Диссертация (Расчет ортотропных пластин на динамические нагрузки), страница 9

Построенный выше численный алгоритм дляопределенияи форм собственных колебаний, обладает высокой точностью. Чтовидно из приведенных примеров расчета как изотропных, так и ортотропныхпластин. Это обстоятельство позволяет на базе разработанной методики перейти красчету ортотропных пластины на вынужденные колебания. Затухание колебанийне учитывалось: взятые для сравнения известные результаты получены без учетадемпфирования.Отметим также, что в нашей работе МПА впервые используются дляопределения частот и форм собственных колебаний пластин.

В работах [25]получены численные решения МПА по расчету пластин и пологих оболочек, нотолько на вынужденные колебания.3.3 Методы прямого интегрирования дифференциальных уравнений вдольоси времени.Термин «прямое» [9] означает, что предварительно не производится никакихпреобразований уравнений движения типа разделения переменных.

Равновесиетой или иной системы с учетом сил инерции (и демпфирования) рассматривается вдискретных точках временных интервалов. При этом используется методикачисленного решения статических задач на каждом временном слое.В [9] подробно изложены методыпрямого интегрирования: Хаболта,Вилсона, Ньюмарка. Показано, что схема интегрирования Хаболта представляетсобой метод, аналогичный методу центральных разностей.

Методы Вилсона иНьюмарка в [9] представленны как модификации метода линейного ускорения.Это означает, что искомое перемещение в интервале времени t меняется позакону кубической параболы. В [9] показано также, что методы Ньюмарка иВилсона безусловно устойчивы. Однако достигается это за счет введения79специальных параметров :1,37 в методе Вилсона ив методе= 0,5;Ньюмарка.В работе [25] было предложено описывать изменения вдоль временной оси ввиде параболического сплайна.

Для этого в интервале времени t =  строитсяквадратная парабола по значениямв начале интервала иd конце интервала.Тогда для вычисления ускорения и скорости в конце интервала t =  получаютсяследующие формулы [25]:22Wi tt = − Wi −t 1 − 2 (Wi −1 − Wi ) ;(3.3.1)2Wi t = −Wi −t 1 − (Wi −1 − Wi ) .(3.3.2)где W t =dWd 2W;W tt =; i отсчитывается вдоль оси t.dtdt 2W 2Wtt;W = 2Если в формулах (3.3.1), (3.3.2) W = W ( x, y, t ) ; то W =tttПредложеннаяв[25]методикаинтегрированияявляетсяусловноустойчивой. Она была успешно использована благодаря своей простоте длярасчета на различные динамические воздействия изгибаемых балок, плит, пологихоболочек в [25], а также для расчета сжато-изогнутых балок и пластин в [110].

Вработе [110] показано также, что условием устойчивости метода при расчете плит,является выполнение соотношения  0,5h2 .(3.3.3)где h, - безразмерные шаги сетки соответственно по пространственнымкоординатам и по времени.80На многочисленных примерах приведенных в [25, 110], показано также, чтоустойчивость интегрирования вдоль оси t соблюдается также при нарушенииусловия (3.3.3), например, при 0,5h 2[110].При решении динамических задач в этой главе мы будем пользоватьсяформулами (3.3.1), (3.3.2), соблюдая по возможности условие (3.3.3) длянадежности численной реализации разработанного ниже алгоритма.3.4.

Разработка методики расчета на вынужденные колебания.Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний, т.е уравнениедвижения под действием переменной нагрузки q( x, y, t ) полученное в [78] без учетавнутреннего сопротивления материала, запишем для ортотропной пластинки,переходя к обозначениям жесткостей по [22]:Dx 4W 4W 2W 2W+2H+D+= q ( x, y , t ) ,yx 2 y 2x 2 y 2y 2t 2(3.4.1)В случае учета затухания по Фойгту уравнение (3.4.1) принимает вид:Dx 4W 4W 2W 2WW+2H+D++c= q ( x, y, t ).y42242txx yxt(3.4.2)где c - параметр затухания; t - время.

Пояснения остальных величин даны выше.При Dx = H = Dy = D из (3.4.2) как частый случай следует уравнение дляизотропных плит постоянной жесткости.Приведем (3.4.2) и безразмерному виду: 4W 4W 2W  2WW 4 + 2 2 2 + 2 + 2 + С= p;t ttгде t = 2aDy- безразмерное время; С =c  a2Dy  (3.4.3);p=q ( x, y , t ).q081Далее запишем (3.4.3) с учетом (2.2.14) в следующем виде: 4W  4W  2W   2W +++= p − wtt − С  wt ;4222(3.4.4) 2W t Wгде w = 2 ; w =.tt(3.4.5)ttИз сопоставления (3.4.4) с (3.3.15) следует, что аппроксимация по МПА наквадратной сетке при постоянных в пределах элементов, но разрывных в точке ij(рис.

2.2.) величинах p, может быть выполнена так ψ. w на −( wtt + С  wt ) . Призаписи этого уравнения будем полагать:1  I − II ( ) qi , j −1/2 +  I − II qi(, j)  21  III − IV ( )III − IV ( )III − IV ( )qi , j +1/2 =  qi , j + qi , j +1  21  I − III ( ))I − III ( ) I − III qi(−1/2,=q+qji −1, ji, j 21  II − IV ( ))II − IV ( ) II − IV qi(+1/2,=q+qji, ji +1, j 2 I − II qi(, j)−1/2 =В результате получим:(3.4.6)82( +  ) wi−1, j −1 + 2(5 −  ) wi−1, j + ( +  ) wi−1, j +1 −−2( − 5 ) wi, j −1 − 20( +  ) wi, j − 2( − 5 ) wi, j +1 ++( +  ) wi+1, j −1 + 2(5 −  ) wi+1, j + ( +  ) wi+1, j +1 ++( + 1) wi−1, j −1 + 2(5 − 1) wi−1, j + ( + 1) wi−1, j +1 −−2( − 5) wi, j −1 − 20( + 1) wi , j − 2( − 5) wi , j +1 ++( + 1) wi+1, j −1 + 2(5 − 1) wi+1, j + ( + 1) wi+1, j +1 + + h  − 2  I − II qi(,j)−1 −  4 +   I − II qij( ) + III − IV qij( )  +  − 2  III − IV qi(,j)+1  + + h (  − 2 ) I − III qi(−1,) j − ( 4 +  )  I − III qij( ) + II − IV qij( )  + (  − 2 ) II − IV qi(+1,) j == 3h 2 ( I pij + II pij + III pij + IV pij ) −h2  t twi −1, j −1 + 4wit−t 1, j + wit−t 1, j +1 +6+4 wit,t j −1 + 52 wit,t j + 4 wit,t j +1 ++ wit+t 1, j −1 + 4 wit+t 1, j + wit+t 1, j +1 +(+C wit−1, j −1 + 4wit−1, j + wit−1, j +1 +(3.4.7)+4 wit, j −1 + 52 wit, j + 4 wit, j +1 +)+ wit+1, j −1 + 4 wit+1, j + wit+1, j +1  .При расчете на динамические нагрузки следует иметь в виду, что в (3.4.7):p = p( , , t ); q = q ( , t ); q = q ( , t ).Если эти нагрузки не меняются вдоль пространственных координат, тоp = p(t ); q = q (t ); q = q (t ).Для определения входящих в (3.4.7) wtt и wt воспользуемся формулами(3.3.1) и (3.3.2).

В точке ij пространственной сетки запишем эти формулы вследующем виде:ttwij(k )2= − ij( k −1)ij = −ij(k )( k −1)−(k )5h 2  ( k −1)−w − wij  ;2  ij12(k)5h 2  ( k −1)wij − wij  ;12 (3.4.8)(3.4.9)83Где  = w t ; k- номер временного слоя, на котором определяютсянеизвестные уравнения (3.4.7);  =  - шаг вдоль безразмерной временной оси.Записываем рекуррентные формулы (3.4.8), (3.4.9) для расчетной точки рис.2.2 и подставляем их в (3.4.7). При этом w ; w ; q ( ) ; q ( ) ; p не будем снабжатьверхним индексом k, полагая, что все перечисленные величины относятся квременному слою k. В результате после несложных преобразований получимследующее уравнение:( +  ) wi−1, j −1 + 2(5 −  ) wi−1, j + ( +  ) wi−1, j +1 −−2( − 5 ) wi, j −1 − 20( +  ) wi, j − 2( − 5 ) wi, j +1 ++( +  ) wi+1, j −1 + 2(5 −  ) wi+1, j + ( +  ) wi+1, j +1 ++( + 1) wi−1, j −1 + 2(5 − 1) wi−1, j + ( + 1) wi−1, j +1 −−2( − 5) wi, j −1 − 20( + 1) wi, j − 2( − 5) wi, j +1 ++( + 1) wi+1, j −1 + 2(5 − 1) wi+1, j + ( + 1) wi+1, j +1 +()5h41 +  C 2  wik−1, j −1 + 4wik−1, j + wik−1, j +1 +72k+4 wi , j −1 + 52 wik, j + 4 wik, j +1 +++ wik+1, j −1 + 4wik+1, j + wik+1, j +1  + + h  − 2  I − II qi(, j)−1 −  4 +   I − II qij( ) + + h (  − 2 ) I − III qi(−1,) j − ( 4 +  )  I − III qij( ) += ( k −1) + 3h 2 ( I pij + II pij +где:IIIpij +IVpij ),III − IVII − IV qij( )  +  − 2  III − IV qi(, j)+1  +qij( )  + (  − 2 ) II − IV qi(+1,) j =(3.4.10)84( k −1) =( k −1))(( k −1)( k −1)5h 4 ( k −1)1 +  C 2  wi −1, j −1 + 4wi −1, j + wi −1, j +1 +72 ( k −1)( k −1)+4wi , j −1 + 52wi , j + 4wi , j +1 +( k −1)( k −1)( k −1)+ wi +1, j −1 + 4wi +1, j + wi +1, j +1  +( k −1)( k −1)h 2    ( k −1)+ 1 + C   i −1, j −1 + 4 i −1, j +  i −1, j +1 +3  2  ( k −1)( k −1)(3.4.11)( k −1)+4 i , j −1 + 52 i , j + 4 i , j +1 +( k −1)( k −1)( k −1)+ i +1, j −1 + 4 i +1, j +  i +1, j +1  .Далее уравнение (2.4.5), (3.4.6).

перепишем в следующем виде:−2( + 1) wi−1, j ++2( + 1) wi, j −1 + 20( + 1)( wi, j − wi , j ) + 2( + 1) wi , j +1 −−2( + 1) wi+1, j +(3.4.12)+5( + 1)  wik−1, j − wik, j −1 − wik, j +1 + wik+1, j  −− h( + 1)   I − II qi(,j) +  III − IV qi(,j) −  I − III qi(,j) −  II − IV qi(,j)  = 0;2( +  ) wi−1, j +−2( +  ) wi, j −1 + 20( +  )( wi, j − wi , j ) − 2( +  ) wi , j +1 ++2( +  ) wi+1, j −(3.4.13)−5( +  )  wik−1, j − wik, j −1 − wik, j +1 + wik+1, j  ++ h( +  )   I − II qi(,j) +  III − IV qi(,j) −  I − III qi(,j) −  II − IV qi(,j)  = 0;Суммируя (3.4.10) отдельно с (3.4.12) и отдельно с (3.4.13), получим дваследующих уравнения:85( +  ) wi−1, j −1 + 2(5 − 2 − 1) wi−1, j + ( +  ) wi−1, j +1 −−2( − 5 ) wi, j −1 − 20( + 2 + 1) wi, j − 2( − 5 ) wi, j +1 ++( +  ) wi+1, j −1 + 2(5 − 2 − 1) wi+1, j + ( +  ) wi+1, j +1 ++( + 1) wi−1, j −1 + 2(5 − 1) wi−1, j + ( + 1) wi−1, j +1 ++12 wi, j −1 + 12 wi, j +1 ++( + 1) wi+1, j −1 + 2(5 − 1) wi+1, j + ( + 1) wi+1, j +1 +()5h4 k+1 +  C 2  wi −1, j −1 + wik−1, j +1 + wik+1, j −1 + wik+1, j +1 + 52 wik, j  +721 +  C h4   k1 +  C h4  kk  wi , j −1 + wik, j +1  ++5 1 +  +w+w−51+−i −1, ji +1, j 2218   18    + h  − 2  I − II qi(, j)−1 −  5 +  +   I − II qij( ) + + h (  − 2 ) I − III qi(−1,) j − 3  I − III qij( ) +=  ( k −1) + 3h 2 ( I pij + II pij +IIIpij +IVII − IVIII − IV qij( )  +  − 2  III − IV qi(, j)+1  +qij( )  + (  − 2 ) II − IV qi(+1,) j =pij );(3.4.14)( +  ) wi−1, j −1 + 12 wi−1, j + ( +  ) wi−1, j +1 −−2( − 5 ) wi, j −1 − 2( − 5 ) wi, j +1 ++ ( +  ) wi+1, j −1 + 12 wi+1, j + ( +  ) wi+1, j +1 ++ ( + 1) wi−1, j −1 + 2(5 − 1) wi−1, j + ( + 1) wi−1, j +1 ++2( + 2 − 5) wi, j −1 − 20( + 2 + 1) wi, j + 2( + 2 − 5) wi , j +1 ++ ( + 1) wi+1, j −1 + 2(5 − 1) wi+1, j + ( + 1) wi+1, j +1 +()5h4 k+1 +  C 2  wi −1, j −1 + wik−1, j +1 + wik+1, j −1 + wik+1, j +1 + 52wik, j  +721 +  C h4   k1 +  C h4  kk  wi , j −1 + wik, j +1  +−5   +  −w+w+5++i −1, ji +1, j 2218   18    + h  − 2  I − II qi(, j)−1 −   +  − 4 −   I − II qij( ) ++ h (  − 2 ) I − III qi(−1,) j − (4 +  + 2 )  I − III qij( ) +=  ( k −1) + 3h 2 ( I pij + II pij +IIIpij +IVII − IVIII − IV qij( )  +  − 2  III − IV qi(, j)+1  +qij( )  + (  − 2 ) II − IV qi(+1,) j =pij ).(3.4.15)86Уравнение (3.4.10) перепишем с учетом (2.4.14) в следующем виде:wik−1, j ++ wik, j −1 − 4wik, j + wik, j +1 ++ wik+1, j −(3.4.16)−0, 4wi, j −1 − 4( wi , j + wi , j ) − 0, 4 wi , j +1 −−0, 4wi+1, j −h−  I − II qij( ) +5III − IVqij( ) −I − IIIqij( ) −II − IVqij( )  = 0Уравнения (2.3.7), (2.3.9), (2.3.11), остаются без изменений.