Диссертация (Электромагнитный отклик метаплёнок), страница 18

Дополнительно использовался приём добавления нулей к временной зависимости, который позволял получить более гладкиеспектры и ускорял быстрое преобразование Фурье.Длительность обработанной временной зависимости, которая подставляется в преобразование Фурье, составляет в среднем 25 пс, что соответствует111Рис. 6.5: Спектры модуля амплитуды (а) и фазы (б) для ситалловой пластинки (сплошнаялиния) и референсного спектра воздуха (пунктирная линия).спектральному разрешению 0,04 ТГц. Это не такое большое разрешение, какхотелось бы, но длина временного окна ограничена сверху из-за эха в регистрирующей пластинки из CdTe.Полученные амплитудно-частотные характеристики Êsmpl,ref (ν) и фазовочастотные характеристики ϕsmpl,ref (ν) ситалловой пластинки и референсногоспектра воздуха представлены на рис.

6.5.На амплитудных спектрах для воздуха хорошо видны максимумы поглощения, которые также присутствуют и в спектре пластинки. На амплитудныхспектрах ситалловой пластинки также хорошо заметны осцилляции во всей полосе частот, которые соответствуют резонансам Фабри-Перо.1126.5.Определение материальных параметров ситаллаСТ-50-1 в терагерцовом диапазонеКак было сказано выше, из-за проблем с первоначально планировавшей-ся подложкой из стеклотекстолита FR-4, в качестве подложки использовалсяситалл марки СТ-50-1.

Это стекло-керамический материал, который, согласно [141], имеет следующий состав: SiO2 –Al2 O3 –CaO–MgO–TiO2 .В литературе удалось найти данные о материальных параметрах ситалла, представленные в табл. 6.4 Как видно они несколько разнятся. Кроме того,приведённые значения могут быть не актуальны для терагерцового диапазонаи используемой марки ситалла. Ввиду этого оказалась актуальной задача определения комплексного показателя преломления ñ = n + i · κ ситалла СТ-50-1 висследуемом диапазоне 0,1–1 ТГц.Таблица 6.4: Материальные параметры ситаллаИсточник Частота Диэлектрическая Тангенс углаПоказательпроницаемость, ε0потерь, tg δпреломления, ñ[142]10 ГГц8,25 · 10−32,86 + i · 0,0072[143]—8,53 · 10−32,92 + i · 0,0044В предыдущем разделе уже были получены спектры прохождения ситалловой пластинки (см.

рис. 6.5). Используя эти данные коэффициент прохождения (по мощности) вычисляется согласно следующей формуле:!2Êsmpl (ν)T (ν) =Êref (ν)(6.4)Соответствующий спектр представлен на рис. 6.6. Осцилляции коэффициента прохождения, как уже было указано выше, обусловлены резонансамиФабри-Перо на толщине пластинки.

Эквидистантное расположение резонансовсвидетельствует о том, что реальная часть показатель преломления ситалла висследуемом диапазоне изменяется слабо.Хорошо известно [144], что максимум прохождения достигается, если наоптической толщине пластины укладывается целое число полуволн:mλm= nd,2(6.5)113Рис. 6.6: Экспериментальный спектры прохождения по интенсивности ситалловой пластинкитолщиной 0,55 мм. Пунктирными линиями отмечены 2–10 резонансы Фабри-Перо.где m — номер резонанса, λm — резонансная длина волны, n — реальная частьпоказателя преломления, d — толщина плоскопараллельной пластинки.

Такимобразом, зная хотя бы две резонансные длины волны, можно оценить реальную часть показателя преломления. Используя (6.5) и перейдя от длин волн кчастотам получим:n=где c — скорость света, νm+kc·k,(6.6)2d · (νm+k − νm )и νm — частоты m + k и m Фабри-Перо резонансовсоответственно. Используя спектры рис.

6.6 и формулу (6.6) была полученаследующая оценка среднего значение реальной части показателя преломленияситалла в исследуемом диапазоне: hnsit i = 2,9.Второй способ оценить реальную часть показателя преломления — по разности фаз между референсным спектром и спектром пластинки (см.

рис. 6.5).Сравним фазовые набеги в слоях воздуха и ситалла толщиной d:2π2πνdnair (λ)d =nair (ν);λc2π2πνd= ksit d =nsit (λ)d =nsit (ν);λcϕair = kair d =ϕsit(6.7)Принимая показатель преломления воздуха nair равным единице во всём частотном диапазоне и вычитая верхнее уравнение из нижнего, получим формулудисперсионной зависимости реальной части показателя преломления [139]:nsit (ν) = 1 +c(ϕsit (ν) − ϕair (ν)).2πνd(6.8)114Рис. 6.7: Дисперсия показателя преломления (сплошная) и показателя поглощения (пунктирная) ситалла СТ-50-1.С помощью формулы (6.8) была получена зависимость показателя преломления, представленная на рис. 6.7.

Оценка среднего значения показателя преломления по полученной дисперсионной зависимости хорошо сходится с оценкой по резонансам Фабри-Перо и литературными данными.Поглощение плоской электромагнитной волны в слое воздуха толщиной lи ситалла толщиной d описывается следующими соотношениями:2πν· κair (ν) · l) =c2πν0(6.9)Eair(ν) exp(−· (κair (ν) · d + κair (ν) · (l − d))),c2πνdet0Esit(ν) = Esit(ν) exp(−· (κsit (ν) · d + κair (ν) · (l − d))),cи κsit — показатели поглощения воздуха и ситалла соответственно.det0Eair(ν) = Eair(ν) exp(−где κair00Учтём, что κsit κair и Eair(ν) ≡ Esit(ν), и поделим одно выражение на другое:detcEsit(ν)ln detκsit (ν) = −2πνd Eair (ν)(6.10)detdetСтоит отметить, что отношение Esit(ν)/Eair(ν) есть ни что иное, как ам-плитудный коэффициент прохождения для пластинки ситалла.

Используя экспериментальные данные и формулу (6.10), получим спектр показателя поглощения, изображенный на рис. 6.7. Как видно поглощение ситалла в ТГц диапазонена несколько порядков выше по сравнению с поглощением на ГГц частотах (см.табл. 6.4).1156.6.Численное моделирование метаплёнок с использованием периодических граничных условийКак и в предыдущих главах, численные расчёты параметров прохожденияи отражения метаплёнок производились методом конечных-элементов в средеCOMSOL Multiphysics и специально написанных программ на языке MATLAB.К сожалению, методика определения коэффициентов прохождения и отражения, разработанная в главах 2 и 4, не применима напрямую для исследуемыхобразцов. Это связано с использованием в образцах подложки с большим показателем преломления.

Соответственно, имеет место сильное взаимодействиерезонаторов и подложки, не учитываемое в модели.В связи с этим, для численного определения спектров метаплёнок использовалась модель с периодическими граничными условиями. В расчётах использовались две слегка отличающиеся схемы моделирования, представленные нарис. 6.8. Обе схемы учитывали влияние подложки на положение резонансов ипоглощение электромагнитной волны в подложке. Различие между ними в том,что в первой схеме (рис. 6.8а) не моделировались резонансы Фабри-Перо в подложке, а во второй (рис.

6.8б) эти резонансы учитывались. Схемы приведеныв 2D-проекции для простоты восприятия, сами вычисления производились вполностью трёхмерных моделях. Первая схема хороша для прототипирования,и использовалась в предварительных расчётах (см. рис. 6.2), когда точный видспектров не был важен, а важно оценить положение резонансных частот. Кроме того расчёты в такой схеме проводятся чуть быстрее, вследствие меньшегоколичества элементов.Соответственно, область моделирования состояла из шести или семи подобластей. Расчёт состоял в решении волнового уравнения вида:~ − k02 ñ2 E~ = 0,[∇ × [∇ × E]](6.11)где k0 — волновое число, ñ — комплексный показатель преломления в подобласти.

Волновое уравнение такого вида решается в подобластях 5 и 6 (в первойсхеме моделирования). В расчётах использовался комплексный показатель преломления ситалла ñ(ω), полученный из экспериментальных данных.В случае задания материальных параметров с помощью реальной части116Рис. 6.8: Схема модели в плоскости xy для численного расчёта (а) без учёта резонансовФабри-Перо и (б) с учётом резонансов Фабри-Перо. 1 — верхний поглощающий слой; 2, 3, 7— свободное пространство; 4 — резонатор; 5 — подложка; 6 — нижний поглощающий слой.относительной диэлектрической проницаемости ε0 и проводимости σ, волновоеуравнение (6.11) преобразуется в уравнение вида:σ20~ − k0 ε − i~ = 0.E[∇ × [∇ × E]]ωε0(6.12)Волновое уравнение (6.12) решалось в подобластях 1, 2, 3, 7 и 6 (во второй схемемоделирования) при ε0 = 1, σ = 0.В расчётах медный резонатор являлся подобластью 4.

Скин-слой учитывался с помощью задания на границе подобласти 4 импедансных граничныхусловий, в самой подобласти волнове уравнение не рассчитывалось. Альтернативным решением могло быть использование более мелкой сетки, но этот путьсущественно увеличил бы время расчётов, и без того не малое.Импедансные граничные условия описываются уравнением:r~ + ε0 − iσ [~n × [E~ × ~n]] = 0,Z0 [~n × H]ωε0(6.13)где ~n — единичный вектор нормали к поверхности, Z0 — волновое сопротивление вакуума.Дисперсия материальных параметров меди учитывалась с помощью модели Друде-Лоренца по формулам (3.1), (3.2). Медь имеет плазменную частотуωp = 8,76 эВ и частоту релаксации ωτ = 0,0955 эВ [145]. Соответственно, рассчитанная диэлектрическая проницаемость ε0 составляет примерно минус 8405,117а проводимость σ примерно равна 108 · 105 См/м. Указанные величины изменяются в исследуемом диапазоне на примерно 1%. Относительная магнитнаяпроницаемость µ̃ для всех использованных в расчётах материалах равна единице.Источником плоской волны служила граница областей 2 и 3 (жирная линия со стрелками на рис.