Диссертация (Управляемое демпфирование колебаний высокодобротных механических резонаторов), страница 3

Если же ̸= , то дисперсию можно записать в виде2 = ,Ω20 где(︃ = 1 + 1+)︃(1.24)есть эквивалентная шумовая температура осциллятора, причем если < ,то и < (что соответствует холодному демпфированию). По этой при­чине холодное демпфирование иногда [25] называют методом частичногоохлаждения осциллятора. Случай = 0 соответствует идеальному холод­ному демпфированию (1.10).Силовое демпфирование одной из мод колебаний механическогорезонатора.Рассмотрим механический резонатор с дискретным наборомрезонансных частот, обобщенную восприимчивость (Ω) которого в неко­торой окрестности демпфируемой моды с частотой Ω0 можно представитьв виде соотношения (1.2).

Предположим, что в этом диапазоне частот спек­тральную плотность тепловых колебаний, связанных с другими модамиколебаний, можно считать не зависящей от частоты Ω и не коррелирован­ной с тепловым шумом, относящимся к рассматриваемой моде, спектральная (0)плотность которого (Ω) имеет лоренцеву форму кривой и описываетсявыражением (1.4). Тогда общая спектральная плотность тепловых колебанийв отсутствии цепи обратной связи (Ω) = (0) (Ω) + .17(1.25)При наличии цепи обратной связи колебания осциллятора можно предста­вить в виде[︁]︁˜˜˜(Ω) = (Ω) (Ω) + (Ω) + Δ˜ ,(1.26)где (Ω) – сила, действующая на резонатор со стороны цепи обратной связи(1.6), а Δ˜ – флуктуации, которым соответствует спектральная плотность . Мы считаем, что наличие цепи обратной связи не влияет на колебания , так как, во-первых, вдали от резонанса обратная связь слабо изменяетвид спектральной плотности тепловых колебаний (1.9), а во-вторых, все реа­лизации цепи обратной связи, которые будут рассматриваться в этой работе,имеют ограниченную полосу пропускания, расположенную в области частотыΩ0 .Таким образом, спектральная плотность колебаний демпфированного ос­циллятора⃒⃒⃒⃒2 (Ω) = ⃒(Ω)⃒ (Ω) + ⃒⃒⃒2⃒ 11⃒ = (0) (Ω) +2 .⃒1 + (Ω) (Ω)|(Ω)|(1.27)(Ω) есть обобщенная восприимчивость системы с обратной связьюЗдесь (0)вблизи частоты Ω0 (1.14), – спектральная плотность колебаний демп­фированного√︁ осциллятора в отсутствии шумов (1.9), а(Ω) = (0) (0)(Ω)/(Ω) – коэффициент подавления теплового шума(1.12).

Учитывая (1.25), можно записать (Ω) =12 (Ω).|(Ω)|(1.28)Таким образом, при наличии теплового шума на других модах колебаниймеханического резонатора цепь обратной связи по-прежнему осуществляетхолодное демпфирование колебаний вблизи резонансной частоты демпфиру­емой моды колебаний с коэффициентом подавления суммарного тепловогошума (1.12).18Спектральную плотность (1.27) можно переписать в виде[︂]︂2Ω (Ω) = (0) (Ω) 1 − (2 + ) 2 + ,Ω0 (0)где = / (0)(Ω0 ), (1.29)(Ω0 ) – спектральная плотность тепловых колеба­ний демпфируемой моды на ее резонансной частоте. Интегрируя первое сла­гаемое в правой части этого выражения6 , получим выражение для дисперсиитепловых колебаний, соответствующих демпфируемой моде колебаний резо­натора:2 = ,Ω20(1.30)где есть эффективная шумовая температура демпфируемой моды коле­баний⎡ ⎯(︁√︁)︁ ⎤⎸22⎸2Ω20−1 ⎥1 + Γ (1+)⎷2Ω20 ⎢⎢1 − (2 + ) 1 +⎥ ≈ 1 − (2 + ) .=⎦1+⎣4Ω20 − Γ2 (1 + )21+(1.31)Заметим, что определенная подобным образом эффективная шумоваятемпература может оказаться отрицательной при достаточно больших значе­ниях .

При этом в окрестности демпфируемой частоты наблюдается умень­шение уровня теплового шума по сравнению с уровнем тепловых колебаний,соответствующих другим модам резонатора [6]6Собственно интеграл:⎯(︃√︂)︃⎸⎸Γ2 ⎯2⎸⎸2Ω01 + 2Ω2 − 1∞Γ2 Z⎸202Ω Ω ⎷ ⎸⎷ 4Ω0 − 2=1+≈≈.22 − Γ22 − Γ22222Γ4ΩΓ4ΩΓ(Ω0 − Ω ) + Γ Ω00 −∞Второе равенство получается при использовании двух первых членов разложения[︁ 2 ]︁3Γ 2Ω, третье – при использовании только первого члена.2019√︂1+Γ2 2Ω20= 1+Γ2 4Ω20+Рис. 1.1. Емкостный датчик смещений [26].1.1.3. Параметрическое демпфирование механических колебанийСпособ внесения в механический осциллятор дополнительного затуха­ния, в котором используется обратное влияние на осциллятор емкостногопреобразователя на радиочастотном электрическом колебательном контуре,подробно описан в [26].

В системах этого типа ширина полосы электрическогоконтура много больше механической частоты.Рассмотрим механизм работы такой схемы. На рис. 1.1 (рисунок взятиз [26]) представлен емкостный датчик смещений, в котором изменение рас­стояния между пластинами электрического конденсатора приводит к изме­нению амплитуды и фазы колебаний в радиочастотном электрическом коле­бательном контуре с резонансной частотой . Частота включенного в контуррадиочастотного генератора (частота накачки) выбирается близкой к значе­ниям ± Γ /2, т.е.

накачка осуществляется в области максимального накло­на резонансной кривой электрического контура. В этой области емкостный20датчик обладает наибольшей чувствительностью: небольшим изменениям ре­зонансной частоты электрического контура соответствуют существенные из­менения амплитуды колебаний на нем. При этом пластины конденсатора при­тягиваются с силой0 2 =.22(1.32)Здесь — площадь пластин конденсатора, —напряжение на них. Движе­ние механического осциллятора модулирует колебания напряжения на элек­трическом контуре: если частота радиочастотного генератора, включенногов контур, равна , то колебания механического осциллятора с частотой Ωприводят к появлению в спектре колебаний контура т.н. антистоксовой истоксовой компонент с частотами + Ω и − Ω . В выражении для си­лы, действующей на осциллятор (пропорциональной квадрату напряжения ), появляются компоненты с частотой, равной частоте механических коле­баний, которые оказывают существенное влияние на движение осциллятора.Отметим, что амплитуды этих компонент тем больше, чем больше чувстви­тельность датчика.

Действие на осциллятор этих компонент силы приводитк эффективному изменению его жесткости и коэффициента затухания.Уравнения движения для рассматриваемой системы можно записать ввиде2 1¨ + Γ ˙ +− = 0 + к.с.22,¨ + Γ ˙ + Ω2 =20 2 (1.33)(1.34)где — величина электрического заряда на конденсаторе, Γ = / и 0 =0 /, 0 — амплитуда колебаний напряжения на радиочастотном генерато­ре. Решая эту систему методом разложения по малому параметру 0 /, где0 — амплитуда механических колебаний, в приближении Ω << Γ , можнополучить выражение для вносимого в осциллятор дополнительного фактора21механических потерьΔ−102 0 4≃ 340 Ω(1.35)в случае оптимальной настройки системы, когда чувствительность емкостно­го датчика близка к максимальной.В современных оптомеханических системах демпфирование механиче­ских мод колебаний осуществляется посредством создания параметрическойсвязи с оптическим резонатором, который накачивается сигналом с частотой,отличающейся от резонансной на величину резонансной частоты механиче­ской моды.

Если полоса пропускания оптического резонатора много меньшемеханической частоты, то реализуется т.н. режим демпфирования с разре­шенной боковой полосой (resolved sideband damping)[27, 28]. Cистемы этоготипа используются для охлаждения механических осцилляторов до состоя­ний, близких к основному квантовому [7, 8, 29].Поведение электромеханических аналогов таких систем тоже можно опи­сать уравнениями (1.33,1.34), но в приближении Ω >> Γ .

Частота напря­жения генератора в контуре в этом случае выбирается такой, чтобы выпол­нялось соотношение = − Ω (или = + Ω ). В этом случае можносчитать, что в электрическом контуре осуществляется резонансное усилениеантистоксовой (или стоксовой) компоненты, что приводит к внесению в ос­циллятор дополнительного положительного (или отрицательного) факторамеханических потерь. Его величина в случае оптимальной настройкиΔ−102 0 2≃.163 Ω4(1.36)Модификация этого метода, в которой за счет дополнительного электриче­ского контура осуществляется резонансное усиление как антистоксовой (илистоксовой) компоненты сигнала, так и компоненты на частоте накачки, пред­ложена в главе 4 настоящей работы.22Рис.

1.2. Схема гравитационно-волнового интерферометрического детектора AdvancedLIGO [11].1.2. Интерферометрические гравитационно-волновыедетекторы и проблема демпфирования струнныхмод колебаний подвесов их пробных масс1.2.1. Подвесы пробных масс гравитационно-волновых детекторовСовременные лазерные интерферометрические детекторы гравитацион­ных волн — так называемые детекторы второго поколения — представляютсобой интерферометры типа Майкельсона с интерферометрами Фабри-Перов каждом из плечей [11].

Длина плечей интерферометров Advanced LIGOсоставляет 4 км. (см. рис. 1.2).Подвес каждой из пробных масс детектора Advanced LIGO состоит изчетырех ступеней [5, 30]. Конечная из них, пробная масса — цилиндр из23Рис. 1.3. Подвес пробной массы Advanced LIGO [30].плавленого кварца массой 40 кг (диаметром 34 см и толщиной 20 см), сотражающими покрытиями на основаниях — подвешен на четырех нитях,изготовленных также из плавленого кварца и присоединенных одним своимконцом к пробной массе, а другим — к промежуточной массе предпоследнейступени, тоже кварцевой (рис. 1.3). Эта промежуточная масса, в свою оче­редь, соединена с верхними металлическими ступенями подвеса с помощьюстальных нитей.