Диссертация (Расчет ортотропных пластин на динамические нагрузки), страница 10

А в уравнениях(2.3.8) и (2.3.10) следует pij заменить на. Тогда с учетом (4.3.4) ,(4.3.2) из (2.3.8) и (2.3.10) соответственно получим:( −  2 ) wi−1, j ++2[  (2 +  ) −  − 2 ]wi, j + 2(2 +  ) wi, j +1 + 2 wi, j +1 ++ ( −  2 ) wi+1, j − h 2 pi , j +(3.4.17)+2h 0i, j −  0 mi−1, j + 2(1 +  ) 0 mi, j − 0 mi+1, j −()h 2    ( k −1) 5 h 4−2 1 + C  i , j −1 +  C  wi(,kj−1) − wik, j  = 0;2  2 12  2 )w+ i −1, j 2 +2[  (2 + ) − 1 − 2 ]wi+(1−)w+,j i , j +1+2(2 −  ) wi+1, j +(1 −+2 wi+1, j − h 2 pi , j +(3.4.18)0 mi , j −1 + 2(1 + ) 0 mi, j − 0 mi, j +1 −24h    ( k −1) 5 h−2 1 + C  i , j −1 +  C  wi(,kj−1) − wik, j  = 0.2  2 12 +2h 0i, j −()В (4.3.17), (4.3.18) величины 0 , 0 , 0 m , 0 m являются функциями времени t.873.5.

Алгоритм расчета на динамические воздействия.На каждом конкретном временном слое систему алгебраических уравненийотносительно неизвестных w , w , w будем решать итерационным методомЗейделя. При этом уравнение (2.4.14) остается без изменений. Уравнения (3.4.14),(3.4.15) представим в следующем виде:wi, j = ( +  ) ( wi−1, j −1 + wi−1, j +1 + wi+1, j −1 + wi+1, j +1 ) ++2(5 − 2 − 1) ( wi−1, j + wi+1, j ) + 2(5 −  ) ( wi, j −1 + wi, j +1 ) ++( + 1) ( wi−1, j −1 + wi−1, j +1 + wi+1, j −1 + wi+1, j +1 ) ++2(5 − 1) ( wi−1, j + wi+1, j ) + 12 ( wi, j −1 + wi, j +1 ) +)(5h4 k+1 +  C 2  wi −1, j −1 + wik−1, j +1 + wik+1, j −1 + wik+1, j +1 + 52wik, j  +721 +  C h4   k1 +  C h4  kk  w + wik, j +1  ++5 1 +  +w+w−51+−i −1, ji +1, j 22  i , j −118   18   + h  − 2  +h ( − 2 )((I − III − IIIqi(,j)−1 +qi(−1,) j +III − IVII − IV= ( k −1) + 3h 2 ( I pij + II pij + qi(,j)+1 −  5 +  +   I − II qij( ) +))qi(+1,) j − 3  I − III qij( ) +IIIpij +IVII − IVIII − IVqij( )   +qij( )  =pij ) / 20a;(3.5.1)88wi, j = ( +  ) ( wi −1, j −1 + wi −1, j +1 + wi +1, j −1 + wi +1, j +1 ) ++2(5 + 2 − 1) ( wi−1, j + wi+1, j ) + 2(5 −  ) ( wi, j −1 + wi, j +1 ) ++( + 1) ( wi−1, j −1 + wi −1, j +1 + wi +1, j −1 + wi +1, j +1 ) ++2(5 − 1) ( wi−1, j + wi +1, j ) + 12 ( wi , j −1 + wi , j +1 ) +)(5h41 +  C 2  wik−1, j −1 + wik−1, j +1 + wik+1, j −1 + wik+1, j +1 + 52wik, j  +721 +  C h4   k1 +  C h4  kk  wi , j −1 + wik, j +1  +−5   +  −w+w+5++i +1, j 22  i −1, j1818+ + h  − 2  +h ( − 2 )((I − III − IIIqi(,j)−1 +qi(−1,) j += ( k −1) + 3h 2 ( I pij +IIIII − IVII − IVpij +qi(,j)+1 − h   +  − 4 −)  I − II ( )  qij +)qi(+1,) j − h(4 +  + 2 )  I − III qij( ) +IIIpij +IVII − IVIII − IVqij( )   +qij( )  =pij ) / 20a.(3.5.2)где: a = 1 +  + 2 .Аналогично из (3.5.1)-(3.5.2) получим формулы для итерационного решенияуравнения:wik, j = 0, 25  wik−1, j + wik, j −1 + wik, j +1 + wik+1, j  −− wi, j − wi, j − 0,1( wi−1, j + wi+1, j + wi, j −1 + wi, j +1 ) −−0, 05h  I − II qi(, j) +III − IVqi(, j) −I − IIIqij( ) −II − IV(3.5.3)qij( )  ;wi, j = ( −  2 ) ( wi−1, j + wi+1, j ) + 2(2 −  ) wi, j +1 + 2 wi, j +1 −−h 2 pij + 2h 0i, j −   0 mi−1, j + 0 mi+1, j  + 2(1 +  ) 0 mi, j −()h 2    ( k −1) 5 h 4−2 1 + C  i , j −1 +  C  wi(,kj−1) − wik, j  / 2  + 2 −  ( 2 +  )  ;2  2 12 (3.5.4)892wi, j = (1 − ) ( wi, j −1 + wi, j +1 ) + 2(2 −  ) wi +1, j + 2 wi +1, j −−h 2 pij + 2h 0i, j − 0  mi , j −1 + 0 mi, j +1  + 2(1 + ) 0 mi, j −()(3.5.5)h 2    ( k −1) 5 h 4 −2 1 + C  i , j −1 +  C  wi(,kj−1) − wik, j  / 2 1 + 2 −   2 +   .2  2 12  Выражения (3.5.4), (3.5.3) справедливы соответственно для левого иверхнего края прямоугольной плиты ; для правого и нижнего краев онизаписываются в «зеркальном отображении» .По формуле (3.5.3) определяются wik, j во внутренних точках сетки.

Дляопределения wk в точке ij верхнего и нижнего свободных краев ортотропнойпрямоугольной плиты получим из (2.4.1):wik, j = 0, 25  wik, j −1 + wik, j +1  + 0,5wik, j −−0,1  wi, j −1 + hqi , j + wi , j +1  − wi , j .(3.5.6)Уравнение для определения wik, j на левом и правом свободных отзакреплений краев плиты следует из (3.3.4) с заменой ,i,j соответственно наАлгоритм расчета следующий. В момент времени,j,i.=0 по заданнымзначениям в каждой расчетной точке сетки w0 , 0 (в частности нулевые)подсчитаем  0 с использованием (3.4.10).

При этом используются значенияq ( ) (t ); q ( ) (t ) в момент времени t = t =  . Итерационный процесс продолжается доисчерпания с наперед заданной точностью. По найденным wi1, j с использованиемзаданных i0, j и wi0, j определяем i1, j . Это позволяет найти по (3.2.11) 1 и перейти копределению w , w и w при k=2. После этого вычисляются i2, j ;  2 и так далее.Расчет ведется в пределах заданного интервала времени .90На каждом временном слое «k» внутренние усилия определяются поописанному в главе 2 алгоритму.По разработанному выше алгоритму была составлена программа длярасчетов на ЭВМ.

Целесообразно вначале решить по этой программе тестовыезадачи. Тестовыми задачами могут служить расчеты изотропных плит, посколькудля их расчета используется одна и та же упомянутая выше программа; следуетлишь положить, как указывалось в предыдущих главах ,  =  = 1;  =  ; Dy = D.Выводы по главе 3.В этой главе разработана методика расчета ортотропных прямоугольныхпластин на вынужденных колебания. В основу методики получены разностныеуравнения МПА и прямое интегрирование дифференциальных уравнений вдольвременной оси с использованием параболического силайна.

По разработанномучисленному алгоритму составлена программа для ЭВМ, которая позволяетрассчитывать при различных краевых условиях как ортотропные плиты, так иизотропные с учетом и без учета демпфирования.91Глава 4. Примеры расчета пластин на динамические нагрузки4.1. Примеры расчета изотропных плит на динамические нагрузки.В качестве первой тестовой задачи рассмотрим расчет квадратной шарнирноопертой по всему контуру изотропной плиты на действие прямоугольного (вдольоси времени) мгновенного импульса S , равномерно распределенного по всейплощади плиты. Согласно [107] в начальный момент времени:W S= .t(4.1.1)a 4 q0D; по §3.2: t = t  a 2Учтем, что W = w. Тогда из (4.1.1) получим:DDWS= wt =  (0) = 2Dta q0D.(4.1.2)Расчет можно вести на  (0) = 1 ; по найденным при этом w размерныевеличины Wполучим так: W = w D a 2 q0S  a2=w. DDS2a q0В [25] по алгоритму решения задачи относительно неизвестных m и w дляцентра плиты получено wmax = 0, 775 при h =11; =;C = 012  150в момент времениt=0,16 T, где Т- период основного тона колебаний рассматриваемой плиты.Поскольку T =T=22 2, учитывая wmin = 2waa2DD, найдем.Подставлял в (4.1.3) t = t  a 2(4.1.3)D, получим:92t  a2D= 0,16a2D.(4.1.4)Тогда безразмерное время, при котором достигается wmax , будет t =0,16.( )В табл.

4.1 показаны значения wmax и mmax, полученные по составленной намипрограмме при различных значениях h и τ. Расчет проводился до момента времениt=0,25T.Табл.4.1h1/81/101/121 641 1001 150wmax0,07560,07720,0785( )mmax1,0031,1651,233222Величины m вычислялись при  = 0,17 .

При так же значениях  , t=0,16T;h =11; =; C = 0 в [25] получено12  150( )mmax= 1, 244 , в центре плиты. Результатытабл. 3.1 практически совпадают с полученными в [25].Вторая тестовая задача.Плита предыдущего примера загружена по всей площади равномернораспределенной нагрузкой [126]:Pij( k ) = sin(1,6    tk );где по [126] tk =t;T(4.1.5.)93T- определяется по (4.1.3). Тогда:tk =t D2= t .(4.1.6)Из (4.1.5) получим:Pij( k ) = sin(1,6   2  t );(4.1.7)Или Pij( k ) = sin(1, 6   2  k   );(4.1.8)где k- номер временного слоя; τ - шаг вдоль безразмерной временной оси.Расчет ведется при q ( ) = q ( ) ; w0 =  0 = 0 тогда  (0) = 0 .Результаты, полученные при C = 0; = 0,3 и различных h и τ даны в табл. 4.2(верхниезначения).Нижниезначенияполученными в момент времени  =0, 40соответствуютрезультатам[126],( ).

В таблице mmaxи wmax - значениянаибольшего безразмерного изгибающего момента и безразмерного прогиба,возникающих в центре плиты по нашим расчетам при.Табл.4.2.n1/121/161/181 641 1001 150m ( )0, 061810, 061400, 061770, 061970, 061740, 06234w0, 0051110, 0051360, 0051040, 0051710, 0051020, 005195222( )mmax0,087610,087560,08753wmax0,0069840,0070020,00701194( )Величина k, при которой достигаются mmaxи wmax по времени при=1, равна 255. 1502Третья тестовая задача.Квадратная изотропная плита, жестко заделанная по всему контуру, поднагрузкой из предыдущего примера.

Результаты в виде w; m( ) ; з m( ) даются втабл. 4.3 (верхние значения). Они получены при C = 0; = 0,3 и различных n и τ;зm ( )- значение безразмерного изгибающего момента в середине жесткозаделанной стороны; w; m( ) соответствует середине плиты. Нижние значения этихже величин получены в [126] в момент времени  =0,32.Колебательный процесс изучался на отрезки времени  =0, 40.Табл. 4.3n1/121/161/181 641 1001 150w0, 0014800, 0014980, 0014630, 0014870, 0014530, 001482m ( )0, 027120, 026210, 026820, 026620, 026680, 02691−0, 05886−0, 05441−0, 05863−0, 05588−0, 05846−0, 056572зm ( )2295В таблице 4.4 даются максимальные значения величин, приведенных втабл.4.3.

Оси получены нами в момент времени  =0,32при тех же C = 0; = 0,3 .Табл.4.3h1/121 6421/161 10021/181 1502w0,0021210,0021400,002156m ( )0,040790,041120,04141-0,07952-0,08014-0,08062зm ( )В завершение §4.1 решим вторую задачу с учетом затухания. Для этогоследует установить близкую к реальной величине безразмерного параметра C . Сэтой целью представим дифференциальное уравнение (3.2.2) в следующем виде:1   4W 4W 4W   2W c W q ( x, y, t )D+2H+D+=.+y  x x 4 t 2x 2 y 2y 4  t 2(4.1.9)Сопоставляя (4.1.9) с дифференциальным уравнением колебаний системы содной степенью свободы [73], приближенно получим:c= 2 = 2 Т(4.1.10);где  - декремент затухания ; Т- период основного тона колебаний плиты. Приучете (3.5.5) из (4.1.10) следует:c = 2 a2D  = 2a2D .(4.1.11)96Тогда для изотропной плиты: c = 2  По [118]  =Da2= 2 .a2D;2(4.1.12)(4.1.13)C =  .(4.1.14)По табл.3.1 [118] для безбалочных железобетонных перекрытий  ср = 0, 52 .По (4.1.12) получим C  1,5 .C = 0; = 0,17 и( )Значения mmaxи wmax , вычисленных при этом значениипрочих одних и тех же параметрах второй тестовой задачи приводятся в табл.4.5.Табл.

4.5n1/121 6421/161 10021/181 1502( )mmax0,074360,074600,07471wmax0,0065960,0066220,006637Из сравнения 4.2, 4.5 видно , что учет демпфирования заметно сказывается навеличине изгибающих моментов и изгибов. При C = 1,5 выбрано для железобетона,в расчетах было принято  = 0,17 . Результаты же таблицы 3.2 получена приC = 0, 4; = 0,3 . Перерасчет при C = 1,5; = 0,3 для wmax дает практически те жерезультаты, что и в таблицы 3.4. Изгибающие моменты возрастают.974.2. Решение новых задач по расчету ортотропной пластины на динамическиевоздействия.При расчете ортотропной пластины принимаем значенияпо (3.4.4).Поскольку расчет ведется по одной и той же составленной нами программе, в этомвсе отличие от расчета изотропной пластины.Первая задача- та же, что и в §4.1, но пластина ортотропная.