Диссертация (1102933), страница 10

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 10)

Был осуществлен анализ формыколебаний (т.е. распределений компонент вектора смещения в объеме диска) вмодах. Подробности приведены в разделе 3.1.3. Формы колебаний в наиболеенизко лежащей ветви мод (черные квадраты с заливкой на рис. 3.1) близкик формам колебаний рэлеевских мод на поверхности бесконечного цилиндрадля относительно небольших значений ( . 20) в проанализированном диа­пазоне, в то время как для больших значений колебания локализуются вовсе более узкой области, прилегающей к линии соединения боковой поверхно­сти и оснований.

При этом форма колебаний стремится к форме колебанийугловых мод, описанных в работе [63] для цилиндра с ℎ = 0,5. В пределебольших и колебания в этих модах стремятся к колебаниям в угловыхмодах [67] бесконечного прямоугольного клина.С увеличением колебания во всех модах, рассматриваемых в настоя­щем разделе, локализуются во все более узком цилиндрическом слое вблизибоковой поверхности диска. Одна из возможных интерпретаций этого факта73заключается в том, что эти колебания «выдавливаются» к боковой поверхно­сти под воздействием центробежной силы.Зелеными кругами с заливкой на рис.

3.1 представлена ветвь мод колеба­ний, которые в области 15 . . 30 могут рассматриваться как моды, сфор­мированные волнами типа лэмбовских, распространяющихся вдоль боковойповерхности диска в цилиндрическом слое, прилегающем к этой поверхности.При дальнейшем увеличении (для & 30) колебания в этих модах начи­нают приобретать вид, характерный для колебаний в рэлеевских модах наповерхности цилиндра.Распределения компонент вектора смещения в ветвях мод, обозначенныхкрасными ромбами и синими пятиугольниками с заливкой на рис. 3.1, свиде­тельствуют о том, что эти моды возможно рассматривать как МШГ первогои второго порядка, соответственно.Формы колебаний в ветвях мод, обозначенных шестиугольниками, тре­угольниками и звездочками с заливкой, несколько более сложны, хотя вомногом «похожи» на формы колебаний в лэмбовских модах пластинки.Эффективный объем модВажной характеристикой моды колебаний диска является ее эффектив­ный объем , определяемый как =R0u2 ( )u2max.(3.54)Интегрирование здесь производится по всему объему диска 0 = 23 ℎ.

В мо­дах колебаний с небольшим эффективным объемом деформации сконцентри­рованы в небольших областях диска, что увеличивает эффективность нели­нейных взаимодействий между различными механическими модами, а такжевзаимодействий между механическими и электромагнитными модами колеба­ний в диэлектрических дисках. Расчетные значения эффективных объемов740,5(1)(4)k0,4k(2)(5)kk(3)(6)kkVeff/ V00,30,20,10,010203040506070 80kРис. 3.2. Зависимость эффективного объема мод колебаний (в единицах полного объемадиска0 )от величины углового индекса.На графике представлены величины эффек­тивных объемов для шести нижних четных ветвей модΩ(1)−(6) .для шести наиболее низко лежащих ветвей мод колебаний диска показаны нарис.

3.2.3.1.3. Распределение компонент вектора смещения в дисковыхрезонаторахРаспределения компонент вектора смещения были рассчитаны по фор­мулам (3.4)-(3.12). В настоящем разделе приводятся расчетные двумерныеграфики распределений амплитуд компонент вектора смещения (формы коле­баний) в некоторых модах колебаний дискового резонатора с большим значе­нием углового индекса . Более строго говоря, приводимые в данном разделе75иллюстрации являются 2D-графиками функций^ (,) = (,,)/ cos ,(3.55)^ (,) = (,,)/ sin ,(3.56)^ (,) = (,,)/ cos .(3.57)Для каждой моды колебаний наибольшее из максимальных значений ^ , ^ ,^ принимается равным единице.Форма колебаний в наиболее низко лежащем семействе четных мод для = 10 приведена на рис. 3.3. Нетрудно видеть, что распределения и вэтих модах для небольших значений ( .

15) близки к соответствующимраспределениям компонент смещения в рэлеевских модах цилиндра бесконеч­ной длины, а компонента относительно мала.В самом деле, ненулевые компоненты вектора смещения в рэлеевскихмодах и МШГ бесконечно длинного цилиндра с собственными частотами,заданными (3.53), равны [66][︂)︂]︂(︂ ′ = − ( ) ( ) cos , [︂(︂)︂]︂ = − ( ) ′ ( ) sin ,(3.58)(3.59)где — некоторая постоянная, и () =1 −2 (/) − +2 (/).

2 −2 () + +2 ()(3.60)()Расчетные распределения ^ (,ℎ) и ^ (,ℎ) для диска, а также ^ () =() / cos и ^= / sin для бесконечно длинного цилиндра приведенына рис. 3.4.При больших значениях колебания диска в модах с наименьшей соб­ственной частотой сосредоточены в небольших областях вблизи линий соеди­нения боковой поверхности диска и его оснований (рис. 3.5), и компонента76Рис.

3.3. Амплитуды компонент смещения в наиболее низко лежащей четной моде колеба­ний диска при = 10(мода рэлеевского типа).1,00,5uruuz0,0-0,50,00,20,40,60,81,0Рис. 3.4. Амплитуды компонент смещения (черные квадраты), (красные кружки) и (зеленые треугольники) вдоль радиального направления на верхнем основании диска (=ℎ) в моде колебаний рэлеевского типа при = 10. Сплошной черной и штриховой краснойлиниями обозначены соответственно амплитудыколебаний цилиндра бесконечной длины прии = 10.77в поверхностной рэлеевской модеРис. 3.5.

Амплитуды компонент смещения в наиболее низко лежащей четной моде колеба­ний диска при = 80(мода клинового типа).смещения становится малой по сравнению с и . В работе Тамуры [63]было показано, что такие моды относятся к клиновым модам. Колебания вэтих модах формируются волнами, переходящими в пределе больших и в волны, распространяющиеся вдоль линии соединения поверхностей беско­нечного прямоугольного клина.Как можно видеть, во всем приведенном на рис. 3.1 диапазоне угловыхволновых чисел для каждого значения существуют моды (обозначенныена рисунке красными ромбами с заливкой), собственные частоты которых( 1)близки к частотам МШГ первого порядка бесконечно длинного ци­линдра (красные кружки без заливки).

Ниже частоты этой последовательно­( 1−)сти мод обозначаются через . Распределение амплитуд компонентвектора смещения для этих мод на примере случая = 15 приведено нарис. 3.6. На рис. 3.7 приведено распределение амплитуд компонент смещенияв этой моде на основании диска ( = ℎ) и в соответствующей МШГ первогопорядка (расчет по формулам (3.58),(3.59)) бесконечно длинного цилиндра.Сравнение этих распределений позволяет сделать вывод, что рассматривае­мое семейство мод в действительности является семейством мод типа шепчу­щей галереи первого порядка для диска.78Рис.

3.6. Амплитуды компонент смещения в моде колебаний диска с собственной частотой( 1−)15.1,00,50,0-0,5uruuz-1,00,00,20,4Рис. 3.7. Амплитуды компонент смещения0,60,8(черные квадраты),1,0(красные кружки) и(зеленые треугольники) вдоль радиального направления на верхнем основании диска(= ℎ)в моде колебаний типа шепчущей галереи первого порядка при = 15.Сплошнойчерной и штриховой красной линиями обозначены соответственно амплитудыМШГ первого порядка цилиндра бесконечной длины при79 = 15.ивПроведенное аналогичным образом сравнение компонент смещений в МШГвторого порядка бесконечно длинного цилиндра и в семействе мод диска, обо­значенном синими пятиугольниками с заливкой на рис.

3.1, показывает, чтопоследнее является семейством мод типа шепчущей галереи второго порядкав диске (см. рис. 3.8). Собственные частоты мод колебаний этого семейства( 2−)далее будем обозначать .Для всех рассмотренных значений распределения амплитуд компо­нент и вектора смещения в модах типа шепчущей галереи для диска( 1−)( 2−)и остаются качественно неизменными и близкими к со­ответствующим распределениям для МШГ бесконечно длинного цилиндра.Колебания в -направлении при этом сравнительно малы.Помимо семейств мод рэлеевского типа и МШГ на рис. 3.1 виден наборсемейств мод колебаний, скорости распространения волн в которых умень­шаются с возрастанием сильнее, чем в семействах мод рэлеевского типа иМШГ.

Колебания в наиболее низко лежащем семействе этих мод (отмеченномзелеными кружками с заливкой на рис. 3.1) близки по форме к колебаниямв низших лэмбовских модах бесконечной пластины толщиной 2 [66] в диа­пазоне 15 . . 30, так что данные моды допустимо идентифицировать какмоды колебаний, сформированные волнами лэмбовского типа, распространя­ющимися вдоль боковой поверхности диска в близком к нему цилиндрическомслое. Собственные частоты мод колебаний этого типа в указанном диапазоне близки к частотам лэмбовских волн в бесконечной пластине той же толщи­ны.

В модах колебаний этого типа амплитуды компонент вектора смещения и велики по сравнению с амплитудой компоненты . Распределениеэтих амплитуд приведено на рис. 3.9.С последующим увеличением (при & 30) колебания в данном семей­стве мод начинают приобретать свойства, характерные для поверхностныхмод колебаний рэлеевского типа. Распределения амплитуд компонент векто­80ра смещения в этом семействе при = 80 показаны на рис. 3.10. Формаколебаний в этих модах отличается от формы колебаний описанных вышемод колебаний рэлеевского типа в наиболее низко лежащей ветви четныхмод: распределение компонент смещения в рассматриваемом случае близкок соответствующему распределению для мод рэлеевского типа только в обла­стях, расположенных близко к плоскости = 0, в то время как вблизи линийсоединения поверхностей диска (при ≈ ±ℎ и ≈ 1) амплитуда компоненты больше, чем амплитуды и ; более того, в этих областях компонен­та близка к нулю.

Таким образом, можно утверждать, что этот тип модколебаний обладает свойствами мод рэлеевского типа вблизи центральнойплоскости = 0 и свойствами лэмбовских мод колебаний вблизи линий со­единения поверхностей диска. Это соответствует результатам Тамуры [63],согласно которым в пределе ℎ → ∞ собственные частоты такого (второгоснизу) семейства мод колебаний цилиндра сходятся к собственным частотамповерхностных мод рэлеевского типа в цилиндре бесконечной длины.Колебания в остальных семействах мод, обозначенных треугольниками,шестиугольниками и звездами с заливкой на рис. 3.1, имеют несколько болеесложный вид, но тоже обладают сходством с колебаниям в лэмбовских модах(2−)пластины. Собственные частоты этих мод будут обозначаться как (3−)(4−)и ,, соответственно.

Распределения амплитуд компонент век­(2−)тора смещения в моде колебаний с частотой 35приведены на рис. 3.11.Можно видеть, что амплитуда компоненты в данных модах также вели­ка, хотя компонента вблизи линий соединения поверхностей диска такжеимеет сравнительно большую амплитуду.Формы колебаний в модах, расположенных вблизи «пересечений графи­ков»1 различных семейств мод на рис. 3.1, вообще говоря, могут иметь весьма1Конечно, результаты расчета, приведенные на рис.

3.1, представляют собой дискретные наборычастот, поэтому ни о каких «пересечениях графиков», строго говоря, рассуждать нельзя. В то же время81сложную структуру, в особенности если собственные частоты мод близки. Рас­пределения амплитуд компонент вектора смещения в двух модах колебаний,принадлежащих к семействам, графики которых «пересекаются» вблизи зна­( 2−)чения = 23 (а именно 23(3−)и 23) приведены на рис. 3.12, 3.13.Величина относительной разности собственных частот указанных мод коле­баний ≈ 8 × 10−4 .данный метод расчета может быть обобщен на все действительные неотрицательные значения , чтосоответствует рассмотрению бегущих вдоль поверхности диска волн с произвольным значением угловогоиндекса; полуплоскость = 0 в этом случае рассматривается как поверхность ветвления бесконечногопорядка, а наборы дискретных значений ветвей мод колебаний переходят в непрерывные дисперсионныекривые.82Рис.

Характеристики

Список файлов диссертации