Топология особенностей дробно-рациональных интегрирумых систем

Московский государственный университет имени М.В. ЛомоносоваМеханико-математический факультетна правах рукописиУДК 517.938.5+514.762Москвин Андрей ЮрьевичТопология особенностейдробно-рациональныхинтегрируемых систем01.01.04 — геометрия и топологиядиссертация на соискание ученой степеникандидата физико-математических наукНаучные руководители:Академик А.Т. Фоменко,профессор А.В. БолсиновМосква — 2010ОглавлениеВведение51 Основные определения121.1 Интегрируемые гамильтоновы системы на симплектических многообразиях . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.1.1Понятие интегрируемой гамильтоновой системы и теорема Лиувилля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.1.2Теорема Лиувилля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.1.3Типы эквивалентности интегрируемых гамильтоновыхсистем . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.2 Грубые топологические инварианты интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы . . . . . . . . . . . . . 161.2.1Изоэнергетические поверхности. . . . . . . . . . . . . . 161.2.2Бифуркационная диаграмма и бифуркационный комплекс. . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.2.3Структура критических точек на изоэнергетической поверхности и понятие грубой молекулы . . . . . . . . . . . 211.2.4Склейка изоэнергетических поверхностей из 3-атомов . . 231.2.5Типы невырожденных точек ранга ноль . . . . . . . . . . 241.3 Гамильтоновы системы в механике2. . . .

. . . . . . . . . . . . 301.3.1Фазовое пространство . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.3.2Конформно-гамильтоновы системы . . . . . . . . . . . . . 321.4 Гипотеза Мищенко-Фоменко . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.4.1Формулировка . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . 331.4.2Метод Садэтова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342 Случай Дуллина-Матвеева422.1 Интегрируемый случай . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.2 Топология изоэнергетических поверхностей . . . . . . . . . . . . 442.3 Невырожденность точек ранга ноль . . . . . . . . . . . . . . . . 512.4 Бифуркационная диаграмма отображения момента . . .

. . . . 562.4.1Критические точки отображения момента при r2 6= 0 . . 562.4.2Бифуркационная диаграмма . . . . . . . . . . . . . . . . 592.5 Критические окружности и их невырожденность . . . . . . . . . 652.5.1Количество критических окружностей в прообразе точек кривых бифуркационной диаграммы при c = 0 . . . 652.5.2Явное интегрирование вдоль критических окружностей . 682.5.3Индексы некоторых критических окружностей . . . . . . 692.5.4Экспериментальные данные . . . .

. . . . . . . . . . . . . 722.6 Грубые инварианты слоения Лиувилля и бифуркационный комплекс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 802.7 Тонкий инвариант Фоменко-Цишанга . . . . . . . . . . . . . . . 822.7.1Циклы на торах Лиувилля . . . . . . . . . . . . . . . . . 822.7.2Допустимые системы координат и матрицы склейки . . . 903 Шар Чаплыгина с ротором на плоскости933.1 Уравнения движения и первые интегралы . . . . .

. . . . . . . . 9333.2 Критические точки отображения момента . . . . . . . . . . . . . 953.2.1Критические окружности . . . . . . . . . . . . . . . . . . 953.2.2Неподвижные точки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 983.3 Бифуркационная диаграмма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 983.3.1Бифуркационные кривые . .

. . . . . . . . . . . . . . . . 983.3.2Устойчивость критических окружностей и бифуркационный комплекс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1013.3.3Стабилизация и дестабилизация критических решений . 1054 Резиновый шар на плоскости1084.1 Уравнения движения и первые интегралы . . . . . . .

. . . . . . 1084.1.1Резиновый шар на плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . 1084.1.2Резиновый шар на плоскости с ротором в потенциальномполе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1094.1.3Интегрируемые случаи . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . 1114.2 Критические окружности их устойчивость . . . . . . . . . . . . 1114.2.1Резиновый шар . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1124.2.2Резиновый шар с ротором . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1134.2.3Резиновый шар в поле сил задачи Бруна . . . . . . . . . 1185 О полноте гамильтоновых векторных полей1245.1 Редукция систем . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1245.2 Левоинвариантные гамильтоновы системы на группах Ли и уравнения Эйлера на алгебрах Ли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1255.3 О полноте гамильтоновых векторных полей для полиномов, полученных методом Садэтова . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . 1274ВведениеАктуальность темыДиссертация посвящена исследованию топологии слоения Лиувилля длянекоторых интегрируемых систем, в том числе систем неголономной механики. В работе находит активное применение теория топологического анализаинтегрируемых гамильтоновых систем, разработанная М.П. Харламовым, атакже теория топологической классификации, построенная А.Т. Фоменко, Х.Цишангом, А.В. Болсиновым, С.В. Матвеевым и другими.В классической механике имеется обширный класс систем с неголономными связями. Этот класс задач не укладывается в рамки обычной гамильтоновой механики. Однако некоторые системы сохраняют интеграл энергиии другие тензорные инварианты. В частности, некоторые задачи, такие каккачение шара по плоскости, обладают инвариантной мерой и после заменывремени могут быть приведены к гамильтоновому виду.

А потому для иханализа применимы методы обычной гамильтоновой механики (в том числеи топологические).Первые постановки задачи неголономной механики, а также их исследования принадлежат Э. Раусу, С.А. Чаплыгину, П.В. Воронцу, П. Аппелю и Г.К.Суслову, которые нашли замечательные интегрируемые ситуации и дали иханалитическое и качественное описание.Многие задачи неголономной механики имеют сложные уравнения дви-5жения.

Поэтому для их качественного анализа необходимо прибегать к грубым методам анализа, например, к топологическим методам. Первые работы по исследованию топологии фазового пространства интегрируемых систем, классификации особенностей, построению бифуркационных диаграмми определения типов бифуркаций, вычислению локальных и глобальных инвариантов слоения Лиувилля, траекторных инвариантов принадлежат А.Т.Фоменко, Х. Цишангу [1], А.В.

Болсинову [2], А.А. Ошемкову [3, 4], В.С.Матвееву [5], М.П. Халамову [6], П. Топалову [7], О.Е. Орел [8], П.Е. Рябову[9, 10, 11, 12], П.В. Морозову [13, 14].В настоящей диссертации показано, как теория топологического анализаможет быть применена к исследованию системы Дуллина-Матвеева, задачнеголономной механики о качении шара Чаплыгина и резинового шара поплоскости, которые являются гамильтоновыми лишь после замены времени.Цель диссертацииДиссертационная работа преследует три основные цели:1. Исследование топологии слоений Лиувилля интегрируемого случая Дуллина -Матвеева.2. Описание устойчивости критических решений в задачах о катании шараЧаплыгина и резинового шара по плоскости.3.

Изучение вопроса полноты гамильтоновых полей соответствующих полиномам из полного коммутативного набора полиномов на вещественныхалгебрах Ли, полученных методом Садэтова.Методы исследованияВ работе используются методы топологического анализа интегрируемыхгамильтоновых систем, разработанные М.П. Харламовым. Для построения6грубых и меченых молекул была использована теория топологической классификации интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы, построенная А.Т.

Фоменко, А.В. Болсиновым и другими. При исследовании полноты векторных полей использовался метод редукции динамическихсистем.Научная новизнаРезультаты диссертации являются новыми и заключаются в следующем:1. Исследована топология слоений Лиувилля для интегрируемых случаевДуллина-Матвеева, о качении шара Чаплыгина с ротором по плоскости, о качении резинового шара с ротором и в поле сил задачи Брунапо плоскости. Для всех систем получены бифуркационные диаграммыотображения момента, вычислены индексы критических окружностей ипостроены бифуркационные комплексы.2.