Диссертация (Расчет и оценка эффективности систем виброизоляции с линейными и нелинейными характеристиками), страница 6

ТогдаX1  1  ; X 2  2  ; X 3  3  ;(2.67)гдеk1  m12k10k1k1  k2  m22 k20 k2k2  k3  m3(2.68)243где  - определитель системы, 1..3 - определитель системы, в котором i-ый столбецзаменен на вектор нагрузки" [18];D      k1  m12 k1  k2  m22 k2  k3  m32  k12 k2  k3  m32 (2.69)k22 k1  m12 .Представим X i в виде:3X i   H ij    mi 0 ;(2.70)j 1где Hij   - ПФ.В частности,m101  m20k10k1  k2  m22 k2 k2k2  k3  m32m30 0  k1  k2  m22 k2  k3  m32  k1k2 m3  k22m1  k1m2 k2  k3  m32  .(2.71)Запишем ПФ Н11 без учета диссипативных членовH11   0  k1  k2  m22D   k2(2.72)(2.73) k3  m32  k1k2 m3  k22m1  k1m2 k2  k3  m32 По аналогии можно записатьH 21   0 m2 k1  m12D   k2 k3  m32  k2 m3 k1  m12  k1m1 k2  k3  m32 H31    0 m3 k1  m12 k1  k2  m22  k1k2 m1  k2m2 k1  m12  k12m3  D  (2.74)Чтобы определить собственные частоты системы с 3-мя степенями свободы,подставим   p в D   и приравняем к нулю [16].ПослепреобразованийD    m1m2 m3 2  p12 2  p22 2  p32простых дробей.представимиD  ввидезапишем ПФ (2.72) - (2.74) как сумму44Можно записать, в частности, для H11 :20 3   J 2 J 3  k1k2 m3  k2 m1  k1m2 J 3 H11    ;B r 1pr2  2где B  m1m2m3  p32  p22  p32  p12  p22  p12  ; R  r   p1rem r 1,3  p12rem r ,3 ;(2.75)(2.76)rem  r ,3 - остаток от деления номера собственных форм r на 3[19].Введем в знаменатель диссипативные члены и запишем:20 3   J 2 J 3  k1k2 m3  k2 m1  k1m2 J 3 H11    ;B r 1pr2  2  i r pr2(2.77)По такой же схеме можно записать формулы и для других ПФH 21   0 3  m2 J1 J 3  k2 m3 J1  k1m1J 3 ;B r 1pr2  2  i r pr2(2.78)20 3  m3 J1 J 2  k1k2 m1  k2 m2 J1  k1 m3 H 31    ;B r 1pr2  2  i r pr2(2.79)где J1  k1  m1 pr2 ; J 2  k1  k2  m2 pr2 ; J3  k2  k3  m3 pr2 .(2.80)Как пример, запишем формулу для перемещений массы m1 при действии нанеѐ гармонической силы0 cos tx1  t   0 Re  H11   eit  20 3   J 2 J 3  k1k2 m3  k2 m1  k1m2 J 3   cos  t  r  ;B r 1pr2  2(2.81)где Ar  1  2 pr2    r2 ; tgr   r 1  2 pr2  .(2.82)2Мнимая часть (2.81) - перемещение массы m1 при кинематической воздействии0 sin t .Используя зависимости между ПФ и ИПФ, можем записать220 3   J 2 J 3  k1k2 m3  k2 m1  k1m2 J 3 kи11  t   R  r   er pr t sin pr*t ;*B r 1pr(2.83)45kи21  t  20 3  m2 J1 J 3  k2 m3 J1  k1m1J 3  R  r   er pr t sin pr*t ;*B r 1pr20 3  m3 J1 J 2  k1k2 m1  k2 m2 J1  k1 m3  r pr2tkи31  t   Rresin pr*t .*B r 1prПеремещения в линейной системе вычисляются по ф.

(1.18)(2.84)(2.85)46ГЛАВА 3. МЕТОДЫ И АЛГОРИТМЫ РАСЧЕТА НЕЛИНЕЙНЫХСИСТЕМ ВИБРОЗАЩИТЫ В ЭКСПЛУАТАЦИОННОМ ИПЕРЕХОДНЫХ РЕЖИМАХПри проектировании систем виброизоляции во многих случаях возникаетнеобходимость существенно снижать уровни колебаний конструкций в переходныхрежимах. Это достигается, в том числе, путем введения в систему виброизоляциидополнительных элементов: дополнительных связей, демпферов вязкого или сухоготрения, которые включаются в работу при больших перемещениях в зонепрохождения через резонанс.При этом значительно снижается пиковое значение перемещений и снижаетсявероятность нарушения целостностивсей системы, включая дополнительноеоборудование и трубопроводы.3.1 Система с дополнительной связью.

Вертикальные колебания"Характер нелинейности дан для систем: рисунка 3.2а ka  k1; kb  k2 и рисунка3.2б: ka  k2 ; kb  k3 (см. рисунок 3.1)" [40].Рисунок 3.1  Нелинейная зависимость "перемещения – усилия"473.1.1 Периодические (гармонические) нагрузкиРисунок 3.2  а) система с ОСС с ограничителем перемещений; б) система сограничителем перемещений нижней массы (m2);Система с ОСС (рисунок 3.2а)Уравнение движения нелинейной системы имеет вид:dmу  1  2v  c( y ) y  q(t ).dt (3.1)"Для принятого типа нелинейности зависимость "реакции – перемещения""[40]:c( y) у  k1 y при y  y0 ;c( y) y  k1 y0  (k1  k2 )( y  y0 ) при y > y0 .(3.2)При построении алгоритма уравнение (3.1) следует преобразовать: а именно,перенести нелинейные составляющие в правую часть и добавить к обеим частямdуравнения 1  2v  p12 y :dt dq(t ) dd  c( y ) y;у  1  2v  p12 y  1  2v  p12 y  1  2v dt m dt dt  mгде p12 k1.m1(3.3)48Для зависимости вида (3.2) уравнение движения системы с ОСС с нелинейнойсвязью (3.3) примет вид:dq(t ) d  k ( y  y0 )у  1  2v  p12 y  1  2v  2.dt m dt m(3.4)при y  y0"Решение уравнения (3.4) представляется в виде двух решений: перемещениялинейной системы от действия внешней нагрузки ( y л ) и от т.н.

фиктивной нагрузки,которая зависит от вида нелинейности ( yнл )" [40]:y  y л  yнл .(3.5)"Решение уравнения от внешней нагрузки определяется зависимостью (2.3).Нелинейная составляющая решения определяется из интегрального уравнения" [40]yнл 1 td1  2v  k2 ( y  y0 )e n1 (t ) sin p1* (t  )d  ;* t0 dt mp1 (3.6)"где t0  время первого включения дополнительной связи в процессе колебаний"[40].Следуя (2.3), (3.6) можно записать:yнл k2 t( y  y0 )e n1 (t ) (sin p1*t cos p1  cos p1*t sin p1*)d * t0mp1k 2 *  d1 (t ) F2 (t0 , t )  d 2 (t ) F1 (t0 , t )  ;mp1где F2 (t0 , t )  tt0 1 ( y y0 )  en1 cos p1*d  ; F1 (t0 , t )  tt0 1 ( y y0 )  en1 sin p1*d  .(3.7)(3.8)Полное перемещение вычисляется по формуле (3.5)"Знак «+» в (3.8) при y(t )  0 . 1  прерывистая функция, равная 0 при y  y0 и 1 приy  y0 "[41]."Уравнение (3.5) решается пошагово по времени с итерациями на каждом шаге" [22]Система с ДСС (рисунок 3.2б)Уравнения движения системы имеют вид:49d mу1  1  2v1  k1 ( y1  y2 )  q1 (t );dt d dmу2  1  2v1  k1 ( y1  y2 )  1  2v2  c2 ( y2 ) y2  0.dt dt (3.9)Второе уравнение системы (3.9) перепишем в виде:dddmу2  1  2v1  k1 ( y1  y2 )  1  2v2  k2 y2  1  2v2   k2  c( y2 )  y2 .dt dt dt (3.10)"Для принятого типа нелинейности зависимость "реакции – перемещения""[40]:c( y2 ) y2  R( y)  k2 y2 при y  y0 ;(3.11)c( y2 ) y2  R( y)  k2 y0  (k2  k3 )( y2  y0 ) при y  y0 .(3.12)Обозначимf 2   k2  c2 ( y2 ) y2  k2 y2  k2 y0  (k2  k3 )( y2  y0 )  k3 ( y2  y0 ) .С учетом диссипативных сил f 2  1  2v2d k3 ( y2  y0 ) .dt (3.13)(3.14)При решении систем (3.10) следует воспользоваться ИПФ для линейнойсистемы [34] (2.8) - (2.10) и с помощью выражения (2.15) - (2.30) можно записать, вчастности:t2n t yнл12  yнл 21    f   kи12e r   sin pr*  t    d  ;r 1 0(3.15)где f    - фиктивная нагрузка; kи12 - ИПФ по (2.8)n t N1   1k3  y2r 1 02 t N1   1k3  y2r 1 02 N1   1r 1r 1t   1k3  y20r 1k1 nr t esin pr*  t    d  ;pr*(3.16)r 1k1 nr t  nr sin pr*t cos pr*  cos pr*t sin pr* d  ;e epr*(3.17)y0   1y0   1k1  t  1k3  y2pr*  0y0 e nr  cos pr*  enr t sin pr*t y0 e nr  sin pr*  enr t cos pr*t  d 502 r 1 k1yнл12  N1   1HtdHtd;2r1r1r2rpr*r 1 (3.18)также по аналогии с (3.18) можно записать yнл11 и yнл 22 так2yнл 22  N1  (1)r 1T22r  d1r H 2r (t )  d2r H1r (t ) ;r 12(3.19)y11  N1  (1)r 1T11r [d1r F2r (t )  d2r F1r (t )] ;(3.20)k1  m1 pr2k1  k2  m2 pr2;;T11rpr*pr*(3.21)r 1T22r d1r  e nr t sin pr t ; d2r  e nr t cos pr t ;(3.22)F1r (t )  0 q()  enr  sin pr*d  ; F2r (t )  0 q()  enr  cos pr*d  ;tt(3.23)В формулах (3.18, 3.19) подынтегральные функции H ir определяют фиктивнуюнагрузку, связанную с нелинейностью.H1r  t 1k3 ( y20ty0 )enr  sin pr*d  ;(3.24)ty0 )enr  cos pr*d  ;(3.25)H 2r  t 1k3 ( y20где 2nr  vr pr2 , p*r  p r2  nr2 .(3.26)3.1.2 Импульсная нагрузкаСистема с ОСС (рисунок 3.3а)Линейную составляющую перемещения от действия внешней нагрузкиследует определять по формуле (2.33).Нелинейную составляющую перемещения от фиктивной нагрузки вычисляютиз уравнений (3.6 - 3.8)Система с ДСС (рисунок 3.3б).Расчетные формулы для ИПФ подобных систем приведены во втором разделе,формулы (2.8 - 2.10)51Рисунок 3.3  Варианты виброизоляции фундаментов под штамповочные молоты а)с дополнительной связью, б) с инерционном блоком и дополнительной нижнейсвязью.Линейные составляющие перемещений следует определять по формуле (2.34).Используя зависимости для ИПФ (2.8)-(2.10), и после некоторых преобразованийполучаем:2yнл  kи21  N1  (1)r 1[ F1r (t )  d1r H 2 r (t )  d 2 r H1r (t )] / pr* ;r 1(3.27)d1r ; d2r - по (3.22)F1r (t )  S  e nr  sin pr* ;(3.28)где N1 - по (2.11)."В формуле (3.27) подынтегральные функции в H ir определяют фиктивнуюнагрузку, связанную с нелинейностью" [40].H1r  t 1k3 ( y20ty0 )enr  sin pr*d  ;(3.29)ty0 )enr  cos pr*d  ;(3.30)H 2r  t 1k3 ( y20Знак «+» в формулах (3.29, 3.30) соответствует значению y(t )  0 .52При одностороннем включении дополнительной связи (рисунок 3.4), реакциякоторой направлена вверх, принимаем:" 1  прерывистая функция, равная 0 при y  ( y0 ) и 1 при y  ( y0 ) " [40].Вычисление полного перемещения выполняется по ф.

(3.5).Рисунок 3.4  Нижняя зона включения односторонней дополнительной связи3.2 Система с демпфером вязкого тренияПри необходимости существенно снижать уровни колебаний конструкций впереходных режимах можно воспользоваться также одним из наиболее эффективныхспособов - включением в систему виброизоляции элементов с повышенным уровнемдиссипативных сил - демпферов вязкого или сухого трения, что также значительноснижает уровни колебаний в околорезонансных режимов и сохраняет целостностьсистемы.3.2.1 Периодические (гармонические) нагрузкиОдна из возможных систем виброизоляции, которая позволяет использоватьдемпферы, механизм которых достаточно прост, показана на рисунке 3.5а [24].53Рисунок 3.5  Система: а) с ОСС с демпфером вязкого трения б) с ДСС сдемпфером вязкого тренияРасчетная характеристика для демпферов вязкого трения – относительноедемпфирование, определяемое по формуле: D ,pkгде  – коэффициентдемпфирования - постоянная величина для различных типов демпферов, котораяравна отношению диссипативной силы к обобщенной скорости и поделенная наудвоенную массу; p1 - собственная угловая частота виброизолированной системы.Параметр  , как правило, определяют экспериментально.