Топология особенностей дробно-рациональных интегрирумых систем, страница 7

Теорема 2.2.1доказана. 2.3Невырожденность точек ранга нольВерен следующий результатТЕОРЕМА 2.3.1 Для случая Дуллина-Матвеева на множестве параметров s > 1, c = 0 верно следующее описание лиувиллева слоения в окрестности критических точек отображения момента ранга ноль:1) ξ1 — особая точка типа центр-центр, еслиqpp2s − 1 2(s − s2 − 1) 6= 1,2) ξ2 — особая точка типа фокус-фокус.ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Определение типа особой точки ранга ноль былодано в разделе 1.2.5.

Для вычисления симплектических операторов AH и AFполезна следующая техническая лемма.ЛЕММА 2.3.1 Пусть ξ — критическая точка функции ϕ на M4 , Φ —гладкое продолжение функции ϕ на все R6 (S, r), тогда511) Существуют такие λ1 , λ2 ∈ R, чтоgrad (Φ)|ξ = λ1 grad (I1 )|ξ + λ2 grad (I2 )|ξ ,2) Оператор Aϕ = Ω−1 d2 H|ξ равен ограничению оператораπ ij (d2 H|ξ − λ1 d2 I1 |ξ − λ2 d2 I2 |ξ )jk )на M4 в точке ξ.Доказательство Леммы. Линеаризация векторного поля v в особойточке ξ в координатной форме представляется в виде∂v i∂xj|ξ .При этом, если векторное поле сохраняет некоторое подмногообразие N , тогда оператор линеаризации этого векторного поля в особой точке на подмногообразии будет ограничением оператора линеаризации в объемлющеммногообразии M.В нашем случае оператор Aϕ является линеаризацией гамильтонова векторного поля в особой точке.

Действительно,2∂∂ϕ∂∂ϕ∂∂ϕijijijij ∂ ϕω|ξ = k ω|ξ + ω|ξ = ω|ξ ,∂xk∂xj∂x∂xj∂xk ∂xj∂xj ∂xkпоскольку∂ϕ∂xj|ξ = 0.С другой стороны, оператор Aϕ есть ограничение линеаризации гамильтоновавекторного поля в объемлющем пространстве R6 , то есть!∂∂ΦAϕ = k π ij j (ξ)|M4 .∂r2∂r2Лемма доказана.

52С помощью леммы вычислим операторы AH и AF в критических точках.Для оператора AH имеем:AH = Ω−1 d2 H|ξ = ||π ij (d2 H − λ1 d2 I1 − λ2 d2 I2 )jk ||(ξ),гдеgrad (H)|ξ = λ1 grad (I1 )|ξ + λ2 grad (I2 )|ξ .Для оператора AF :AF = Ω−1 d2 F |ξ = ||π ij (d2 F − µ1 d2 I1 − µ2 d2 I2 )jk ||(ξ),еслиgrad (F )|ξ = µ1 grad I1 |ξ + µ2 grad (I2 )|ξ .В нашем случае√12 Wgrad (H)|ξl = − √ grad (I1 )|ξl , grad (F )|ξl =grad (I2 )|ξl ,r1r1 WСледовательно, для линеаризации векторного поля sgrad H получаем следующее выражение||π ij (d2 H +1√r1 Wd2 I1 )jk ||(ξl )1 000000r30  0 1000 −r30 r1   0  0 0 1+G 0000 −r1 0  ×= 0 0 00r30000  0 0−r300 r1000 0 −r1 00000 0000 0r3 000−r √1 W 000= 0r300 r1 (1 + G)−r30 −r10000000001√r1 W001√2W1√2WWr√12W W01√r1 W0W−3r√14W 2 W03− 2Wr√W+ r11√r1 W0− √1W0000000000531√0r1 Wr3√r1 W0+0−3r√14W 2 W.И для линеаризации векторного поля sgrad F :0000r3000 −r30 r1  0pW(r)2 0000 −r1 0 32 ij  2d I2  ||(ξl ) = ||π d F −r1 0r30000jk−r30 r10000 −r1 0000√0 0 0× 2√W− r1 000− 2 r1W0000− 2 r1W00− √1W00− √1W000000√− 2 r1W√1W0r√12W W0−√√ r√1− 2 r1W 2W W0000√− 2r3r1 W0=√2 Wr1√1W√2r3 Wr1√r1W0√r3Wr√12W W00√2 W000000000++ r1−√ 2 Wr10000000000√− 2r3r1 W0√2r3 Wr1−0√r1W0√2 W0√r3W+ r1r√12W W0√ − rW1Осталось ограничить эти два оператора на T |ξl M4 .

В базисе e(1) , e(2) , e(3) ,e(4) операторы AH и AF принимают вид:54√r1W00000− r √1 W 0 1,AH =  0 1 + r12 G00 −1000√0 −2r1 W00 √2 W r1000AF = √  000 −2r1 W √2 W000r1Теперь рассмотрим линейную комбинацию AH и AFr1200−10− r √1 Wr11AH − √ AF = 2 W 0 1 + r12 G0−10−1√r1W0 r12 0(2.3.1)Характеристический многочлен оператора (2.3.1) имеет вид:2 r1 r142 2√λ + 2+ r1  λ +  √ − r12  .WW√Дискриминант D = 16r13 / W .

Теперь для точки ξ1 , где r1 > 0, получаем 4различных чисто мнимых собственных значения, но только если свободныйчлен многочлена не равен нулю, то есть1 6= r1√qpp2W = s − 1 2(s − s2 − 1).А для точки ξ2 , где r1 < 0, четыре различных комплексных не чисто мнимыхи не действительных значения. То есть ξ1 — особая точка типа центр-центр,ξ2 — особая точка типа фокус-фокус. 552.4Бифуркационная диаграмма отображения момента2.4.1Критические точки отображения момента при r2 6= 0Будем искать критические точки отображения момента способом, описанным в разделе 1.2.2.

Для нахождения критических точек полезна следующаятехническая лемма.ЛЕММА 2.4.1 f1 , f2 , f3 , f4 : e(3)∗ → R — попарно коммутирующие в некоторой точке ξ ∈ (e(3))∗ функции (т.е. {fi , fj }(ξ) = 0). Пусть в этой точкеλ0 выполнены следующие два условия1) зависимы первые 5 координат градиентов функций f1 , f2 , f3 , f4 , отвечающих переменным S1 , S2 , S3 , r1 , r2 ,2) для некоторого i ∈ {1, 2, 3, 4} выполняется r1∂fi∂S2− r2∂fi∂S16= 0,Тогда градиенты функций f1 , f2 , f3 , f4 линейно зависимы в этой точке.Доказательство Леммы.

Рассмотрим линейную комбинацию градиентов функций fj , j = 1, ..., 4 в точке ξ:α = a1 grad (f1 )|ξ + a2 grad (f2 )|ξ + a3 grad (f3 )|ξ + a4 grad (f4 )|ξ .Из условия 1) леммы следует, что можно так подобрать коэффициенты aj ,что первые пять координат вектора α будут обращаться в нуль. Рассмотримшестую координату вектора α = (0, ..., 0, α6 ).

Поскольку f1 , f2 , f3 , f4 попарнокоммутируют в точке ξ, значит, градиенты функций fj и их линейные комбинации коммутируют относительно формы на векторах, отвечающей тензоруПуассона (1.3.2), взятого в точке ξ. Пусть для определенности в условии 2)леммы i = 1, то естьr1∂f1∂f1− r26= 0.∂S2∂S156Тогда0 = (grad f1 )i π ij αj =∂f1∂f1r1− r2∂S2∂S1α6 .Следовательно, α6 = 0. Лемма доказана. Воспользуемся леммой для нахождения точек, где зависимы градиентыфункций H, F, I1 , I2 .

Следуя лемме, почти везде необходимо искать только точки, где зависимы лишь первые пять координат градиентов, а не всешесть. Для проверки условия 2) полезно воспользоваться таблицей градиентов (2.4.2). Тогда это условие запишется в виде:r2 6= 0,(2.4.1)r1 S2 6= 0.Следовательно, на множестве r2 6= 0 достаточно смотреть зависимостьлишь первых пяти координат градиентов функций H, K, I1 , I2 . Выпишем таблицу, в строчках которой стоят компоненты градиентов функций H, K, I1 , I20r12cS12 + S22 + 3GS32 − √ +W W01−√WS3−√Wr1r2r2r3S1S2H:S1S2K:√2S1 S3 + 2 W2S2 S3I1 :0I2 :r1(1 + G)S300(2.4.2)ТЕОРЕМА 2.4.1 Множество критических точек отображения момента57интегрируемого случая Дуллина-Матвеева при r2 6= 0 имеет вид:r12 + r22 + r32 = 1,r1 S1 + r2 S2 + r3 S3 = 0,1S2  S3√(rS−rS)=,+1 22 122WrrW222S2 S3 W 1 − r32 + 2r3 W 2cr3 2222G−1−S++1−S+S+= 0. 3 212Wr2r22W(2.4.3)ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Ищем точки, где зависимы строчки таблицы (2.4.2).Вычтем из второй строчки первую с коэффициентом 2S3S1S2√2 W000r1r21−√Wr12cS3√S12 + S22 + (G − 2)S32 − √ +W WW0r1(1 + G)S3r3S100(2.4.4)r2S2Теперь в таблице (2.4.4) вычтем из четвертой строчки третью с коэффициентом S2 /r2 . Поскольку r2 6= 0, зависимость строчек таблицы (2.4.4) эквивалента зависимости строчек таблицыS1S2√2 W0r1r21(1 + G)S3−√Wr12cS3√S12 + S22 + (G − 2)S32 − √ +W WWr1r3S1 − S2r258(2.4.5)Вычтем из первой строчки третью с коэффициентом S2 /r2 .

Опять, поскольку r2 6= 0, зависимость строчек таблицы (2.4.5) эквивалента зависимости строчек новой таблицыS1 − S2r1r2√2 W1−√r2W√r12c S3S2 W√ +2S12 + S22 + (G − 2)S32 − √ +r2W WW(1 + G)S3 − S2r3Нижний элемент первого столбца последней таблицы ненулевой. Поэтомудля зависимости строк необходимо приравнять к нулю лишь два определителя: это 1-ый и 2-ой столбцы, и 1-ый и 3-ий. Приравнивая эти два определителя к нулю, получаем два последних равенства в системе (2.4.3). Теоремадоказана. 2.4.2Бифуркационная диаграммаПусть ξ ∈ M4 — критическая точка.

Тогда либо ξ является неподвижнойдля гамильтонова векторного поля v = sgrad H, либо в этой точке косыеградиенты F и H пропорциональны. Пусть λ — коэффициент пропорциональности, то естьsgrad F = λ sgrad H.(2.4.6)Поскольку функция F постоянна вдоль векторного поля sgrad H, значит всятраектория, выходящая из точки ξ, состоит из критических точек отображения момента с тем же коэффициентом пропорциональности λ, то есть (2.4.6)верно вдоль всей критической траектории. ПолучаемУТВЕРЖДЕНИЕ 2.4.1 Коэффициент пропорциональности полей sgrad Fи sgrad H постоянен вдоль критических окружностей.59В случае Дуллина-Матвеева этот коэффициент равен 2g, где√r2 Wg = S3 +r2 S1 − r1 S2(2.4.7)Шестую координату полей sgrad F и sgrad H, отвечающую переменной r3 ,легко вычислить.

Коэффициент 2g есть отношение шестых координат косыхградиентов. Исходя из третьего уравнения системы (2.4.3) на критическиеточки, на множестве r2 6= 0 коэффициент g определен корректно.ТЕОРЕМА 2.4.2 Для каждой критической точки отображения моментаслучая Дуллина-Матвеева при r2 6= 0 существуют такие g, λ ∈ R, чтовыполняются следующие условия:r12 + r22 + r32 = 1,r1 S1 + r2 S2 + r3 S3 = 0,√r2 Wg = S3 + r S − r S ,2 11 2S3 − gλ=,Wr2 (S3 − 2g)S2 =,2W2g((s2 − 1)λ + gs − 2c)λ2 = 1.(2.4.8)При этом1H = ((s2 − 1)λ2 + 4gsλ + 3g 2 ), F = −2g(s2 − 1)λ2 + 8gcλ + 2g 3 .2Фактически теорема обеспечивается лишь необходимые условия на критические точки, но не достаточные. Для поиска бифуркационной диаграммы,следует еще оценить, при каких значениях g и λ система (2.4.8) совместна.60ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Подставим выражение для g в третье уравнение(2.4.3), получим:S2 =r2 (S3 − 2g).2W(2.4.9)Получившееся подставим в выражение для g:√1 − r32(S3 − g)(S3 − 2g) + r3 S3 = r1 W .2WКак легко видеть четвертое уравнение (2.4.3) может быть записано в виде:GS32+S12+S222c1 − r32 + 2r3 Wg(S−g)−2gS+= 0.+33W2W(2.4.10)Опять же из (2.4.7) и (2.4.9) выразим S1 через переменные r3 и S3 :√S3 − 2gWS1 = r1+.2Wg − S3Распишем выражение через r3 , S3 и gS12 + S22 =Wg 1 − r32 + 2r3 W1 − r322−GS+S−g.33(S3 − g)2WWW2(2.4.11)Выражение (2.4.11) подставляем в (2.4.10) и после некоторых преобразованийполучаем22S3 − gS3 − gS3 − g2− gs+ 2c= 0.1 + 2g (1 − s )WWWТеперь видно, чтоλ=S3 − gWявляется еще одной функцией, постоянной на критических окружностях.