Диссертация (1102933), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Для измерения смещений нити использовался специальный оптический сенсор. Управляемое силовое воздействие на нить осуществлялосьпосредством электростатического актюатора. Использование демпфирующейсистемы позволило изменять величину фактора механических потерь колебаний нити в широком диапазоне. Шум, вносимый демпфирующей системой,главным образом определяется шумом оптического сенсора. Шум сенсора может быть уменьшен при использовании системы стабилизации интенсивностилазерного излучения и увеличении оптической мощности. Снижение уровняшума оптического сенсора позволит уменьшить полный тепловой шум колебаний нити и реализовать холодное демпфирование струнных мод колебанийнити подвеса.Полученные результаты, изложенные в этой главе, позволяют заключить, что наиболее простым способом демпфирования струнных мод колебаний кварцевых нитей из изученных является силовое демпфирование, в котором силовое воздействие на нить осуществляется электростатически.
Приэтом электрическое поле, величина которого пропорциональна скорости движения нити, воздействует на электрический заряд, нанесенный на поверх56ность нити. При использовании этого метода возможно получить максимальные значения дополнительного фактора механических потерь, вносимого вструнные моды колебаний нитей.57Глава 3Моды колебаний дисковых резонаторов сбольшим значением углового индекса3.1. Резонансные частоты и форма мод колебанийакустических дисковых резонаторов с большимзначением углового индексаРезонаторы упругих колебаний на поверхностных акустических волнах(ПАВ) нашли широкое применение как элементы стабилизации частоты задающих генераторов и фильтры в радиотехнических передающих и приемныхустройствах, а также как сенсоры различных физических, химических и биологических величин [52].
Наибольшее распространение имеют резонаторы,изготовленные на основе пьезоэлектрических материалов. Базовая конструкция такого резонатора состоит из пьезоэлектрической подложки, на которуюнанесены электроды встречноштыревых преобразователей.В материалах, не обладающих пьезоэлектрическими свойствами, поверхностные акустические волны, как правило, возбуждают термоупругими методами посредством коротких лазерных импульсов.
[53, 54]. Различные типыПАВ, включая рэлеевские волны и волны шепчущей галереи, распространяющиеся вдоль цилиндрических поверхностей, изучались теоретически и экспериментально [55].В настоящем разделе приведены результаты теоретического и экспериментального исследования различных поверхностных акустических мод, электростатически возбуждаемых в изотропных дисках, изготовленных, в общемслучае, из материала, не обладающего пьезоэффектом.
В качестве такого58материала был взят дюралюминий. Поверхностные волны распространяются вдоль цилиндрической образующей диска, так что упругие деформациилокализованы вблизи его боковой поверхности. Целочисленные значения углового индекса соответствуют резонансу, при котором волна, совершившаяполный оборот вокруг цилиндра, приходит в точку в той же фазе. При больших значениях углового индекса добротность таких резонаторов ограниченав основном потерями упругой энергии в материале, из которого изготовлендиск, и в его поверхностном слое. Можно ожидать, что использование таких материалов, как сапфир, кремний, плавленый кварц и других, имеющихмалые акустические потери, позволит создать дисковые резонаторы, добротность которых значительно превосходит добротность традиционных резонаторов на поверхностных акустических волнах.Для расчета собственных частот и распределений вектора смещения (формы колебаний) в колеблющихся цилиндрах применяются различные методы.Среди численных методов наиболее широко распространен метод Ритца [56],который, в том числе, в последнее время был использован для расчета симметричных по мод колебаний коротких цилиндров (дисков) [57], изгибных модколебаний нагруженных цилиндров для значения углового индекса = 1 [58]и колебаний цилиндров с треугольными пазами и узкими радиальными трещинами [59].
Трехмерный конечноразностный метод применялся для решения задачи возбуждения и частотного отклика МШГ в дисковых резонаторах [60].Для расчета собственных частот и распределений вектора смещения в модах колебаний свободных круговых цилиндров применяется аналитическийметод, разрабатывавшийся различными авторами [61, 62]. Хатчинсон [62] получил частотный спектр мод колебаний цилиндров с отношением толщины кдиаметру 0 < ℎ < 2 для значений углового индекса от 0 до 4.
Этот методтакже использовался в недавней работе Тамуры [63], в которой были изучены59колебания круговых цилиндров для больших значений . В этой работе в основном рассматривались цилиндры с ℎ ∼ 1, но также был кратко рассмотренслучай тонкого диска с ℎ = 0,05. В частности, были рассчитаны собственныечастоты и формы колебаний в модах с = 20 и наименьшим значением собственной частоты. Также недавно был предложен ряд модификаций данногометода: для расчета спектра колебаний цилиндров с произвольным заданным распределением симметричной относительно оси возбуждающей силы,приложенной к поверхностям цилиндра [64] и для расчета колебаний полыхцилиндров со свободными и частично зафиксированными границами [65].В расчетах использовался метод, предложенный Хатчинсоном.
Этот метод заключается в построении решений уравнения движения в виде линейныхкомбинаций трех последовательностей решений, в точности удовлетворяющих уравнению движения и трем из шести граничных условий. Оставшиесятри граничных условия затем удовлетворяются наложением требования ортогональности соответствующих компонент тензора напряжения на границахнекоторым полным базисным наборам функций на этих границах.
В результате получается однородная система линейных алгебраических уравнений,решение которой дает значения собственных частот и распределения компонент вектора смещения в диске. Точность полученного решения зависит отчисла функций базисного набора, взятых при наложении требования ортогональности.Таким образом, результат вычислений представляет собой точное решение исходного уравнения движения, приближенно удовлетворяющее граничным условиям.
Тем не менее, некоторые авторы [62] классифицируют данныйметод решения как «точный», поскольку он позволяет построить точное (аналитическое) решение в виде бесконечного ряда.603.1.1. Метод расчетаРассмотрим однородный диск (круговой цилиндр) радиусом , толщиной2 и свободными границами.Уравнение движения для вектора смещения U в изотропной упругойсреде есть(3.1)Ü = ( + 2)∇ (∇ · U) − ∇ × (∇ × U) ,где и — коэффициенты Ламе, а — плотность материала среды.Введем безразмерные (отнесенные к радиусу диска ) компоненты вектора смещения u = { , , } и координаты , ; безразмерные (отнесенные кмодулю сдвига ) компоненты тензора напряжений ; безразмерные (умноженные на радиус диска ) волновые числа , и ; безразмерную угловуючастоту = Ω/ , где Ω — угловая (размерная) частота, =√︀/ — скорость распространения поперечных волн; безразмерный геометрический фактор (отношение толщины диска к его диаметру) ℎ = /.Искомое решение должно удовлетворять шести граничным условиям длясвободного диска (,, ± ℎ) = 0,(3.2a) (,, ± ℎ) = 0,(3.2b) (,, ± ℎ) = 0,(3.2c) (1,,) = 0,(3.2d) (1,,) = 0,(3.2e) (1,,) = 0.(3.2f)Выбирается вид решения, в точности удовлетворяющий трем граничнымусловиям (3.2a), (3.2b) и (3.2f).
Такой выбор является произвольным, единственное ограничение используемого метода заключается в том, что невоз61можно точно удовлетворить одновременно трем граничным условиям на одной и той же границе.Решение берется в виде линейной комбинации базовых решений [62]:(,,) =∑︁ (,,) +=1∑︁ (,,) +=1∑︁ (,,),(3.3)=1где обозначает одну из компонент вектора смещения , , или однуиз компонент тензора напряжения с одинаковыми тремя последовательностями констант , и . Зависимость от времени исключается: предполагается, что все компоненты вектора смещения и все компоненты тензоранапряжений изменяются во времени по гармоническому закону с одной и тойже частотой и фазой.Радиальная компонента вектора смещения берется в следующем виде:[︀ 2]︀2 2 = 2(− ) ( ) ( ) + 4 ( ) ( ) ×⎫⎧⎨ cos( )/ cos( ℎ) ⎬−1cos , (3.4)×⎩ sin( )/ sin( ℎ) ⎭⎫⎧⎨ cos( )sinc( ℎ) ⎬22+= 2( − )⎩ sinc( ) cos( ℎ) ⎭⎧⎫⎨ 2 cos( )sinc( ℎ) ⎬]︂×+4⎩ 2 sinc( ) cos( ℎ) ⎭⎧ ⎫⎨ℎ⎬ ( )×−1cos , (3.5)⎩ ⎭ ( )[︂ = [−4 ( ) ( ) + 2 ( ) ( )] ×⎧⎫⎨ cos( )/ cos( ℎ) ⎬× −1cos ; (3.6)⎩ sin( )/ sin( ℎ) ⎭62компонента вектора смещения по оси берется в виде (здесь и далее дляупрощения восприятия опущены индексы и ; они относятся к членам , , и аналогично предыдущим трем уравнениям)]︀[︀2 = 2(2 − ) ( ) ( ) − 42 ( ) ( ) ×⎫⎧⎨ − sin( )/ cos( ℎ) ⎬cos , (3.7)× ⎩ cos( )/ sin( ℎ) ⎭⎧⎫⎨ sinc( )sinc( ℎ) ⎬2= 2(− 2 )−⎩ cos( ) cos( ℎ) ⎭⎫⎧⎨ sinc( ℎ)sinc( ) ⎬]︂2×− 4⎩ cos( ℎ) cos( ) ⎭⎫⎧⎨ − 2 ℎ ⎬ ( ) ×cos , (3.8)⎭ ( )⎩1[︂⎫⎧⎨ − sin( )/ cos( ℎ) ⎬cos ;= 2 ( ) ( ) ⎩ cos( )/ sin( ℎ) ⎭(3.9)наконец, для углового смещения[︀]︀2 2 = − 2(2 − ) ( ) ( ) + 4()()× ⎫⎧⎨ cos( )/ cos( ℎ) ⎬× −1sin , (3.10)⎩ sin( )/ sin( ℎ) ⎭63⎧⎫[︂⎨ cos( )sinc( ℎ) ⎬2= − 2(− 2 )+⎩ sinc( ) cos( ℎ) ⎭⎫⎧⎨ 2 cos( )sinc( ℎ) ⎬]︂×+4⎩ 2 sinc( ) cos( ℎ) ⎭⎧ ⎫⎨ℎ⎬ ( )×−1 sin , (3.11)⎩ ⎭ ( )]︀[︀ = 4 ( ) ( ) − 2 2 ( ) ( ) ×⎧⎫⎨ cos( )/ cos( ℎ) ⎬× −1sin .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
