамической нагрузки пластина можетсовершать свободные колебаниями, вызванные возмущениями, которые задаютсяв виде начальных условий. Полагая, что свободные колебания являютсягармоническими,ииспользуяметодразделенияпеременных,получаютдифференциальное уравнение для определения как частот, так и форм колебаний,которое для ортотропных пластин постоянной толщины без учета поглощенияэнергии [78] при переходе к обозначению жесткостей по [120] имеет вид:Dx 4W 4W 4W+2H+D−  2 W = 0.yx 4x 2y 2y 4(3.1.1)где  - круговая частота собственных колебаний;  масса пластины на единицуплощади; W- прогиб; Dx , D y , Н- жесткости ортотропных пластин в трех взаимноперпендикулярныхнаправлениях,значениякоторыхопределяютсяэкспериментальным путем.При Dx = H = Dy = D из (3.1.1) можно получить уравнение изотропных плит.Для перехода к безразмерным величинам положим:a=DyDxH.; =;  = xa −1 ; = ya −1 ; w = WDyDy a4(3.1.2)где a – длина одной из сторон; x,y- оси координат.Запишем уравнение (3.1.1) с учетом безразмерных величин:d 4wd 4wd 4w+2+− w = 0.d 4d 2 d 2 d 4где  - безразмерная величина:  =  2(3.1.3)a 4Dy.(3.1.4)69Дифференциальное уравнение четвертого порядка (3.1.3) представим какдифференциальноеуравнениевторогопорядка,относительновторыхпроизводных w :d 2 wd 2 wd 2 w d 2 w+++= w.d 2d 2d 2d 2где w =d 2 w  d 2 w.;w =d 2d 2(3.1.5)(3.1.6)Задаваясь шагом сетки h и при этом принимая разрывы равными нулю,разностную аппроксимацию (3.1.5) по методу последовательных аппроксимацийполучим:( +  ) wi−1, j −1 + 2(5 −  ) wi−1, j + ( +  ) wi−1, j +1 −−2( − 5 ) wi, j −1 − 20( +  ) wi, j − 2( − 5 ) wi, j +1 ++( +  ) wi+1, j −1 + 2(5 −  ) wi+1, j + ( +  ) wi+1, j +1 ++( +  ) wi −1, j −1 + 2(5 − 1) wi −1, j + ( + 1) wi −1, j +1 −−2( − 5) wi , j −1 − 20( + 1) wi , j − 2(2 − 5) wi , j +1 +(3.1.7)+( + 1) wi +1, j −1 + 2(5 − 1) wi +1, j + ( + 1) wi +1, j +1 =h2 ( wi −1, j −1 + 4wi −1, j + wi −1, j +1 + 52wi , j +6+4wi , j +1 + wi +1, j −1 + 4wi +1, j + wi +1, j +1.=На рисунке 3.1 показан фрагмент сетки, на которой строится решение.Каждое из выражений (3.1.6) формально можно рассматривать как обыкновенноедифференциальное уравнение второго порядка.

Аппроксимируя их разностнымиуравнением Б.В.Нумерова [96], которое является частным случаем уравнения в[22], получим:70Рис.3.1. - Фрагмент сеткиi,j- координаты точекwi , j −1 − 2wij + wi , j +1 =h2 (w i , j −1 + 10 wi , j + w i , j +1 );12(3.1.8)wi −1, j − 2wij + wi +1, j =h 2 (w i −1, j + 10 w i , j + w i +1, j ).12(3.1.9)При решении задач удобнее пользоваться линейными комбинациями этихуравнений, а именно их разностью и суммой:h 2 (w i , j −1 +12+10 wi , j + w i , j +1 − w i −1, j − 10 w i , j − w i +1, j ) = 0wi −1, j + wi +1, j − wi , j −1 − wi , j +1 +h 2 (w i , j −1 +12+10 wi , j + w i , j +1 + w i −1, j + 10 w i , j + w i +1, j ) = 0(3.1.10)wi −1, j − 4 wi , j + wi +1, j + wi , j −1 + wi , j +1 −(3.1.11)Определим частоты шарнирно опертой ортотропной плиты на сетке 2×2, решаяуравнение (3.1.7) совместно с уравнениями (3.1.10) и (3.1.11).

Записываем этиуравнения для точки с координатами ξ,=1,1, учитывая краевые условияw===0 и принимая h=1/2, получим:−20( +  ) w1,1− 20( + 1) w1,1−26 1w1,1 = 03 2271−10w1,1+ 10w1,1= 0;10(w1,1+ 10w1,1) = −4 12  22 w1,1. 0 получим  =(1+2 +При w1,188,62.Из формулы (3.1.4) находим значение круговой частоты собственных колебаний:=9, 411 + 2 + а2Dy.(3.1.12)В работе [1] определена частота основного тона колебаний ортотропной шарнирноопертой по контуру квадратной пластины:=2а21 + 2 + Dy=9,871 + 2 + а2Dy.(3.1.13)Полученное в данной статье значение круговой частоты отличается от результатаработы [78] на 4,66%.Для уточнения результата следует решать на более мелкой сетке и приконкретных значенияхи.Представляет интерес сравнение полученных нами численных решений сприближенными решениями задач в работе [123] методом декомпозиции.

В этойработе приближенная формула для частоты основного тона колебаний, вчастности, квадратной ортотропной плиты с защемленным контуром, даетрезультат, совпадающий с результатом [78], полученным энергетическимметодом, и отличается от найденного решения при числе разбиений=16 на 0,2%.Полученные решения в [78] и [123] не распространяются на плиты, у которых хотябы одна сторона свободна от закреплений, и дает значения только минимальнойчастоты.Разработанная численная методика предусматривает любую комбинациюкраевых условий и позволяет при необходимости найти высшие частоты, для чего72используется приведенный здесь алгоритм.

Отличие состоит только в том, чтоитерационный процесс начинается с уже найденного значения. Численный методпоследовательных аппроксимаций дает возможность строить алгоритм расчета,как при действии статических, так и динамических нагрузок [31,116]. Наряду спредставленным методом можно указать работу [9], где для расчета изотропныхплит на динамические воздействия используются методы непосредственногоинтегрированиядифференциальныхуравненийдвиженияирешениесприменением функций А.Н.Крылова.3.2.Примеры расчета ортотропных плит по определению частот и формсобственных колебаний.В качестве первого примера расчета по составленной программе рассмотримквадратную шарнирно опертую по контуру ортотропную пластину, для которойбыла получена при минимальном числе разбиений величинаопределять  =  1a2y,где  =  ;. Ниже будем(3.2.1)(3.2.2).Тогда для рассматриваемого примера получим: = 9, 41 1 + 2 +  .(3.2.3)В приведенных далее примерах будем полагать, = 0, 4823;  = 0, 6944;  = 0, 2083.(3.2.4)При этих значениях коэффициентов следует  = 15,9400.

Точный результат[78]  = 16,7234.В табл. 3.1 приводятся значения min , полученные на различных сетках: внижней строке- погрешность численных результатов по сравнению с результатами[78]; n-число разбиений стороны плиты.73Таблица 3.1.n248121615,940016,674316,720416,723216,7227Погрешность-4,7-0,3-0,02-0,001-0,004в%Второй пример расчета.Прямоугольная ортотропная плита, жестко заделанная по всему контуру(рис.2.4).

В [78] энергетическим методом получено приближенное значение min .Запишем формулу (63.5) [78] в следующем виде:=22, 45 1 DxH+ 0,5H 2 + Dy ;24 CbC(3.2.5)где C = а/b.Перепишем (3.2.5) с учетом (2.2.2):a2 a4 1 = 22, 45  + 0,5 H  2 + 4  2bb aDy;(3.2.6)Сопоставляя (3.2.6) с (3.2.1), получим: = 22, 45  + 0,571a2 a4+.b2 b4При значениях  ,  по (3.2.7) и(3.2.7)a= 0,5 (рис.2.4) по (3.2.7) найдем:b = 22, 45 0, 4823 + 0,571 0,6944  0,52 + 0,54 = 18,01.74В табл. 3.2 даются значения, вычисленные по составленной намипрограмме при различных знаниях числа разбиений n меньшей стороныортотропной плиты по рис.

2.4.Таблица 3.2n28121615,12217,95517,95917,962Видно, что табл. 3.2 иллюстрирует сходимость численного решения. Еслиabплита квадратная, по (3.2.7) ( = 1 ) получим  =30,77. В табл.3.3 даются значения для квадратной ортотропной плиты со всеми четырьмя заделанными сторонами.Отметим, что для ортотропной плиты форма колебаний не симметричнаотносительно диагонали.Таблица 3.3n481633,22530,74830,708Полученные результаты близки к приближенным результатам [78],найденным энергетическим методом.В табл.3.4 даются значения w в расчетных точках рис. 3.2 они определяютформу основного тона собственных колебаний квадратной ортотропной плиты,жестко заделанной по всему контуру.

Эта форма соответствует значению = 30, 75 , вычисленному при n=8 (табл.3.3)75Рис.3.2Таблица 3.4i/j123410,03390,10770,17410,200020,10530,31520,49920,570730,16660,49160,77280,881540,19000,55900,87721Третий пример расчета.Изотропная прямоугольная плита, у которой две стороны шарнирноопертые, две другие жестко заделаны (рис.3.3). Формула дляпри=D.следует из (3.2.1)76Рис.3.3По формуле (8.80) [121] находим частоту основного тона собственныхколебаний.Для расчета изотропных плит на ЭВМ достаточно в составленной намипрограмме положить  =  = 1;  =  где  - коэффициент Пуассона.

Значения  ,полученные для рассматриваемой задачи на ЭВМ, приводятся в табл.3.5 приразличных значениях разбиения n меньшей стороны плиты. =  2 1 + 1,5062  0,54 + 2  0,52  1  1, 248 = 13, 765.Табл.3.5n213,396413,660813,6841213,685При n=16 погрешность численного решения -0,58%1613,68677Четвертый пример расчета.Квадратная изотропная плита, у которой три стороны шарнирно оперты,четвертая - свободная от закреплений (рис.3.4)Рис.3.4По формуле (8.80) [121] при  = 0,3 для рассматриваемого примераполучим: min =  2 1 + 2  1  0, 7 32= 11, 783 .В табл.3.6 даются значения  , вычисленные на ЭВМ при различных nразбиениях стороны плиты.Табл.3.6n48121611,49211,63911,66811,675При n=16 погрешность численного решения -0,92%.78Выводы по §3.1 и §3.2.